2022届高考数学二轮专题复习16轨迹方程的求法

这是一份2022届高考数学二轮专题复习16轨迹方程的求法，共7页。试卷主要包含了直接法求轨迹方程，参数法求轨迹方程等内容，欢迎下载使用。

1．已知平面上两定点、，为一动点，满足．
求动点的轨迹的方程．
【答案】．
【解析】设，
由已知，，，
得，，
∵，∴，整理得，
即动点的轨迹为抛物线，其方程为．
2．双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，
两点、都在该双曲线上．
（1）求点的坐标；
（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．
【答案】（1）；（2）直线或椭圆，除去两点、．
【解析】（1）由得，焦点．
（2）因为A、B在双曲线上，所以，．
①若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当时，与重合；当时，A、B均在双曲线的虚轴上，
故此时的轨迹方程为；
②若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，，，中心为的椭圆，
其方程为，
故的轨迹是直线或椭圆，除去两点、．
2．定义法求轨迹方程
1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
【答案】，椭圆．
【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得，，
当与相切时，有①
当与相切时，有②
将①②两式的两边分别相加，得，
即③
移项再两边分别平方得④
两边再平方得，整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆．
2．已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．
【答案】．
【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得，．
．
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12，
故所求轨迹方程为．
3．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）
抛物线B．圆C．椭圆D．双曲线一支
【答案】D
【解析】令动圆半径为R，则有，则，满足双曲线定义，
故选D．
3．相关点法求轨迹方程
1．点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】．
【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0），
则由M为线段AB中点，可得，
即点B坐标可表为，
，，
，
．
2．双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程．
【答案】．
【解析】设点坐标各为，
∴在已知双曲线方程中，∴，
∴已知双曲线两焦点为，
∵存在，∴，
由三角形重心坐标公式有，即，
∵，∴，
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有，
即所求重心的轨迹方程为．
3．如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】．
【解析】设，则．
在直线上，①
又，得，即．②
联解①②得，
又点在双曲线上，，
化简整理得，此即动点的轨迹方程．
4．参数法求轨迹方程
1．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】．
【解析】设，直线的斜率为，则直线的斜率为．
直线OA的方程为，
由，解得，即，
同理可得．
由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程．
2．设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【答案】M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
【解析】解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y) (x≠0)，直线AB的方程为x=my+a，
由OM⊥AB，得，由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0，
所以，，
所以，由OA⊥OB，得，所以，
故，用代入，得，
故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
解法二：设OA的方程为，代入得，
则OB的方程为，代入得，
∴AB的方程为，过定点，
由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外），
故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
解法三：设，OA的方程为，代入得，
则OB的方程为，代入得，
由OM⊥AB，得：M既在以OA为直径的圆……①上，
又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），
①+②得，
故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．