专题10 相似三角形中的最值问题 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）专题10 相似三角形中的最值问题【典型例题】1．（2020·宁夏永宁·初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．   【专题训练】一、选择题1．（2020·广东初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M,N在直线上，则b的最大值是（　　）A． B． C． D．2．（2020·江苏宿迁·初三二模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（    ）A． B． C． D．3．（2020·河南初二期末）如图，中，BA=9，AC=12，点D是斜边BC上一动点，过点D分别作于点E，于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（  ）．A． B． C． D．4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（　　）A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤ 二、填空题5．（2020·四川成都外国语学校高新校区初三月考）如图在△ABC中，，，．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰，使，连接BE，则线段BE的最小值为______．6．（2020·成都市棕北中学初三月考）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ=_________时，四边形APQE的周长最小． 三、解答题7．（2020·江苏初三期中）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标分别为，，动点、分别从、同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动．过点作，交于，连结．已知动点运动了秒．（1）点的坐标为（   ，   ）；（用含的代数式表示）（2）试求面积的最大值，并求此时的值；（3）请你探索：当为何值时，是一个等腰三角形?      8．（2020·四川射洪中学初三期中）如图所示，已知△ABC中，BC=30cm，AD=10cm．AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC边上．设EF=x， FG=y．(1)求y与x的函数关系式．并求自变量x的取值范围．(2)若x：y=1：2，求矩形EFGH的面积．(3)当EF为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少?    9．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三二模）如图，边长为1的正方形ABCD有对角线AC、BD相交于O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G．（1）求四边形OEBF的面积；（2）若OG•OB＝1，求EF的长；（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，求AE的长．    10．（2020·湖南初三期末）如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．                  11．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校初三期中）如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．