专题11 利用相似三角形解决问题 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）专题11 利用相似三角形解决问题【典型例题】1．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距离路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点（B点在A点的左边）时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？【答案】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴，即，解得MA=5米，同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了，变短了5-1.5=3.5（米）．    【专题训练】一、选择题1．（2019·威远县凤翔中学初三期中）如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C离木桩B(    )米．A．60 B．50 C．40 D．45【答案】B2．（2020·河南周口·初三期中）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5【答案】B3．（2020·陕西交大附中分校初三月考）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）A． B． C． D．【答案】D4．（2020·北京西城·）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（    ）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m【答案】C5．（2019·深圳市光明区高级中学初三月考）如图一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（   ）A．8米 B．6米 C．4.5米 D．3米【答案】C 二、填空题6．如图，是用卡钳测量容器内径的示意图．量得卡钳上A，D两端点的距离为4cm，，则容器的内径BC的长为_____cm．【答案】107．（2019·山东青岛·初三期中）如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为_____m．【答案】4.68．（2021·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为_______m．【答案】2.49．（2020·宿迁市钟吾国际学校初三月考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB=_________．【答案】10.5m10．（2020·河南初三期末）如图，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）．那么点E的坐标是____．【答案】（4，0） 三、解答题11．（2020·陕西初三期中）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与大雁塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，CG=60米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．【答案】解：∵DC∥AB，HG∥AB，∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝， ＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，解得： CA＝120（米），∵＝，∴＝，解得： AB＝62（米）．答：大雁塔的高度AB为62米． 12．（2020·深圳市海滨中学初三期中）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．【答案】解：过C作CE⊥AB于E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，∴四边形CDBE为矩形，∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，∴，解得：x＝14，∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米． 13．（2020·河北保定十三中初三期中）如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方，高傲而明亮．王刚同学拿起一根2m长的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，点A竖起竹竿(AE表示)，这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度(即4m)到点B，他又竖起竹竿(BF表示)，这时竹竿的影长BD正好是一根竹竿的长度(即2m)，请你计算路灯的高度．【答案】解：AE、BF是竹竿两次的位置，CA和BD是两次影子的长．由题意，CA=1米，AB=4米，AE=BF=DB=2米，即，所以，灯高，在和中，∵，，∴，∴，∴，设AP=x米，米，则：①，由得：②，联立①②两式得：，，∴路灯的高度为10米． 14．（2020·宿迁市钟吾国际学校初三月考）某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设ABPQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．【答案】解：如图，过点C作于点D，交AB于点E，根据题意，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，则，解得，∴CE=CD+DE=30m，答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m ． 15．（2019·长春市第五十二中学初三期中）如图，已知是一等腰三角形铁板余料，其中，．若在上截出一矩形零件，使在上，点、分别在边、上．（1）设，，求与之间的函数关系式；（2）当矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半时，分别求截得矩形的长和宽．【答案】解：（1）过点作于点，交于点．四边形是矩形，，．，，，，（2），．矩形的面积能等于三角形铁板面积的一半，此时矩形的长和宽分别为和． 16．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．（1）求路灯AB的高度．（2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长．（3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？【答案】解：（1）∵米，米，∴米，∵米，∴米，∵AB、CD都与地面BO垂直，∴，∴，即，∴米；（2）小亮的位置如图所示：∵，∴，即，∴米；（3）如图，过点M作BO的平行线，交AB于点H，交PO于点K，连接AM并延长交PO于点L，∵小亮距离墙2米，∴米，∴米，∵米，米，∴米，∵，∴，即，∴米，∴墙上的影子长为米． 17．（2020·广东初三月考）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）当t=2时，∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，∴AP=2厘米，QC=4厘米，∴PC=4，在Rt△PQC中PQ=厘米；（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，∴S△CPQ=CP•CQ=，∴t2﹣6t+5=0解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；（3）能垂直，理由如下：延长QE交AC于点D，∵将△PQC翻折，得到△EPQ，∴△QCP≌△QEP，∴∠C=∠QEP=90°，若PE⊥AB，则QD∥AB，∴△CQD∽△CBA，∴，∴，∴QD=2.5t，∵QC=QE=2t∴DE=0.5t易证△ABC∽△DPE，∴∴，解得：t=（0≤t≤4），综上可知：当t=时，PE⊥AB．