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- 专题10 相似三角形中的最值问题 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版) 试卷 3 次下载
- 专题11 利用相似三角形解决问题 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版) 试卷 3 次下载
- 专题12 30°,45°,60°角的三角函数值-2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版) 试卷 2 次下载
- 专题13 解直角三角形 -2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版) 试卷 2 次下载
专题14 用锐角三角函数解决实际问题-2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版)
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2021-2022学年九年级数学下册期末综合复习专题提优训练(苏科版)
专题14 用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】
1.(2020·山西太原五中初三一模)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B-A-O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1)
(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.
①填空:∠BAO=_________°;
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.
(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:,,,)
【答案】
解:(1)①过点A作,如图1,则,
,
,
,
,
故答案为160;
②过点A作于点F,如图2,
则,
投影探头的端点D到桌面OE的距离为:;
(2)过点于点H,过点B作,与DC延长线相交于点M,过A作于点F,如图3,
则,,,,,
,
,
,
.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用,充分体现了数学与实际生活的密切联系,解题的关键是构造直角三角形.
【专题训练】
一、 选择题
1.(2020·贵州黔南·中考真题)如图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°,测角仪CD的高度为1米,其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.(2020·重庆中考真题)如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡,山坡CD的坡度(或坡比),山坡坡底C点到坡顶D点的距离,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为( )
(参考数据:,,)
A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m
【答案】B
3.(2020·山东济南·中考真题)如图,△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AFBE,AC⊥BE,FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.6m,则盲区中DE的长度是( )(参考数据:sin43°≈0.7,tan43°≈0.9,sin20°≈0.3,tan20°≈0.4)
A.2.6m B.2.8m C.3.4m D.4.5m
【答案】B
二、 填空题
4.(2020·湖北孝感·中考真题)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算的长为______.(结果保留根号)
【答案】
5.(2020·山东枣庄·中考真题)如图,人字梯AB,AC的长都为2米.当时,人字梯顶端高地面的高度AD是____米(结果精确到.参考依据:,,)
【答案】1.5.
6.(2020·山东泰安·中考真题)如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.,斜坡AB长26 m,斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移________时,才能确保山体不滑坡.(取)
【答案】10
三、解答题
7.(2018·甘肃兰州·中考真题)如图,斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米,坡底AE为18米,在B处,E处分别测得CD顶部点D的仰角为,,求CD的高度结果保留根号
【答案】
如图,作于点F,设米,
在中,,
则,
在直角中,米,
在直角中,,则米,
,即,
解得:,
则米,
答:CD的高度是米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线构造直角三角形,利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键.
8.(2020·西藏中考真题)如图所示,某建筑物楼顶有信号塔EF,卓玛同学为了探究信号塔EF的高度,从建筑物一层A点沿直线AD出发,到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F,测得仰角∠ACF=60°,AC长7米.接着卓玛再从C点出发,继续沿AD方向走了8米后到达B点,此时刚好能看到信号塔的最低点E,测得仰角∠B=30°.(不计卓玛同学的身高)求信号塔EF的高度(结果保留根号).
【答案】
解:在Rt△ACF中,∵∠ACF=60°,AC=7米,
∴AF=AC•tan60°=7米,
∵BC=8米,
∴AB=15米,
在Rt△ABE中,∵∠B=30°,
∴AE=AB•tan30°=15×=5米,
∴EF=AF﹣AE=7﹣5=2(米),
答:信号塔EF的高度为2米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形;难点是找到并运用题中相等的线段.
9.(2020·湖北荆门·中考真题)如图,海岛B在海岛A的北偏东方向,且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行.2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.
(1)求的度数;
(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.
(参考数据:)
【答案】
(1)过点B作于点D,作于点E.
由题意得:,,
∵,
∴,
而
∴.
(2)(海里)
在中,,
(海里),
(海里),
在中,,
(海里),
(海里),
∵,,,∴,
∴四边形为矩形,
∴,
∴
,
设快艇的速度为v海里/时,则(海里时)
答:快艇的速度为9.85海里时,C,E之间的距离为19.9海里.
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题,理清题中各个角的度数,熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
10.(2020·湖北鄂州·中考真题)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为,无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处,测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段的长为无人机距地面的铅直高度,点M、C、D在同一条直线上.其中米.
(1)求无人机的飞行高度;(结果保留根号)
(2)求河流的宽度.(结果精确到1米,参考数据:)
【答案】(1)由题意可得AF∥MD
∴∠ACM=∠FAC=
在Rt△ACM中,AM=CMtan∠ACM=CM(米);
(2)如图,过点B作BH⊥MD,
在Rt△BDH中,∠BDH=∠FBD=30°,BH=
∴DH=BH÷tan30°=÷=300米,
∵AM⊥DM,AM⊥AF
∴四边形ABHM是矩形
∴MH=AB=50米
∴CH=CM-MH=-50(米)
∴CD=DH-CH=300-(-50)=350-≈263(米)
故河流的宽度为263米.
【点睛】
此题主要考查三角函数的应用,解题的关键是熟知解直角三角形的方法.
11.(2020·江西中考真题)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图,量得托板长,支撑板长,底座长,托板固定在支撑板顶端点处,且,托板可绕点转动,支撑板可绕点转动.(结果保留小数点后一位)
(1)若,,求点到直线的距离;
(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把绕点逆时针旋转后,再将绕点顺时针旋转,使点落在直线上即可,求旋转的角度.(参考数据:,,,,)
【答案】
(1)如图所示,过点A作,,,
则,
∵,,
∴,
又∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
又∵,,
∴mm,
∴.
∴点到直线的距离是.
(2)如图所示,
根据题意可得,,,
∴,
∴,
根据(1)可得,
∴CD旋转的角度=.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用,准确的构造直角三角形,利用三角函数的定义求解是解题的关键.
12.(2020·浙江绍兴·中考真题)如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块E,H可分别沿等长的立柱AB,DC上下移动,AF=EF=FG=1m.
(1)若移动滑块使AE=EF,求∠AFE的度数和棚宽BC的长.
(2)当∠AFE由60°变为74°时,问棚宽BC是增加还是减少?增加或减少了多少?(结果精确到0.1m.参考数据:≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【答案】
解:(1)∵AE=EF=AF=1,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,
连接MF并延长交AE于K,则FM=2FK,
∵△AEF是等边三角形,
∴AK=,
∴,
∴FM=2FK=,
∴BC=4FM=4≈6.92≈6.9(m);
(2)∵∠AFE=74°,
∴∠AFK=37°,
∴KF=AF•cos37°≈0.80,
∴FM=2FK=1.60,
∴BC=4FM=6.40<6.92,
6.92﹣6.40=0.5,
答:当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了,减少了0.5m.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.
13.(2020·浙江湖州·中考真题)有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.
(1)如图2﹣1.若AB=CD=110cm,∠AOC=120°,求h的值;
(2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图2﹣2).求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到lcm).
(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6.)
【答案】
(1)过点B作BE⊥AC于E,
∵OA=OC,∠AOC=120°,
∴∠OAC=∠OCA==30°,
∴h=BE=AB•sin30°=110×=55;
(2)过点B作BE⊥AC于E,
∵OA=OC,∠AOC=74°,
∴∠OAC=∠OCA==53°,
∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150(cm),
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,作出辅助线构造直角三角形,弄清题中的数据是解本题的关键.
14.(2019·上海市民办新北郊初级中学期中)如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景,图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与底面CD垂直的OM位置时的示意图,已知AC=0.66米,BD=0.26米,(参考数据:)
(1)求AB的长
(2)若ON=0.6米,求M、N两点的距离(精确0.01)
【答案】
(1)过B作BE⊥AC于E,则四边形CDBE为矩形,CE=BD=0.26米,AC=0.66米,
∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米,
在Rt△AEB中,α=30°,AB=2AE=2×0.40=0.80米,
(2)过N作NF⊥MO交射线MO于F点,则FN∥EB,
∴∠ONF=α=30°,
∵ON=0,6米,
∴OF=ON=0,3米,
∵OM=ON=0.6米,
∴MF=0.9米,
∴∠FON=90º-30º=60º,
∴∠M=∠MNO=∠FON=30º,
在Rt△MFN中,
MN=.
【点睛】
本题考查求斜面长,MN长,关键是掌握把要求的线段置于Rt △中,用三角函数来解决问题.
15.(2020·河南郑州外国语中学初三月考)如图是小米洗漱时的侧面示意图.洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80cm,宽AB=48cm,小米身高160cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK=80°),身体前倾成125°(∠EFG=125°),脚与洗漱台距离GC=15cm(点D,C,G,K在同一直线上).
(1)此时小米头部E点与地面DK相距多少?
(2)若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方,她应向前或向后移动多少厘米?(sin80°≈0.98,cos80°≈0.18,≈1.41,结果精确到0.1)
【答案】
解:(1)过点F作FN⊥DK于N,过点E作EM⊥FN于M.
∵EF+FG=160,FG=100,
∴EF=60,
∵∠FGK=80°,
∴FN=100•sin80°≈98
∵∠EFG=125°,
∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°,
∴FM=60•cos45°=30≈42.3,
∴MN=FN+FM≈140.3,
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm.
(2)过点E作EP⊥AB于点P,延长OB交MN于H.
∵AB=48,O为AB中点,
∴AO=BO=24,
∵EM=60•sin45°≈42.3,
∴PH≈42.3,
∵GN=100•cos80°≈18,CG=15,
∴OH=24+15+18=57,OP=OH﹣PH=57﹣42.3=14.7,
∴他应向前14.7cm.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解提的关键是将题目抽象为数学问题,作辅助线构造出直角三角形.
16.有一只拉杆式旅行箱(图1),其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50 cm,拉杆BC的伸长距离最大时可达35 cm,点A、B、C在同一条直线上,在箱体底端装有圆形的滚筒,与水平地面切于点D,在拉杆伸长至最大的情况下,当点B距离水平地面38 cm时,点C到水平面的距离CE为59 cm,设AF∥MN.
(1)求的半径长;
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时,CE为,,求此时拉杆BC的伸长距离.(精确到1 cm,参考数据:,,)
【答案】
(1)作于点K,交MN于点H.
则,.
设圆形滚轮的半径AD的长是.
则,即,
解得:x=8.
则圆形滚轮的半径AD的长是8 cm;
(2)在中,.
则
∴AC==80(cm)
∴.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数等知识,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.
17.寒假在家学习网课时,小李将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°,此时感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2.使用时为了散热,他在底板下垫入散热架后,使电脑变化至位置(如图3),侧面示意图为图4,已知,于点C,.
(1)求的度数;
(2)显示屏的顶部比原来升高了多少.(结果保留到,参考数据:取1.73)
【答案】
解:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
∵,
∴BD=OB·sin∠BOD,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOD=60°,
∴BD=OB·sin∠BOD=24×,
∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C-BD=24+12-≈15.2.
∴显示屏的顶部B′比原来升高了约15.2cm.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
18.(2020·山西初三期中)疫情突发,危难时刻,从决定建造到交付使用,雷神山、火神山医院仅用时十天,其建造速度之快,充分展现了中国基建的巨大威力!这样的速度和动员能力就是全 国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气!改革开放40年来,中国已经成为领先世界的基 建强国,如图①是建筑工地常见的塔吊,其主体部分的平面示意图如图②,点F在线段HG上运动,垂足为点E,AE的延长线交HG于点 G,经测量,
(1)求线段AG的长度;(结果 精确到0.1 m)
(2)连接AF,当线段时, 求点F和点G之间的距离.(结果 精确到0.1 m,参考数据:)
【答案】
解:(1)在中,
在中,
设,则
解得
答:线段AG的长度约为;
(2)如图,当线段时
答:点F与点G之间的距离约为
故答案为(1)线段AG的长度约为3.5 m;(2)点F与点G之间的距离约为2.1 m.
【点睛】
本题考查了解直角三角形. 解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义.
19.(2019·江西初三其他)摇椅是老年人很好的休闲工具,右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图,摇椅静止时,以O为圆心OA为半径的的中点P着地,地面NP与相切,已知∠AOB=60°,半径OA=60cm,靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°,C为OA的中点,CD=80cm,当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度.
(1)静止时靠背CD的最高点D离地面多高?
(2)静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时?才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
(精确到1cm,参考数据π取3.14,sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36,=1.41,=1.73)
【答案】
(1)如图,作CJ∥PN交OP于J,DH⊥CJ于H.
在 中,
在 中,
∴静止时靠背CD的最高点D离地面的高为210.4+34.0≈244(cm).
(2)如图.当时,作于H.
在中,
∴静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时,才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
20.某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图 1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图 2).工作时如图 3,动臂BC 会绕点B 转动,当点 A,B,C在同一直线时,斗杆顶点D 升至最高点(示意图 4).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数.
(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?
(考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,)
【答案】
(1)如图2-1,过点C作于点G.
,,
,
,
,
,
所以动臂BC与AB的夹角为为.
(2)如图2-2,过点C作于点P,过点B作于点Q交CG于点N.
在中,(米).
在中,(米).
(米).
如图4,过点D作于点H,过点C作点K.
在中,(米).
(米)
(米).
所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质的应用,解直角三角形的应用,解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
21.(2020·江西省南丰县教育局教学研究室初三一模)如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同,四边形ABCD为形如矩形的旅行箱一侧的示意图,F为AD的中点,∥.现将放置在地面上的箱子打开,使箱盖的一端点D靠在墙上,O为墙角,图②为箱子打开后的示意图.箱子厚度,宽度.
(1)图②中,_________,当点D与点O重合时,AO的长为_________;
(2)若,求AO的长(结果取整数值,参考数据:,,)
【答案】
解:(1)15,100
(2)∵,,∠CDO=53°,∠ECD=90°
∴∠ECB=180°-90°-(90°-53°)=53°
∴,
∴
∴AO的长为.