高中物理第2章 机械振动第3节 单摆导学案

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一、实验原理与设计
1．单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得g＝eq \f(4π2l,T2)．因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度．
2．用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期．
二、实验器材
长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺．
三、实验步骤
1．取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示．
实验装置示意图
2．用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d．测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋eq \f(d,2)．
3．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝eq \f(t,N)．如此重复多次，取平均值．
4．改变摆长，重复实验多次．
5．将每次实验得到的l、T代入g＝eq \f(4π2l,T2)计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．
四、数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格．
2．图像法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，作出T2­l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝eq \f(4π2,g)．由图像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事项
1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm．
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变．
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°．
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．
5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
六、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等．
2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
类型一 实验操作与测量
【典例1】 (1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)．
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放．( )
②在摆球经过最低点时启动秒表计时．( )
③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期．( )
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图，该球的直径为________mm．根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大．
[解析] 单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件；因为最低点位置固定、容易观察，所以在摆球经过最低点时启动秒表计时；摆球一次全振动的时间太短，不易读准，误差大，应测多个周期的时间求平均值；该球的直径为20.5 mm＋18.5×0.01 mm＝20.685 mm；由表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大．
[答案] (1)①是 ②是 ③否
(2)20.685(20.683～20.687均正确) 摆长
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是________．
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图乙中用“·”表示的点，则：
甲 乙
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图乙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2．(结果取两位有效数字)
[解析] 由T＝2πeq \r(\f(l,g))，可知g＝eq \f(4π2l,T2)．
由图可知：
摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．
T＝eq \f(t,40)＝1.88 s．
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°．
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝eq \f(ΔT2,Δl)．由g＝eq \f(4π2Δl,ΔT2)＝eq \f(4π2,k)，可得g≈9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)．
[答案] 见解析
类型三 创新实验设计
【典例3】 在“利用单摆测重力加速度”的实验中，
(1)从下列器材中选择最合适的器材________．(填写器材代号)
A．小铁球
B．小塑料球
C．20 cm长的细线
D．100 cm长的细线
E．手表
F．时钟
G．秒表
(2)若实验测得的g值偏大，可能的原因是________．
A．摆球的质量太大
B．测摆长时，仅测了线长，未加小球半径
C．测周期时，把n次全振动误记为(n＋1)次
D．摆球上端未固定牢固，振动中出现松动(摆长变长)
(3)某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，但又不可能去不同的地区做实验．该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上，使板倾斜α角度，让摆球在板的平面内做小角度摆动，如图甲所示．利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系．若保持摆长不变，则实验中需要测量的物理量有____________________________．若从实验中得到所测物理量数据的关系图线如图乙所示，则图像中的纵坐标表示________，横坐标表示________．
甲 乙
[解析] (1)在题目列出的器材中，最合适的有：小铁球、100 cm长的细线以及秒表，故选A、D、G．
(2)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2L,T2)，可知摆球的质量对测量结果无影响，故A错误；
测摆长时，仅测了线长，未加小球半径，这样测得的摆长偏小，则测得的重力加速度g值偏小，故B错误；
测周期时，把n次全振动误记为(n＋1)次，则测得的周期偏小，则测得的重力加速度g值偏大，故C正确；
摆球上端未固定牢固，振动中出现松动，这时测得的周期偏大，则测得的重力加速度g值偏小，故D错误．
(3)此单摆的等效重力加速度为g′＝g sin α，则单摆的周
期T＝2πeq \r(\f(L,gsin α))，则保持摆长不变时，要测量的物理量是：板的倾角α和单摆振动的周期T．
将T＝2πeq \r(\f(L,gsin α))变形为：T2＝eq \f(4π2L,g)·eq \f(1,sin α)，若从实验中得到所测物理量数据的关系图线如题图乙所示，则图像中的纵坐标表示T2，横坐标表示eq \f(1,sin α)．
[答案] (1)ADG (2)C (3)角α和单摆振动的周期T T2 eq \f(1,sin α)
1．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度．
(1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置．
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________．(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t．请写出重力加速度的表达式g＝________．(用所测物理量表示)
③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示．将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v­t图线．
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s；
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2­L图线，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04L．由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2．(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
[解析] (1)①根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2)，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1 m左右的不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1 mm，故选a、d、f．
②因为T＝eq \f(t,n)，则g＝eq \f(4π2L,T2)＝eq \f(4π2n2L,t2)．
③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小．
(2)①由v­t图线可知，单摆的周期T＝2.0 s．
②由T＝2πeq \r(\f(L,g))，得T2＝eq \f(4π2,g)L
即图线的斜率k＝eq \f(4π2,g)＝4.04 s2·m－1
解得g≈9.76 m/s2．
[答案] (1)①adf ②eq \f(4π2n2L,t2) ③偏小 (2)①2.0 ②9.76
2．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g．
甲 乙
(1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为( )
A．eq \f(t,29) B．eq \f(t,29.5) C．eq \f(t,30) D．eq \f(t,59)
(2)如果实验中所得到的T2­L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的________．
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m；当地重力加速度g＝________m/s2．(π＝3.14，后一空结果取3位有效数字)
[解析] (1)58个“半周期”，这段时间t含有29个周期，该单摆的周期为eq \f(t,29)，选项A正确．
(2)设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2πeq \r(\f(L＋h,g))得，T2＝eq \f(4π2,g)L＋eq \f(4π2,g)h，可知T2­L关系图线为a．
(3)将T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得
h＝30 cm＝0.3 m
将T2＝1.20 s2，L＝0代入上式可求得
g＝π2≈9.86 m/s2．
[答案] (1)A (2)a (3)0.3 9.86
3．用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示．
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)．
(2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．
请计算出第3组实验中的T＝____________s，g＝________m/s2．
(3)用多组实验数据作出T2­l图像，也可以求出重力加速度g．已知三位同学作出的T2­l图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(4)某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为0～30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2．由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)．
[解析] (1)单摆的振动周期T＝eq \f(t,n)．
根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2l,t2)．
(2)T3＝eq \f(t3,50)＝2.01 s．
根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)≈9.76 m/s2．
(3)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得T2＝eq \f(4π2,g)l，即当l＝0时，T2＝0．出现图线a的原因是计算摆长时过短，可能是误将悬点O到小球上端的距离记为摆长，选项A错误；对于图线c，其斜率k变小了，根据k＝eq \f(T2,l)，可能是T变小了或l变大了，选项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，选项B正确；由eq \f(4π2,g)＝k得g＝eq \f(4π2,k)，则k变小，重力加速度g变大，选项C错误．
(4)设A点到铁锁重心的距离为l0．根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得T1＝2πeq \r(\f(l1＋l0,g))，T2＝2πeq \r(\f(l2＋l0,g))．联立以上两式，解得重力加速度g＝eq \f(4π2l1－l2,T\\al(2,1)－T\\al(2,2))．
[答案] (1)eq \f(4π2n2l,t2) (2)2.01 9.76 (3)B (4)eq \f(4π2l1－l2,T\\al(2,1)－T\\al(2,2))
4．用单摆测定重力加速度的实验中：
(1)应选用下列器材中的________(填选项前的字母)．
A．半径 1 cm 的木球
B．半径 1 cm 的实心钢球
C．1 m 左右的细线
D．30 cm 左右的细线
E．秒表、三角板、米尺
(2)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精确度有利的是________(填选项前的字母)．
A．适当加长摆线
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
C．质量相同、体积不同的摆球，选用体积较大的
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
(3)一端固定在房顶的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗的上沿到房顶的高度， 在线的下端系了一小球，发现当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗子上沿接触．打开窗子，让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图所示．
①为了测小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次小球从窗外向内运动到达最低点时数 1，同时开始计时，随后每次小球从外向内运动到最低点依次数 2、3、4…，数到 n 时， 手机上显示的时间为 t，则小球摆动的周期T为________；
②该同学用钢卷尺测量出摆动中小球球心到窗上沿的距离，测得 50 cm．又测出小球摆动的周期是 4.5 s，当地的重力加速度为 9.8 m/s2，则窗的上沿到房顶的高度约为________．
[解析] (1)单摆在摆动过程中，阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选钢球，故B正确，A错误；摆长不能过小，一般取1 m左右，故C正确，D错误；试验中要用到秒表测量周期，米尺测摆线的长度，三角板测摆球的直径，故E正确．(2)单摆的摆长越长，周期越大，适当加长摆长，便于测量周期，故A正确；单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故B正确；要减小空气阻力的影响，应选体积较小的摆球，故C错误；单摆周期较小，把一次全振动的时间作为周期，测量误差较大，应采用累积法，测多个周期的时间取平均值作为单摆的周期，故D错误．(3)①从小球第1次通过图中的最低点开始计时，第n次通过最低点用时t，故周期为：
T＝eq \f(t,n－1)．
②小摆的周期为：T1＝2πeq \r(\f(L,g))，
大摆周期为：T2＝2πeq \r(\f(L＋h,g))，其中有T＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(T1＋T2))
联立解得h≈13.8 m．
[答案] (1)BCE (2)AB (3)①eq \f(t,n－1) ②13.8 m
实验次数
摆长l/m
周期T/s
加速度g/(m·s－2)
g的平均值
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
999.3
16.5
2.0
3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
6
501.1
16.5
1.4
组次
1
2
3
摆长l/cm
80.00
90.00
100.00
50次全振动时间t/s
90.0
95.5
100.5
振动周期T/s
1.80
1.91
重力加速度g/(m·s－2)
9.74
9.73