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2022东北三省三校高三3月第一次联合模拟考试（一模）数学（文）含答案
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这是一份2022东北三省三校高三3月第一次联合模拟考试（一模）数学（文）含答案，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合|，集合，则（）
A. B. C. 或D.
【答案】D
2. 复数z满足，则复数（）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】D
5. 等差数列的前n项和为，已知，，则（）
A. 3B. C. 5D.
【答案】C
6. 若x，y满足约束条件，则的最大值是（）
A. 6B. 12C. 16D. 18
【答案】C
7. 直线l：与圆交于A，B两点，若，则m的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知a，，则“”的一个必要条件是（）
AB. C. D.
【答案】B
9. 已知，，，则（）
AB. C. D.
【答案】B
10. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
11. 如图是一个简单几何体三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
12. 已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
14. 对称性是数学美的重要征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______．
【答案】
15. 已知数列的前n项和为，，，（，），则的值为______.
【答案】
16. 已知函数，，恰有3个零点，，，且，有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为______.（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③④
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如下：
（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；
（2）请完成下列列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
附：，其中．
【答案】（1）女性老人；理由见解析；
（2）有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关；
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点D．
（1）求角B的大小；
（2）记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）答案见解析
19. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，的中点，G为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
20. 已知椭圆C：，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q．若直线OP，OQ的斜率分别为，．
（1）求的值；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）
21. 已知函数.（其中e是自然对数的底数）.
（1）写出函数的定义域，并求时函数的极值；
（2）是函数的极小值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）极小值，极大值
（2）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）分别写出的普通方程与的直角坐标方程；
（2）将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）曲线普通方程为；的直角坐标方程为.
（2）
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
男性老人
女性老人
8
9
7
5
1
9
8
2
3
4
5
9
7
3
1
3
1
5
5
8
8
7
5
4
2
4
1
2
4
5
8
7
2
1
5
1
1
7
8
9
4
6
2
5
6
7
3
一般幸福
非常幸福
合计
男性
20
女性
20
合计
40
0.15
0.10
005
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
1. 设集合|，集合，则（）
A. B. C. 或D.
【答案】D
2. 复数z满足，则复数（）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】D
5. 等差数列的前n项和为，已知，，则（）
A. 3B. C. 5D.
【答案】C
6. 若x，y满足约束条件，则的最大值是（）
A. 6B. 12C. 16D. 18
【答案】C
7. 直线l：与圆交于A，B两点，若，则m的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知a，，则“”的一个必要条件是（）
AB. C. D.
【答案】B
9. 已知，，，则（）
AB. C. D.
【答案】B
10. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
11. 如图是一个简单几何体三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
12. 已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
14. 对称性是数学美的重要征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______．
【答案】
15. 已知数列的前n项和为，，，（，），则的值为______.
【答案】
16. 已知函数，，恰有3个零点，，，且，有下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为______.（填写所有正确结论的序号）
【答案】②③④
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如下：
（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；
（2）请完成下列列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
附：，其中．
【答案】（1）女性老人；理由见解析；
（2）有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关；
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点D．
（1）求角B的大小；
（2）记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）答案见解析
19. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，的中点，G为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
20. 已知椭圆C：，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q．若直线OP，OQ的斜率分别为，．
（1）求的值；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）
21. 已知函数.（其中e是自然对数的底数）.
（1）写出函数的定义域，并求时函数的极值；
（2）是函数的极小值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）极小值，极大值
（2）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）分别写出的普通方程与的直角坐标方程；
（2）将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）曲线普通方程为；的直角坐标方程为.
（2）
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
男性老人
女性老人
8
9
7
5
1
9
8
2
3
4
5
9
7
3
1
3
1
5
5
8
8
7
5
4
2
4
1
2
4
5
8
7
2
1
5
1
1
7
8
9
4
6
2
5
6
7
3
一般幸福
非常幸福
合计
男性
20
女性
20
合计
40
0.15
0.10
005
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
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