人教版七年级下册易错题集锦 5.3 平行线的性质

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5.3 平行线的性质
一．选择题（共9小题）
1．如图1是长方形纸片，将纸片沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．若图1中∠DEF=28°，则图3中∠CFE的大小为（　　）

A．84° B．96° C．112° D．124°
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=28°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=28°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC=180°﹣∠BFE=152°，∠BFC=∠EFC﹣∠BFE=124°，
图3中，∠CFE=∠BFC﹣∠BFE=96°．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
　
2．如图，AB∥CD∥EF，则下列四个等式中一定成立的有（　　）
①∠2+∠3=180；
②∠2=∠3；
③∠1+∠3=180°
④∠2+∠3﹣∠1=180°

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据AB∥CD∥EF，即可得到∠2+∠BDC=180°，∠3=∠CDE，再根据∠BDC=∠CDE﹣∠1，即可得出∠2+∠3﹣∠1=180°．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2+∠BDC=180°，∠3=∠CDE，
又∠BDC=∠CDE﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1=180°．
而∠2+∠3=180；∠2=∠3；∠1+∠3=180°均不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．
　
3．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2=30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则有∠2=30°；④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；正确的有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【解答】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
　
4．乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE=92°，∠DCE=115°，则∠E的度数是（　　）

A．32° B．28° C．26° D．23°
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE﹣∠CFE=115°﹣92°=23°，
故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
　
5．如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（　　）

A．24° B．34° C．26° D．22°
【分析】延长KP交AB于F，设∠C=α，则∠BPG=2α+57°，利用三角形的外角性质，即可得到2α+57°﹣∠ABP=α+180°﹣（2α+57°）﹣∠CBP，再根据∠ABP=∠CBP，即可得出2α+57°=α+180°﹣（2α+57°），进而得到∠C的度数．
【解答】解：如图，延长KP交AB于F，
∵AB∥DE，DK平分∠CDE，
∴∠BPF=∠EDK=∠CDK，
设∠C=α，则∠BPG=2α+57°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP=∠BPG﹣∠ABP=2α+57°﹣∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+（180°﹣∠BPG﹣∠CBP），
∴2α+57°﹣∠ABP=α+180°﹣（2α+57°）﹣∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴2α+57°=α+180°﹣（2α+57°），
解得α=22°，
故选：D．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．
　
6．下列命题是真命题的有（　　）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
　
7．如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β=180° B．α+β=90° C．β=3α D．α﹣β=90°
【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠β，∠2=180°﹣∠α，于是得到结论．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1=∠β，∠α=180°﹣∠2，
∴∠α﹣∠β=180°﹣∠2﹣∠1=180°﹣∠BCD=90°，
故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
　
8．如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　）

A．105° B．120° C．130° D．145°
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC=180°﹣∠BFE=155°，∠BFC=∠EFC﹣∠BFE=130°，
图3中，∠CFE=∠BFC﹣∠BFE=105°．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
　
9．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．无法确定
　
【分析】根据题意分两种情况画出图形，再根据平行线的性质解答．
【解答】解：如图（1），∵AB∥DE，∴∠A=∠1=60°，
∵AC∥EF，∴∠E=∠1，
∴∠A=∠E=60°．
如图（2），∵AC∥EF，∴∠A=∠1=60°，
∵DE∥AB，∴∠E+∠1=180°，
∴∠A+∠E=180°，
∴∠E=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．
故一个角是60°，则另一个角是60°或120°．
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此题的关键是要分两种情况讨论，不要漏解．
　
二．填空题（共1小题）
10．在同一平面内有2018条直线a1，a2，a3…，a2018，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，那么直线a1与直线a2018的位置关系是　 　．
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【解答】解：如图，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，
∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，
∵2018÷4=504…2，
∴a1⊥a2018．
故答案是：a1⊥a2018．

【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到在同一平面内有2018条直线的位置关系的规律．
　
三．解答题（共8小题）
11．如图，已知AM∥BN，∠A=80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB=∠CBN=60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°﹣80°=100°，
∴∠ABP+∠PBN=100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=100°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；

（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；

（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，
∴∠ABC+∠DBN=50°，
∴∠ABC=25°．

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
　
12．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD=∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC=1.5∠ABF，∠FCB=2.5∠BCN，
①求证：∠ABF=∠AFB；
②求∠CBE的度数．

【分析】（1）过B作BG∥CN，依据平行线的性质，以及同角的余角相等，即可得到∠ABD=∠C；
（2）①设∠DBE=∠EBA=x，∠ABF=y，依据∠AFB+∠BCN=∠FBC，即可得到∠AFB=y=∠ABF；
②依据∠CBE=90°，AF∥CN，可得∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，解方程组，即可得到，进而得出∠CBE=3x+2y=120°．
【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN，
∴∠C=∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG=90°﹣∠ABG，
∴∠C=90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG=90°=∠D，
∴∠ABD=90°﹣∠ABG，
∴∠ABD=∠C；

（2）①如图2，设∠DBE=∠EBA=x，则∠BCN=2x，∠FCB=5x，
设∠ABF=y，则∠BFC=1.5y，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBC=∠DBF=2x+y，
∵∠AFB+∠BCN=∠FBC，
∴∠AFB+2x=2x+y，
∴∠AFB=y=∠ABF；
②∵∠CBE=90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，
∴，
∴，
∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
　
13．阅读下列材料：
已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠D．∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D．图1即∠BED=∠B+∠D．
请利用材料中的结论，完成下面的问题：
已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；
（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2=180°．

【分析】（1）由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（2）过点G1作G1H∥AB，由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD，求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；
证明：由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴2∠BEG+2∠GFD=180°，
∴∠BEG+∠GFD=90°，
∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF=90°；

（2）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3=∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4=∠G2FD，
∵∠1=∠2，
∴∠G2=∠2+∠4，
∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EG1F+∠G2=180°．


【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
　
14．如图，已知AB∥CD，点E在AC的右侧，∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F．探索∠AEC与∠AFC之间的等量关系，并证明你的结论．

【分析】分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，依据平行线的性质，即可得到∠AEC=∠AEG+∠CEG=∠BAE+∠DCE，∠AFC=∠BAF+∠DCF，再根据∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F，即可得到∠AEC=2（∠BAF+∠DCF）=2∠AFC．
【解答】解：∠AEC=2∠AFC．理由：
如图，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠AEG=∠BAE，∠CEG=∠DCE，
∴∠AEC=∠AEG+∠CEG=∠BAE+∠DCE，
同理可得∠AFC=∠BAF+∠DCF，
∵∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠BAE=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF，
∴∠AEC=2（∠BAF+∠DCF）=2∠AFC．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等进行推导．
　
15．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；
如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．

　
【分析】（1）∠3+∠1=∠2成立，理由如下：过点P作PE∥l1，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠AEP，根据l1∥l2，得到PE∥l2，再利用两直线平行内错角相等，根据∠BPE+∠APE=∠2，等量代换即可得证；
（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1=∠2，理由为：过P作PE∥l1，同理得到∠3=∠BPE，根据∠BPE﹣∠APE=∠2，等量代换即可得证．
【解答】解：（1）∠3+∠1=∠2成立，理由如下：
如图①，过点P作PE∥l1，
∴∠1=∠AEP，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3=∠BPE，
∵∠BPE+∠APE=∠2，
∴∠3+∠1=∠2；
（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3﹣∠1=∠2，理由为：
如图②，过P作PE∥l1，
∴∠1=∠APE，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3=∠BPE，
∵∠BPE﹣∠APE=∠2，
∴∠3﹣∠1=∠2．

【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线．
　
16．课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN∥CD．
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；
②由辅助线作图可知，∠2=∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
④由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数．
（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．
辅助线：　 　
分析思路：
（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．
【分析】（1）根据乙同学所画的图形：过点P作PN∥EF交AB于点N，再由平行线的性质得出∠EFG=∠NPG，根据∠1的度数得出∠2的度数，根据EF⊥AB得出∠2=90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出结论．
（2）根据丙同学所画的图形：过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．
【解答】解：（1）辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N．
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；
②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数和；
③又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
④由已知EF⊥AB，可得∠4=90°；
⑤由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4，所以可得∠2的度数；
⑥从而可以求出∠EFG的度数．

（2）如图，过点O作ON∥FG ，
∵ON∥FG，
∴∠EFG=∠EON∠1=∠ONC=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ONC=∠BON=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EFG=∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°．


【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角或同位角，依据平行线的性质进行计算求解．
　
17．问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°﹣∠A=50°，∠CPE=180°﹣∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°；

（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；


（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD=∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
　
18．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG=∠AEP+∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE=110°，∠PGC=∠EFC，求∠AEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　 　．

【分析】（1）延长EP交CD于M，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠EPG=∠PMG+∠PGC=∠AEP=∠PGC；
（2）连接EG，设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°﹣α，∠EFG=2β，进而得出∠PEG=70°﹣β，∠FEG=∠CGE﹣∠EFG=110°﹣α﹣β，依据∠PEG=∠FEG即可得到α=40°，即∠AEP=40°；
（3）根据EF平分∠PEB，可设∠BEF=∠PEF=α，根据四边形内角和可得∠PGC=180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）=∠P+2α﹣180°，依据∠EFG是△FGH的外角，可得∠FGH=∠EFG﹣∠EHG=α﹣∠EHG，最后依据∠PGC=2∠FGH，即可得到∠EPG与∠EHG之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG=∠PMG+∠PGC=∠AEP=∠PGC；

（2）如图1，连接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°﹣α，∠EFG=2β，
∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE=110°，
∴∠PEG+∠PGC=180°﹣110°=70°，即∠PEG=70°﹣β，
∵∠CGE是△EFG的外角，
∴∠FEG=∠CGE﹣∠EFG=β+（110°﹣α）﹣2β=110°﹣α﹣β，
70°﹣β=110°﹣α﹣β，
解得α=40°，
∴∠AEP=40°；

（3）如图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF=∠PEF=α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE=∠BEF=α，
∴四边形PGFE中，∠PGF=360°﹣∠P﹣2α，
∴∠PGC=180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）=∠P+2α﹣180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH=∠EFG﹣∠EHG=α﹣∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC=2∠FGH，
即∠P+2α﹣180°=2（α﹣∠EHG），
整理可得，∠P+2∠EHG=180°．
故答案为：∠P+2∠EHG=180°．

【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．