专题05 方程与不等式概念与相关计算中考数学考点总复习（全国通用） (2)

考点1：等式与不等式性质

1．等式的基本性质.

性质①：若a=b,则a±m=b±m;

性质②：若a=b,则am=bm;  若a=b,则(d≠0).

2．不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.

（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

【例1】宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）

做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和

一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方

法可使天平再度平衡（　　）

A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码 

C．左盘上加5克砝码 D．右盘上加5克砝码

【例2】（2021·湖南常德市）若，下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

1．运用等式的性质的注意事项

（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.

（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.

（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.

2．运用不等式的性质注意以下要点：

（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.

（2）不等式的基本性质：

① 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;

② 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;

③ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

1．（2021·山东临沂市）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列判断错误的是（　　）

A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d         B．如果a＝b，那么 

C．如果x＝3，那么x2＝3x                 D．如果ax＝bx，那么a＝b

考点2：一次方程（组）概念与解法

1．一元一次方程的有关概念

（1）只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0).

（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.

2．一元一次方程解法的一般步骤:

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.

3．二元一次方程组的定义:形如和都是

4．二元一次方程组的解法:

① 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:

a. 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;

b. 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;

c. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;

d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.

② 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;

b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;

c. 解这个一元一次方程;

d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.

【例3】（2021·浙江温州市）解方程，以下去括号正确的是（ ）

A． B． C． D．

【例4】（2021·天津）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

1．解一元一次方程的基本步骤.

①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.

2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法

1．（2021·广东）二元一次方程组的解为___．

2．（2021·重庆）方程的解是__________．

考点3：分式方程概念与解法

1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.

（2）常用方法：①去分母；②换元法.

（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.

（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.

（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.

【例5】（2021·广东）方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【例6】（2021·江苏泰州市）解方程：+1＝．

解分式方程的有关要点

（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.

（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.

（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

1．（2021·湖北黄石市）分式方程的解是______．

2．（2021·江苏南通市）解方程．

考点4：一元二次方程概念与解法

1．一元二次方程

（1）概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.

2．一元二次方程的解法

（1）基本思路:降次.

（2）方法:

① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是; 

② 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解; 

③ 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为; 

④ 因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.

【例7】（2021·浙江丽水市）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

【例8】（2021·湖北十堰市）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．

解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。注意以下要点：

（1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种；

（2）求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.

1．（2021·山东枣庄市）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．

考点5：一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.

（1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 

（2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 

（3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.

【例9】（2021·内蒙古通辽市）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

【例10】（2021·北京）已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

1．（2021·河南中考真题）若方程没有实数根，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

考点6：不等式（组）概念与解法

1．解不等式

求不等式解集的过程称为解不等式.

2．解一元一次不等式的一般步骤

① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为1.

在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.

3．一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.

（2）一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的各个不等式的解的公共部分,称为这个一元一次不等式组的解集.

（3）解一元一次不等式组:先求出各个不等式的解,再确定其公共部分,即为原不等式组的解集.

（4）借助数轴,熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.

【例11】（2021·四川宜宾市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．

【例12】（2021·四川遂宁市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

（1）在数轴上表示不等式的解集，注意“>”“≥”向右画，“<”“≤”向左画；

（2）在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点表示，“>”“<”要用空心圆点表示.

（3）取不等式组中各不等式解集的公共部分的规则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

1．（2021·重庆中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·湖南邵阳市·中考真题）不等式组的整数解的和为（    ）

A．1 B．0 C．-1 D．-2

3．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为_________．

考点7：含参不等式

【例13】（2021·四川眉山市）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．

【例14】（2021·重庆）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）

A． B． C． D．

1．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

考点8：含参方程

【例15】（2021·重庆）若关于x的方程的解是，则a的值为__________．

【例16】（2021·四川凉山彝族自治州）已知是方程的解，则a的值为______________．

【例17】（内蒙古呼伦贝尔）若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ）

A．3 B．0 C． D．0或3

【例18】（2021·山东聊城市）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（    ）

A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2

1．（2021·四川宜宾市）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

2．（2021·江苏南京市）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．

3．（2021·黑龙江绥化市）已知是一元二次方程的两个根，则__________．