初中第二十四章 圆综合与测试学案及答案

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第17讲      正多边形与圆、弧长和扇形的面积 1．正多边形的计算问题转化为三角形的计算问题，熟练掌握正多边形中各个量之间的关系；2．掌握并灵活运用弧长和扇形面积公式，合理进行图形的分解与组合；3．掌握与圆锥侧面展开图相关问题的计算方法，领悟将立体图形问题转化为平面图形问题的思想方法． 【板块一】   正多边形与圆 (1)如图，设正n边形A1A2A3…An的边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为n，周长为Cn，面积为Sn．则：①＝＋()2；②n＝；③Cn＝nan；④Sn＝nanrn＝Cnrn；(2)与正多边形相关的计算和证明问题常常转化为三角形的问题解决；(3)外接圆的半径(正多边形的半径)往往是解决问题的“中间量”，面积法是方程思想运用中常见的方法． 【例1】如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，求的值．    【例2】如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ可绕点O任意旋转，在旋转的过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边)，当这个正六边形的边长最大时，求AE的最小值．     【例3】如图，正五边形 ABCDE 的边心距OG＝，AH⊥BC于点H，求AH＋AG的值．       针对练习11．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是______． 2．如图，正六边形 ABCDEF中，点P是边ED的中点，连接AP，则的值是_______．      3．如图，正八边形 ABCDEFGH的半径为2，求该正八边形的面积．       4．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2，其中T1的6个顶点都在⊙O上，T2的6条边都与⊙O相切(T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)，则正六边形T1与T2的面积之比为_______．      5．如图，正△ABC的边长为12，剪去三个角后成为一个正六边形，求这个正六边形的内部任意一点到各边的距离之和．      6．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，试探究正六边形AnBnCnDnEnFn的面积(结果用含n的代数式表示)．         【板块二】弧长和扇形面积（1）灵活运用弧长和扇形面积公式解决问题；（2）利用“割补法”求不规则图形面积时，常常运用同底（等底）同高（等高）进行等积转化；（3）解决与圆锥相关的问题时，“化曲面为平面”（侧面展开图）的转化思想是核心．题型一　与弧有关的不规则图形的面积【例1】点A是半径为2的⊙O的直径MN的延长线上一点，点B，C在⊙O上，且BC∥0A．（1）如图1，若OA＝4，且AB与⊙O相切于点B，求图中阴影部分的面积；（2）如图2，若点B是的一个三等分点，求图中阴影部分的面积。      题型二　与圆锥有关的计算【例2】小华同学在一块边长为16的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是圆锥的底面．他设计了两个方案，方案一：如图1，⊙O1与BC，CD，都相切；方案二：如图2，⊙O2与BC，CD，都相切（点E，F分别在AB，AD上，且不与B，D重合）．（1）方案一可行吗？请说明理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及底面圆的半径；若不可行，请说明理由．            【例3】如图，有一圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边△ABC，圆锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥的侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．       针对练习21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点M，与AB交于点E，若AD＝2，BC＝6，则的长为　　　　．  2．小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型（不计接缝和损耗），则她所需纸板的面积是　　　cm2．   3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积为　　　　．      4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB1C1，使点C1落在BA的延长线上，则线段BC所扫过的面积为　　　　． 5．已知扇形OAB的面积为12cm2，圆心角∠AOB＝120°，以此扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的底面积为　　cm2．    6．如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，点C为母线PB的中点，求侧面上点A到点C的最短距离．     7．如图是一纸杯的示意图，纸杯上开口圆的直径AE＝6cm，纸杯下底面圆的直径CF＝4cm，AC，EF的延长线交于一点O，且形成的立体图形是圆锥，若EF＝AC＝8cm，求纸杯的侧面积．