第15讲 圆的有关性质-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册学案

第二十四章  《圆》

第15讲      圆的有关性质

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1. 与圆有关的概念；到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上；

2. 垂径定理及推论；弦、弧、圆心角关系定理；圆周角定理及推论；圆内接四边形性质定理。

【板块一】  半径的运用

方法技巧

利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形。

▶题型一  利用半径相等作等量代换

【例1】 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形DEFG彼此相邻(点A，D，E在直径MN上，点B，C,F在半圆上，点G在CD上)，若正方形DEFG的面积为9，求⊙O的半径。

【例2】 如图，点P是⊙O外的一点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与点A，B重合).求证：PA＜PC＜PB.

▶题型二  连半径，构等腰(构构全等)

【例3】 如图，AB是⊙O的直径，AD，BE的延长线交于点C，若∠C＝60°，试探究DE与AB的数量关系.

【例4】 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且交于点P，当四边形OAPC为平行四边形时，求证：AB＝CD.

针对练习1

1. 如图，点A，D，G，M在半圆上(点O是圆心)，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c的大小关系为         ．

2. 图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，过上半圆上的一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆上移动时，(不与A，B重合)，点P（    ）．

A．C到CD的距离保持不变 B．位置不变

C．等分弧AB D．随C点移动而移动

3. 如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，且AB＝2DE，若∠E＝13°，则∠AOC＝         ．

4. 如图，扇形MON的半径为7，∠MON＝60°，点A，B，C分别在OM，ON及弧MN上，且△ABC使等边三角形.若AB⊥ON，求BC的长.

5. 如图，点P是⊙O内的一定点，直线PO交⊙O于A，B两点，点C为⊙O上的任意一点(不与A，B两点重合)，求证：PA＜PC＜PB.

6. 如图，点P是△ABC的边AB的中点，分别以AC，BC为直径作半圆O1,O2,在半圆上分别取点E，F，使∠AO1E＝∠BO2F，求证：PE＝PF.

【板块二】  回到“圆的定义”中去

方法技巧

若O是一个定点，且OP＝r，则点P在以O为圆心，r为半径的圆上；共斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上.利用半径相等作等量代换或利用半径构造等腰三角形及全等三角形.

▶题型一  四点共圆

【例1】 如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD的四条边的中点，求证：E，F，G，H四点在同一个圆上.

【例2】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5.

(1)求证：A，B，C，D四点在同一个圆上；

(2)求(1)中圆的面积.

▶题型二  求定点到动点的距离的最值(或范围)

【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在以1为半径的⊙B上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°，得到对应线段CE，连接BE，求BE的长度的最小值.

【例4】 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M时边AD的中点，点N时边AB上的一动点，将△AMN沿直线MN翻折得到△A’MN，连接A’N，求A’C的最小值.

针对练习2

1. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是

 A．矩形，平行四边形 B．菱形，正方形 C．正方形，直角梯形 D．矩形，正方形

2. 在同一个平面上，点P到院上的点的最大距离为10，最小距离为8，则该圆的半径为         ．

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上的一动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE，连接AF，求AF的最小值.

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AC上的一点，且DC＝2，点E是边BC上的一动点，把△CDE沿直线DE翻折，得到△C’DE，求点C’到AB的最小距离.

5. 如图，线段OB＝5，点A在OB上，OA＝2，点P是以2为半径的⊙A上的一动点，连接PB，以PB为边作等边△PBM(P，B，M按逆时针方向排列)，连接AM，求AM的取值范围.

6. 如图，点D时等边△ABC的边BC的中点，BC＝2，点F是一动点，DE⊥DF，且DE＝DF＝，指点AE与CF相交于点M.

(1)求证：A，D，C，M在同一个圆上；

(2)连接BM，求线段BM的长的最大值和最小值.

【板块三】  垂直于弦的直径

方法技巧

(1)过圆心作弦的垂线段(弦心距)，构建垂直定理的应用模型；

(2)弦(非直径)的中点与圆心相连，构造垂直关系.

▶题型一  过圆心作弦的垂线段(作弦心距)

【例1】 如图，在O中，已知直径AB的长为2R，弦CD交AB于点P，当点P在AB上运动时，始终保持∠APC＝45°，问：的值是够变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由.

【例2】 (1)如图1，点P是⊙O内的一点，弦AB⊥OP，垂足为点P，弦CD经过点P，求证：CD＞AB；

(2)如图2，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的的圆经过点A(13,0),直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B，C两点，求弦BC的长的最小值.

▶题型二  连接圆心与弦(非直径)的中点

【例3】 (1)如图1，点A时O上的一定点，B是⊙O上的一动点，点M时弦AB的中点，求证：点M在OA为直径的圆上；

(2)如图2，点A，B，C都在半径为6的⊙O上，且∠AOC＝120°，点M是弦AB的中点，求CM的长度的最大值.

针对练习3

1.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°．若PC2＋PD2＝8，⊙O的半径长为_______.

2.如图，已知点B，C在⊙O上，点A在⊙O内，∠CBA＝∠OAB＝60°，AB＝8，BC＝12，则⊙O的半径长为______.

3．在半径为6的⊙O中有一条长为8的弦AB，点P是AB的中点，当弦AB的端点A，B在⊙O上运动一周时，点P运动所形成的图形是____________________.

4．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P连接OP，若CP＝1，求AB2＋CD2的值.

5．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.

(1)求证：AC＝DB；

(2)若AC·BC＝7，求圆环的面积S的值.

6．如图正方形ABCD的顶点A，D和正方形EFGH的顶点E，F在以5为半径的⊙O上，点G．H在线段EC上，若正方形ABCD的边长为6，求正方形EGH的边长.

【板块四】圆中角

方法技巧

圆中的角主要有圆心角、圆周角：圆心角、弧、弦关系定理，圆周角定理及推论等定理的运用都是以“弧”

为中介，把圆中的角，圆中不同名称的量联系起来.

题型一利用直径构直角，遇直角连直径

【例1】如图，在半径为R的⊙O的内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点P，求证：AP2＋BP2＋CP2＋DP2为定值.

【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过A，C两点作⊙O．分别交BC，AB于点D，E，若CD＝1、AC＝3，且E为AB的中点，求BD的长.

题型二利用圆内接四边形转化与有关的角

【例3】如图，AB是⊙O的直径，＝， CE⊥DB于点E，求的值.

【例4】如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点P是⊙O1上的一点，直线PA，PB分别与⊙O2交于C，D两点，连接CD，PO，求证：PO1⊥CD.

针对练习4

1.如图、AB，AC，AD都是⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为______.

2.如图，△ABC内接于⊙O， AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，若BC＝6，AH＝4，则⊙O的半径长为__________.

3.如图，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接正方形、点P是上的一动点(不与A，D重合)，连接PA，PB，PC，PD.

(1)分别求，的值

(2)求证：PA2＋PB2＋PC2＋PD2为定值.

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，BA＝BC，经过A，D，C三点的⊙0交BC于点E，连接DE并延长，交AB的廷长线于点F，连接CF，DB.

(1)求证：CF＝DB；

(2)当AD＝时，求点E到CF的距离.

【板块五】弧的中点

方法技巧

弧的中点有三种常见的处理方法：①弧的中点与圆心相连，构建垂直关系；②弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形：③弧的中点与圆上的另一点相连，构建内(外)角平分线.

题型一   弧的中点与圆心相连，垂直平分弧所对的弦

【例1】如图，在⊙O中，AD是直径，CD为弦，点B是的中点，若AB＝8，CD＝12．求AD的长.

题型二   弧的中点与弧所对的弦的端点相连，构建等腰三角形

【例2】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB的中点，DC是⊙O的弦，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N，(AM＜BN)

(1)求证：CM＝AM＝DN；

(2)若⊙O的半径为5，CD＝7，求的值.

(3)在(2)的条件下，求ON的长.

题型三弧的中点与圆上另一点相连，构建内（外）角平分线

【例3】已知PA，PB是⊙O的弦，弦CD⊥PA于点E．

(1)如图1，若点C是劣弧的中点，求证：AE＝PE＋PB

(2)如图2，若点C是优弧的中点，试判断线段AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.

针对练习5

1.如图，AB是⊙O的，BC是⊙O的直径，点D是的中点，弦CD交AB于点P，若AB＝4，BC＝5，求DP的长．

2.如图，△ABC内接于⊙0，点D是的中点，DE⊥AB于点E，求的值.

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是⊙O上的一点，且∠BAC＝2∠ECA

(1)求证：＝；

(2)连接BE，AE，若AD＝6，CE＝4，求△ABE的面积.

4.如图，四边形AECD内接于⊙O，∠ABD＝∠CAD＝45°，BD＝7，设点B关于CD的对称为E，连接AE，若BC＝8，求AE的长.