专题13 一元一次不等式（组）的实际应用-2021-2022学年七年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

七年级数学下册解法技巧思维培优

专题13    一元一次不等式(组)的应用

题型一  一元一次不等式（组）应用题

【典例1】（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．

（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？

【点拨】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000；

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，根据y的范围确定购买方案即可；

【解析】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，

由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，

70x＝9800，

x＝140，

∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，

根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，

10y≤30，

∴y≤3；

购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；

购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；

购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；

【典例2】（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．

（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？

【点拨】（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，根据“若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，根据总费用＝种植每m2所需费用×种植数量结合总费用不超过6300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解析】解：（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，

依题意，得：，

解得：．

答：该社区种植甲种花卉1m2需80元，种植乙种花卉1m2需90元．

（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，

依题意，得：80（75﹣m）+90m≤6300，

解得：m≤30．

答：该社区最多能种植乙种花卉30m2．

【典例3】（2019•两江新区期末）两江新区某小学每年的六一儿童节都会举办不同主题色的童装盛会，记录孩子们成长的印记，这种活动让商家们看到了新的商机，某网店获悉今年的主题色是梦幻紫色，在六一节前购进梦幻紫色系列的A、B两款童装共86件，其中A款童装120元每件，B款童装80元每件，共用去资金8480元．

（1）求此网店购A、B两款童装各多少件？

（2）六一儿童节的童装盛会反响非常好，引起社会上的童爸童妈们的高度关注，将这两款童装再次推向了热销，此网店决定再次购进A、B两款童装，数量与上次相同，购进时，发现A款童装的进价上涨了a%，B款童装的进价下降了a%，总价不超过9050元，求a的最大值．

【点拨】（1）设网店购A款童装x件，购B款童装y件，由题意得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总价＝单价×数量结合总价不超过9050元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解析】解：（1）设网店购A款童装x件，购B款童装y件，由题意得：

，

解得：，

答：网店购A款童装40件，购B款童装46件；

（2）根据题意得：120×（1+a%）×40+80×（1a%）×46≤9050，

解得：a≤16．

答：a的最大值为16．

题型二  一元一次不等式（组）与方程（组）的综合

【典例4】（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．

（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？

（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？

【点拨】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价＝单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．

【解析】解：（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，

依题意，得：，

解得：．

答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．

（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，

依题意，得：，

解得：m．

∵m为整数，

∴m＝3，4，5，

∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．

方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；

方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；

方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．

∵114＜120＜126，

∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．

巩固练习

1．（2019•赣榆区期末）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．

（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【点拨】（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，根据“购买3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，购买2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解析】解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x元，1个乙种乒乓球的售价是y元，

依题意，得：，

解得：．

答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．

（2）设购买甲种乒乓球a个，费用为w元，则购买乙种乒乓球（200﹣a）个，

依题意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．

∵a≤3（200﹣a），

∴a≤150．

∵﹣2＜0，

∴w值随a值的增大而减小，

∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50．

答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．

2．（2019•永定区期末）某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个．

（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；

（2）由于最后参加活动的人数增加了20人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

【点拨】（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，根据“租用6辆大客车和5辆小客车正好能乘坐310人，每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设租用a辆小客车，则租用（6+5﹣a）辆大客车，根据可乘坐的总人数＝每辆车的乘客座位数×租车辆数结合可乘坐的总人数不少于330人（310+20），即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．

【解析】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，

依题意，得：，

解得：．

答：每辆小客车的乘客座位数是20个，每辆大客车的乘客座位数是35个．

（2）设租用a辆小客车，则租用（6+5﹣a）辆大客车，

依题意，得：20a+35（6+5﹣a ）≥330，

解得：a≤3，

∵a为整数，

∴a的最大值为3．

答：租用小客车数量的最大值为3．

3．（2019•沙雅县期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）

（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）

【点拨】（1）根据“购买3个足球和2个篮球共需170元．购买2个足球和5个篮球共需260元”分别得出等式方程组成方程组求出即可；

（2）利用一次性购买足球和篮球共46个，购买足球和篮球的总费用不超过1480元，得出不等式求出即可．

【解析】解：（1）设足球单价x元、篮球单价为y元，

根据题意得：，

解得：．

答：足球单价30元、篮球单价40元；

（2）设最多买篮球m个，则买足球（46﹣m）个，根据题意得：

40m+30（46﹣m）≤1480，

解得：m≤10，

∵m为整数，

∴m最大取10，

答：这所中学最多可以买10个篮球．

4．（2019•方城县一模）学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．

（1）求一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元；

（2）学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【点拨】（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据“购进2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元；购进1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅（200﹣m）套，由购进A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再设购买费及运费的总和为w元，根据总费用＝购买单价×购买数量+每套的运费×套数，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可找出最省钱的购买方案．

【解析】解：（1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，

依题意，得：，

解得：．

答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元．

（2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅（200﹣m）套，

依题意，得：m≤3（200﹣m），

解得：m≤150．

再设购买费及运费的总和为w元，

依题意，得：w＝600m+800（200﹣m）+10×200＝﹣200m+162000．

∵﹣200＜0，

∴w值随着m值的增大而减小，

∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元．

5．（2019•呼兰区月考）某自行车行销售甲、乙两种品牌的自行车，若购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元，若购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆需要进货款4500元．

（1）求甲、乙两种品牌自行车每辆进货价分别为多少元？

（2）今年夏天，车行决定购进甲、乙两种品牌自行车共50辆，在销售过程中，甲品牌自行车的利润率为80%，乙品牌自行车的利润率为60%，若将所购进的自行车全部销售完毕后其利润不少于29500，那么此次最多购进多少辆乙种品牌自行车？

【点拨】（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，根据“购进甲品牌自行车5辆，乙品牌自行车6辆，需要进货款9500元；购进甲品牌自行车3辆，乙品牌自行车2辆，需要进货款4500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，根据利润＝成本×利润率，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解析】解：（1）设甲种品牌自行车每辆进货价为x元，乙种品牌自行车每辆进货价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：甲种品牌自行车每辆进货价为1000元，乙种品牌自行车每辆进货价为750元．

（2）设购进乙种品牌自行车m辆，则购进甲种品牌自行车（50﹣m）辆，

依题意，得：1000×（50﹣m）×80%+750m×60%≥29500，

解得：m≤30．

答：此次最多购进30辆乙种品牌自行车．

6．（2019•梅州模拟）我市大力发展乡村旅游产业，全力打造客都美丽乡村”，其中“客家美景、客家文化、客家美食”享誉全省，游人络绎不绝．去年我市某村村民抓住机遇，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮收入是住宿收入的2倍还多1万元．

（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的收入各为多少万元？

（2）今年该村村民再投入了10万元，增设了土特产的实体销售和网上销售项目并实现盈利，村民在接受记者采访时说，预计今年餐饮和住宿的收入比去年还会有10%的增长．这两年的总收入除去所有投资外还能获得不少于10万元的纯利润，请问今年土特产销售至少收入多少万元？

【点拨】（1）设去年餐饮收入为x万元，住宿为收入y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；

（2）设今年土特产的收入为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．

【解析】解：（1）设去年餐饮收入x万元，住宿收入y万元，

依题意得：，

解得：，

答：去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；

（2）设今年土特产m万元，

依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣10≥10，

解之得，m≥6.4，

答：今年土特产销售至少有6.4万元的收入．

7．（2019•百色一模）某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需464元．

（1）问足球和篮球的单价各是多少元？

（2）若购买足球和篮球共20个，且购买篮球的个数不超过足球个数的2倍，购买球的总费用不超过1910元，问该学校有哪几种不同的购买方案？哪种方案最省钱？

【点拨】（1）设足球的单价为x元/个，篮球的单价为y元/个，根据“购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需464元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买篮球m个，则购买足球（20﹣m）个，根据购买篮球的个数不超过足球个数的2倍及购买球的总费用不超过1910元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各购买方案，求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．

【解析】解：（1）设足球的单价为x元/个，篮球的单价为y元/个，

依题意，得：，

解得：．

答：足球的单价为118元/个，篮球的单价为76元/个．

（2）设购买篮球m个，则购买足球（20﹣m）个，

依题意，得：，

解得：10m≤13．

∵m为正整数，

∴m＝11，12，13．

故有3种购买方案：

方案一：购买篮球11个，足球9个，费用为76×11+118×9＝1898（元）；

方案二：购买篮球12个，足球8个，费用为76×12+118×8＝1856（元）；

方案三：购买篮球13个，足球7个，费用为76×13+118×7＝1814（元）．

∵1898＞1856＞1814，

∴购买方案三最省钱．

8．（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【点拨】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据“若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总辆数为8辆；

（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总费用＝400×租用35座客车的数量+320×租用30座客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解析】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，

依题意，得：，

解得：．

答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．

（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），

∴租车总辆数为8辆．

故答案为：8．

（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，

依题意，得：，

解得：2≤m≤5．

∵m为正整数，

∴m＝2，3，4，5，

∴共有4种租车方案．

设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w的值随m值的增大而增大，

∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．

∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．