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初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课后测评
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课后测评，共74页。试卷主要包含了用勾股定理理解直角三角形，两点距离公式，勾股数，以直角三角形三边长的面积问题，勾股定理解决网格问题，勾股定理与折叠问题，用勾股定理与两线段的平方和，用勾股定理证明两线段的平方关系等内容，欢迎下载使用。
17.1 勾股定理（巩固篇）（专项练习1）
一、 单选题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
1．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A． ①段 B．②段 C．③段 D．④段
类型二、两点距离公式
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，，且满足．若的面积为，则的值不可能为（ ）
A．18 B．46 C．82 D．55
4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）和点B（3，1），点C、D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为（ ）
A．5 B．6 C．2+2 D．8
类型三、勾股数
5．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，17 B．6，8，10 C．3，4，5 D．3，5，7
6．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
类型四、以直角三角形三边长的面积问题
7．如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A． S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
类型五、勾股定理解决网格问题
9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
类型六、勾股定理与折叠问题
11．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
13．若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
14．在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．cm
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a＝b C．c2＝2a2 D．a2＝b2﹣c2
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，M，N分别AB上的两动点，且∠MCN=45°，下列结论：①；②CM2﹣CN2=NB•NA﹣MB•MA；③AM2+BN2=MN2；④S△CAM+S△CBN=S△CMN，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型九、勾股定理的证明
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有( )
A． B．
C． D．
类型十、以弦图为背景的计算题
19．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
20．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
21．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
22．如图，桌面上的长方体长为4，宽为3，高为2，．一只蚂蚁（看作一点）从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．3 B． C． D．
类型十二、勾股定理与无理数
23．如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
24．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、 填空题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
25．如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线OP．
如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．
26．如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．
类型二、两点距离公式
27．如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为____．
28．如图，平面直角坐标系中，点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，∠OPA 的 平分线交x轴于点B，则点B的坐标为___．
类型三、勾股数
29．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为________．
30．如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．
类型四、以直角三角形三边长的面积问题
31．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____．
32．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝__________．
类型五、勾股定理解决网格问题
33．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则的度数为_______．
34．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
类型六、勾股定理与折叠问题
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝，E为AC的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠得到△DEF，DE交BC于点G，若∠BFD＝30°，则CG＝_____．
36．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D点为AC边上一点，E为AB边上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A的对应点A'落在△ABC的边上，若AD＝2，则线段A'C的长度为 _____．
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
37．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 _________________．
38．如图，等边△ABC中，AB=6，BE平分∠ABC交AC边于点E，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，当△ABP为等腰三角形时，t的值为________．
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
39．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 ，请说明理由．（提示：连接BQ）
40． 设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．
类型九、勾股定理的证明
41．如图，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边长都是的直角三角形拼成如图形状用不同的方法计算这个图形的面积，可得关于a，b，c的一个等式是_______________________．
42．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______.
类型十、以弦图为背景的计算题
43．勾股定理有很多种证明方法，我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理．在Rt△ABC中，已知AB＝2BC，分别以AB，BC，AC为边，按如图所示的方式作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI．其中HI与BD交于点N，设四边形ABNI的面积为S1，△CHN的面积为S2，则＝__________________．
44．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ___．
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
45．在中，BC边上的高为4，，，则______．
46．如图，已知圆柱底面周长是，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
类型十二、勾股定理与无理数
47．如图,已知是腰长为1的等腰三角形,以的斜边AC为直角边,画第二个等腰三角形RT△ACD,再以的斜边AD为直角边,画第三个等腰三角形,,以此类推,则第2019个等腰三角形的斜边长是______．
48．已知，那么以a、b为边长的直角三角形的第三边长为__________________________．
三、解答题
49．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
50．如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长．
51．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）．
52．如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为和，斜边长为．可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理． 请画出一种示意图并写出验证过程．
53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；
（2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是_________________；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________．
参考答案
1．A
【分析】
根据勾股定理，可求出AD长，再证明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
解：点C为线段AB的中点，
∴AC=AB=4cm，
Rt△ACD中， CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5(cm)；
∵CD⊥AB，
∴∠DCA=∠DCB=90°，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD=BD=5cm,
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
∴橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题．
2．A
【分析】
过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，可求AH=，HB=1，BM=1，在Rt△AHM中，求得AM=，再估算出2.6＜＜2.7，即可求解．
【详解】
解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故选：A．
【点拨】
本题考查实数与数轴，熟练掌握勾股定理，通过构造直角三角形求AM的长度，并作出正确的估算是解题的关键．
3．D
【分析】
先根据两点之间的距离公式和可得一个关于的等式，再根据三角形的面积公式可得，然后分和两种情况，利用完全平方公式进行变形运算即可得．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
，即，
，
，的面积为，
，即，
（1）当时，则，
由得：或，
①当时，则，
此时；
②当时，
此时；
（2）当时，则，，
所以由得：，
此时；
综上，的所有可能的值为18，46，82，
故选：D．
【点拨】
本题考查了两点之间的距离公式、因式分解、完全平方公式等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
4．B
【分析】
先作点关于y轴的对称点，点关于x轴的对称点B′的坐标是，根据对称性可得，由勾股定理解得，据此代入解题.
【详解】
解：如图，点关于y轴的对称点，
点关于x轴的对称点B′的坐标是，
由对称性可知，
由勾股定理可求得，
所以，四边形ABCD周长的最小值是，
故选：B.
【点拨】
本题考查轴对称求最短路径问题，涉及勾股定理等知识，正确画出辅助线、掌握相关知识是解题关键.
5．D
【分析】
利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可．
【详解】
∵，
∴A组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴B组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴C组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴D组不是勾股数，符合题意；
故选D．
【点拨】
本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握定理，灵活变形运用平方差公式简洁判断是解题的关键．
6．B
【分析】
根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，
∴S3=S2−S1=10−3=7，
故选：B．
【点拨】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
7．C
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点拨】
题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
8．A
【分析】
设AC=a，BC=b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【详解】
解：设AC=a，BC=b，
∴S△ABC=ab，
AB=，
在等腰直角三角形中，
AE=EC=，
CF=BF=，
AD=BD=，
在Rt△AED中，
ED=，
DC=EC-ED=，
A：S4=AE•ED=•b•a=ab=•ab=•S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，
则S3+S△ADM=S△ADC=•CD•AE=×（a-b）×a=，
又∵S1+S△ADM=S△ADB=•AD2=•=，
∴（S1+S△ADM）-（S3+S△ADM）=S1-S3=-==，
则S1-S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFD=FD•BF=•a•b=，
∴S△ADM+S3=•（a-b）•a=（a2-abS△BCM+S3=S△BCD=•CD•BF=•（a-b）•b=（ab-b2），
S△ADM+S1=S△ADB=（a2+b2），
S△BCM+S1=S△ABC，
S2=BF2=•=，
S2+S3+S4=S梯形AEFB-S△ABD-S△ABC+S1，
∴S2+S3+S4=S1
∵S1无法确定，
∴无法确定C；
D：由B选项过程得S1-S3=，
又∵S2=•b2，
得到：S1+S2-S3=b2+ab=b2+S△ABC，
此时S1+S2-S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
【点拨】
本题主要考查勾股定理和直角三角形面积公式，关键是对知识的掌握和运用．
9．C
【分析】
根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和的长，然后即可计算出的长．
【详解】
解：由题意可得：，
是的高，，
，
解得：，
故选：C．
【点拨】
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．B
【分析】
如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
【详解】
解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．
11．B
【分析】
连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】
解：连接BM，MB′，
设AM=x，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵折叠，
∴MB=MB′，
∴AB2+AM2= MD2+DB′2，
即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，
解得x=2，
即AM=2，
故选：B．
【点拨】
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
12．B
【分析】
在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
【点拨】
本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
13．A
【分析】
设一条直角边为x，斜边为3x，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：设一条直角边为x，斜边为3x，依题意有
x2+（）2=（3x）2，
解得x=±1（负值舍去），
则3x=3．
故选：A．
【点拨】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是熟悉直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的知识点．
14．B
【分析】
由勾股定理解得，根据角平分线的性质，可得，过点，分别作三边的垂线段，继而证明，，，由全等三角形对应边相等的性质得到，，即可证明，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得的值．
【详解】
解：在中，，，，
是中三个内角的平分线的交点，
过点，分别作三边的垂线段，如图，
在与中，
同理得，，
又
故选：B．
【点拨】
本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．D
【分析】
由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答 ．
【详解】
解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故本选项正确，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，故本选项正确，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故本选项正确，不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2，故本选项不正确，符合题意；
故选D．
【点拨】
本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键．
16．C
【分析】
①由勾股定理即可得；
②过点C作CD⊥AB于D，由等腰直角三角形性质可得AD=BD=CD，再由勾股定理即可得CM2-CN2=NB•NA-MB•MA；
③过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，可证：△CBM′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，再由勾股定理可得：M′B2+BN2=M′N2，即AM2+BN2=MN2；
④由全等三角形面积相等可知：S△CBM′=S△CAM，S△CNM′=S△MCN，即可得S△CAM+S△CBN＞S△MCN．
【详解】
解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
ABAC，
故①正确；
②如图1，过点C作CD⊥AB于D．
∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，
∴AD=BD=CD
CM2=CD2+MD2，CN2=CD2+DN2，
∴CM2﹣CN2=MD2﹣DN2=(MD+DN)(MD﹣DN)=MN(MD﹣DN)=MN(MB﹣NA)
∵NB•NA﹣MB•MA=NB•NA﹣MB(NA﹣MN)
=MB•MN+NB•NA﹣MB•NA
=MB•MN﹣NA(MB﹣NB)
=MB•MN﹣NA•MN
=MN(MB﹣NA)，
∴CM2﹣CN2=NB•NA﹣MB•MA
故②正确；
③如图2，过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，则∠ABM′=90°
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBM′=45°=∠A
在△CBM′和△CAM中
，
∴△CBM′≌△CAM(SAS)，
∴CM′=CM ∠BCM′=∠ACM，
∴∠M′CN=∠BCM′+∠BCN=∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°=∠MCN
在△M′CN和△MCN中
，
∴△M′CN≌△MCN(SAS)，
∴M′N=MN
在Rt△M′BN中，∠M′BN=90°，M′B2+BN2= M′N2，
∴AM2+BN2=MN2
故③正确；
④如图2．
∵△CB M′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，
∴S△CBM′=S△CAM，S△CNM′=S△MCN，
∴S△CAM+S△CBN=S△CBM′+S△CBN=S△CNM′+S△BNM′=S△MCN+S△BNM′＞S△MCN，
故④错误．
故选：C．
【点拨】
本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
17．D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
18．B
【分析】
根据梯形的面积的两种求法，构建关系式即可解决问题．
【详解】
解：根据题意得，，
∴a2+b2=c2，
故选：B．
【点拨】
本题考查勾股定理的证明、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
19．D
【分析】
由大的正方形的边长为结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，再利用 结合可判断③，再由可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则（负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点拨】
本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.
20．C
【分析】
设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c，由图2可得，由图3可得，由此得到，求解即可．
【详解】
解：设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c，
由图2可得，
由图3可得，
∴，
解得，
故选：C．
【点拨】
此题考查以弦图为背景的计算，正确理解图形之间的关系，设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c由此表示出各关系式是解题的关键．
21．A
【分析】
在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故选：A．
【点拨】
本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
22．B
【分析】
根据题意画出长方形的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
解：如图1所示，则，
如图2所示，则，
如图3所示，则，
综上：AB的最短距离为．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查的是平面展开－最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
23．C
【分析】
因为△OAB是一个直角三角形，且有OC=OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判断其大小．
【详解】
解：∵AB⊥OA
∴在直角三角形OAB中有 OA2+AB2=OB2
∴
∴4＜＜5
又∵OC=OB
∴点C所表示的数介于4和5之间
故选：C．
【点拨】
此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．
24．D
【分析】
由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解．
【详解】
解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3，
∴，故①错，②正确；
∵O为数轴原点，
∴点C对应的数是，故③错误；
∵，，
∴5＜AD＜6，故④正确；
∴正确的有②④；
故选D．
【点拨】
本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键．
25．
【分析】
先根据题意发现OP是∠AOB的角平分线，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°
∵MH⊥OB
∴∠OMH=45°
∴△OMH是等腰直角三角形
∴OH=MH=2,
∴OM=．
故答案是．
【点拨】
本题主要考查了角平分线的做法、运用勾股定理解直角三角形，根据题意发现OP是∠AOB的角平分线是解答本题的关键．
26．①③
【分析】
利用等边三角形的性质即可证明出；在四边形中，根据，可得，即；先求出，得，通过等量代换即可；根据即可判断．
【详解】
解：和都是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确；
，
在四边形中，
，
，
故②错误；
，
，
，
，
，
故③正确；
，
，
不一定等于，
不一定成立，
故④错误；
故答案是：①③．
【点拨】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．
27．5
【分析】
作出点A关于x轴的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：作出点A关于x轴的对称点，连接，
由两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，
过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，如图，
∵，
∴BD=3+1=4，
在Rt△中，
即AC＋BC的最小值为5，
故答案为5．
【点拨】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握并应用两点之间，线段最短是解答本题的关键．
28．（5，0）
【分析】
根据点P坐标可求得PO＝5，再根据平行线的性质及角平分线的定义可证得∠OBP＝∠OPB，进而可得OB＝OP＝5，由此可求得答案．
【详解】
解：∵点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，
∴PA＝4，AO＝3，∠PAO＝90°，
∴在RtPAO中，PO＝，
∵∠PAO＝∠AOB＝90°，
∴PAOB，
∴∠APB＝∠OBP，
又∵PB平分∠OPA，
∴∠APB＝∠OPB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∴OB＝OP＝5，
∴点P的坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
【点拨】
本题考查了点的坐标与图形，勾股定理的应用以及平行线的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
29．13，84，85
【分析】
由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，进而得出（13，84，85）．
【详解】
解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【点拨】
本题考查的是勾股数的规律探究，能够根据题意找到每组勾股数之间的关系是解决本题的关键．
30．2n＋2
【分析】
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，
∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积Sn=2n+2，
故答案为：2n+2．
【点拨】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
31．24
【分析】
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
阴影部分的面积，
故答案为：24．
【点拨】
本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．
32．12
【分析】
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，再由正方形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵，，，
∴，
∴，
∴BC=12
故答案为：12．
【点拨】
本题主要考查的是勾股定理和算术平方根，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
33．45°
【分析】
如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC-∠DAE=∠ACG，即可得解．
【详解】
解：如图，连接CG、AG，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，
∴AC2+AG2=CG2，
∴∠CAG=90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG=45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°，
故答案为：45°．
【点拨】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．＞
【分析】
在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】
=3，
，
故填：＞．
【点拨】
本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
35．2
【分析】
由直角三角形的性质求出，由折叠的性质得出，，可求出，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：，，
，
，
，
为的中点，
，
将沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
故答案为：2．
【点拨】
本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
36．或
【分析】
分当点在AB上时和当点在BC上时两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，当点在AB上时，
由折叠的性质可得，，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=1，∠A=∠B=45°，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点在BC上时，
由折叠的性质可得，CD=AC-AD=1，
∴，
∴综上所述，或，
故答案为：或．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
37．
【分析】
在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据垂直平分线的性质解得AE＝，∠AED＝90°，继而在中，根据勾股定理解题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AC＝，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝，AD=BD，∠AED＝90°，
设
在中，
，
，
解得：
故答案为：．
【点拨】
本题考查勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
38．，6，
【分析】
分、BP=AB、三种情况分别讨论求t的值即可．
【详解】
解：∵为等边三角形，BE平分∠ABC，AB=6，
∴，,，
若为等腰三角形，
当时，过点P作，交于点，则，
在中，，
设，
则，
∴,即，
解得：，
∴，即，
当时，由AB=6，
∴，即，
当时，如图，在中，，，
∴，即，
综上可知当为等腰三角形时的值为，6，，
故答案为：，6，．
【点拨】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
39．PB2+AP2=2CP2
【分析】
连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP=∠CBQ=45°，AP=BQ，可得∠ABQ=90°，由勾股定理可得PB2+BQ2=PQ2，即可求解．
【详解】
解：如图，连接BQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°=∠ACB，PQ2=2CP2，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP=∠CBQ=45°，AP=BQ，
∴∠ABQ=90°，
∴PB2+BQ2=PQ2，
∴PB2+AP2=2CP2，
故答案为：PB2+AP2=2CP2．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ=90°是本题的关键．
40．48
【分析】
由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【详解】
解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，
∴a＋b＋10＝24，
∴a＋b＝14，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2＋b2＝102，
则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，
即142−2ab＝102，
∴ab＝48．
故答案为：48．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．
41．
【分析】
用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【详解】
根据题意得：S=(a+b)(a+b)，S=ab+ab+c2，
∴(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，即(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，
整理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2．
【点拨】
本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．12
【分析】
欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．
【详解】
解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x，
∵，
∴AB=x+3，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，
整理得，x=2，
∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．
43．
【分析】
如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q，设BC=a，则AB=2a，根据正方形性质可证得△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB，得出S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=a2，S正方形BGPQ=a2，S正方形ACHI=5a2，再证得△DNI≌△QNH（AAS），可求得：S2=a2，S1=a2，即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q，
设BC=a，则AB=2a，
∵四边形ABDE、四边形BCFG和四边形ACHI是正方形，
∴I、G、F在同一直线上，
∴AE=AB=2a，BG=BC=a，∠ABC=∠BAE=∠AEI=∠CAI=∠D=90°，
∴∠IAE+∠BAI=∠BAI+∠CAB=90°，
∴∠IAE=∠CAB，
∴△AIE≌△ACB（ASA），
同理可得：△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB，
∴S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=×a×2a=a2，
∵∠GBQ=∠BGP=∠GPQ=90°，BG=GP=a，
∴四边形BGPQ是正方形，
∴S正方形BGPQ=a2，
∴S正方形ACHI=5a2，
∵ID=QH=a，∠D=∠HQN=90°，∠DNI=∠QNH，
∴△DNI≌△QNH（AAS），
∴DN=NQ=a，
∴S△HNQ=×a×a=a2，
∴S2=S△CHN=S△CHQ+S△HNQ=a2+a2=a2，
∴S1=S四边形ABNI=S正方形ACHI-S△ACB-S△CHN=5a2-a2-a2=a2，
∴；
故答案为：．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积和正方形面积等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
44．12
【分析】
设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【详解】
解：设小正方形的边长为x，
∵a=2，b=3，
∴AB=2+3=5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（2+x）2+（x+3）2=52，
整理得，x2+5x-6=0，即x2+5x=6，
而矩形面积为（2+x）（3+x）=x2+5x+6=6+6=12，
即该矩形的面积为12，
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理得到x2+5x=6再整体代入计算是解题的关键．
45．5或1
【分析】
根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分别计算即可；
【详解】
当为锐角三角形时，如图所示，
∵，，，，
∴，，
∴；
当为钝角三角形时，如图所示，
∵，，，，
∴∴，，
∴；
故答案是：5或1．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
46．
【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，
把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
．
这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．
47．
【分析】
先求出第一个到第四个的等腰直角三角形的斜边的长，探究规律后即可解决问题．
【详解】
第一个等腰直角三角形的斜边为；
第二个等腰直角三角形的斜边为；
第三个等腰直角三角形的斜边为
第四个等腰直角三角形的斜边为；
…
第2019个等腰直角三角形的斜边为；
故答案为．
【点拨】
本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
48．4或
【解析】
试题解析：∵
∴=0，（b-5）2=0
a=3，b=5求第三边有两种情况：一种，以a，b为直角边得第三边为；另一种，b为斜边则第三边为．
49．
（1）见解析
（2）26
【分析】
（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．
（1）
解：∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，
∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．
（2）
在直角三角形ACD中，
∵∠ADC=90°，
∴CD＝=8，
∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，DE=BE，
∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
50．，
【分析】
由题意可得，，根据勾股定理求得，设，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：由题意可得，，，
根据勾股定理可得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
【点拨】
此题考查了利用勾股定理解直角三角形，涉及了折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理．
51．为米
【分析】
连接CD，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
在中，，
即，
∵，
∴，
解得．
【点拨】
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
52．，见解析．
【分析】
如图所示，进行拼接图形，然后根据大正方形面积=四个直角三角形的面积+小正方形面积验证即可．
【详解】
解：拼图如下：
由图形可得，大正方形的边长为，面积为．
四个直角三角形的面积为：．
小正方形的边长为c，面积为．
由题意可得：．
化简可得．
（方法不唯一，合理即可）
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于正确构造图形求解．
53．（1），；（2），；（3）；（4）7.5
【分析】
（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式以及，小正方形面积加上四个直角三角形的面积与大正方形面积相等进行求解即可；
（3）根据圆的面积公式以及勾股定理求解即可；
（4）根据S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：大正方形面积，小正方形面积，
故答案为：，；
（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为，
∴根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为，
∴，
故答案为：，；
（3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，
由题意得：，，，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）如图所示，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，
∴，
∴S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆
．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，以及以弦图为背景的计算题，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
17.1 勾股定理（巩固篇）（专项练习1）
一、 单选题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
1．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A． ①段 B．②段 C．③段 D．④段
类型二、两点距离公式
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，，且满足．若的面积为，则的值不可能为（ ）
A．18 B．46 C．82 D．55
4．在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）和点B（3，1），点C、D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为（ ）
A．5 B．6 C．2+2 D．8
类型三、勾股数
5．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，17 B．6，8，10 C．3，4，5 D．3，5，7
6．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（ ）
A．5 B．7 C．13 D．15
类型四、以直角三角形三边长的面积问题
7．如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）
A． S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
类型五、勾股定理解决网格问题
9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
类型六、勾股定理与折叠问题
11．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
13．若直角三角形的一条直角边和斜边的比为，另一条直角边长为，则直角三角形的斜边长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
14．在中，，，，三个内角的平分线交于点，则点到的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．cm
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a＝b C．c2＝2a2 D．a2＝b2﹣c2
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，M，N分别AB上的两动点，且∠MCN=45°，下列结论：①；②CM2﹣CN2=NB•NA﹣MB•MA；③AM2+BN2=MN2；④S△CAM+S△CBN=S△CMN，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型九、勾股定理的证明
17．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有( )
A． B．
C． D．
类型十、以弦图为背景的计算题
19．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2=25，②a－b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
20．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
21．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm
22．如图，桌面上的长方体长为4，宽为3，高为2，．一只蚂蚁（看作一点）从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．3 B． C． D．
类型十二、勾股定理与无理数
23．如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
24．已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、 填空题
类型一、用勾股定理理解直角三角形
25．如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线OP．
如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．
26．如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是______（填写所有正确结论的序号）．
类型二、两点距离公式
27．如图，在平面直角坐标系中，点，点C是轴上的一个动点，则AC＋BC的最小值为____．
28．如图，平面直角坐标系中，点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，∠OPA 的 平分线交x轴于点B，则点B的坐标为___．
类型三、勾股数
29．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为________．
30．如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．
类型四、以直角三角形三边长的面积问题
31．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____．
32．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝__________．
类型五、勾股定理解决网格问题
33．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则的度数为_______．
34．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
类型六、勾股定理与折叠问题
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝，E为AC的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠得到△DEF，DE交BC于点G，若∠BFD＝30°，则CG＝_____．
36．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D点为AC边上一点，E为AB边上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A的对应点A'落在△ABC的边上，若AD＝2，则线段A'C的长度为 _____．
类型七、用勾股定理与两线段的平方和（差）
37．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE垂直平分AB交AB于点E，交AC于点D，则AD的长是 _________________．
38．如图，等边△ABC中，AB=6，BE平分∠ABC交AC边于点E，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，当△ABP为等腰三角形时，t的值为________．
类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系
39．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 ，请说明理由．（提示：连接BQ）
40． 设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．
类型九、勾股定理的证明
41．如图，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边长都是的直角三角形拼成如图形状用不同的方法计算这个图形的面积，可得关于a，b，c的一个等式是_______________________．
42．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______.
类型十、以弦图为背景的计算题
43．勾股定理有很多种证明方法，我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理．在Rt△ABC中，已知AB＝2BC，分别以AB，BC，AC为边，按如图所示的方式作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI．其中HI与BD交于点N，设四边形ABNI的面积为S1，△CHN的面积为S2，则＝__________________．
44．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ___．
类型十一、用勾股定理构造图形解决问题
45．在中，BC边上的高为4，，，则______．
46．如图，已知圆柱底面周长是，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
类型十二、勾股定理与无理数
47．如图,已知是腰长为1的等腰三角形,以的斜边AC为直角边,画第二个等腰三角形RT△ACD,再以的斜边AD为直角边,画第三个等腰三角形,,以此类推,则第2019个等腰三角形的斜边长是______．
48．已知，那么以a、b为边长的直角三角形的第三边长为__________________________．
三、解答题
49．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
50．如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长．
51．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）．
52．如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为和，斜边长为．可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理． 请画出一种示意图并写出验证过程．
53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：
（1）大正方形的面积为_____________；小正方形的面积为_______________；
（2）四个直角三角形的面积和为___，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为_______________；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是_________________；
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为_______________．
参考答案
1．A
【分析】
根据勾股定理，可求出AD长，再证明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
解：点C为线段AB的中点，
∴AC=AB=4cm，
Rt△ACD中， CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5(cm)；
∵CD⊥AB，
∴∠DCA=∠DCB=90°，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD=BD=5cm,
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
∴橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题．
2．A
【分析】
过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，可求AH=，HB=1，BM=1，在Rt△AHM中，求得AM=，再估算出2.6＜＜2.7，即可求解．
【详解】
解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故选：A．
【点拨】
本题考查实数与数轴，熟练掌握勾股定理，通过构造直角三角形求AM的长度，并作出正确的估算是解题的关键．
3．D
【分析】
先根据两点之间的距离公式和可得一个关于的等式，再根据三角形的面积公式可得，然后分和两种情况，利用完全平方公式进行变形运算即可得．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
，即，
，
，的面积为，
，即，
（1）当时，则，
由得：或，
①当时，则，
此时；
②当时，
此时；
（2）当时，则，，
所以由得：，
此时；
综上，的所有可能的值为18，46，82，
故选：D．
【点拨】
本题考查了两点之间的距离公式、因式分解、完全平方公式等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
4．B
【分析】
先作点关于y轴的对称点，点关于x轴的对称点B′的坐标是，根据对称性可得，由勾股定理解得，据此代入解题.
【详解】
解：如图，点关于y轴的对称点，
点关于x轴的对称点B′的坐标是，
由对称性可知，
由勾股定理可求得，
所以，四边形ABCD周长的最小值是，
故选：B.
【点拨】
本题考查轴对称求最短路径问题，涉及勾股定理等知识，正确画出辅助线、掌握相关知识是解题关键.
5．D
【分析】
利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可．
【详解】
∵，
∴A组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴B组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴C组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴D组不是勾股数，符合题意；
故选D．
【点拨】
本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握定理，灵活变形运用平方差公式简洁判断是解题的关键．
6．B
【分析】
根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，
∴S3=S2−S1=10−3=7，
故选：B．
【点拨】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
7．C
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点拨】
题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
8．A
【分析】
设AC=a，BC=b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【详解】
解：设AC=a，BC=b，
∴S△ABC=ab，
AB=，
在等腰直角三角形中，
AE=EC=，
CF=BF=，
AD=BD=，
在Rt△AED中，
ED=，
DC=EC-ED=，
A：S4=AE•ED=•b•a=ab=•ab=•S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，
则S3+S△ADM=S△ADC=•CD•AE=×（a-b）×a=，
又∵S1+S△ADM=S△ADB=•AD2=•=，
∴（S1+S△ADM）-（S3+S△ADM）=S1-S3=-==，
则S1-S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFD=FD•BF=•a•b=，
∴S△ADM+S3=•（a-b）•a=（a2-abS△BCM+S3=S△BCD=•CD•BF=•（a-b）•b=（ab-b2），
S△ADM+S1=S△ADB=（a2+b2），
S△BCM+S1=S△ABC，
S2=BF2=•=，
S2+S3+S4=S梯形AEFB-S△ABD-S△ABC+S1，
∴S2+S3+S4=S1
∵S1无法确定，
∴无法确定C；
D：由B选项过程得S1-S3=，
又∵S2=•b2，
得到：S1+S2-S3=b2+ab=b2+S△ABC，
此时S1+S2-S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
【点拨】
本题主要考查勾股定理和直角三角形面积公式，关键是对知识的掌握和运用．
9．C
【分析】
根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和的长，然后即可计算出的长．
【详解】
解：由题意可得：，
是的高，，
，
解得：，
故选：C．
【点拨】
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．B
【分析】
如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
【详解】
解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．
11．B
【分析】
连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】
解：连接BM，MB′，
设AM=x，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵折叠，
∴MB=MB′，
∴AB2+AM2= MD2+DB′2，
即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，
解得x=2，
即AM=2，
故选：B．
【点拨】
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
12．B
【分析】
在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
【点拨】
本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
13．A
【分析】
设一条直角边为x，斜边为3x，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：设一条直角边为x，斜边为3x，依题意有
x2+（）2=（3x）2，
解得x=±1（负值舍去），
则3x=3．
故选：A．
【点拨】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是熟悉直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的知识点．
14．B
【分析】
由勾股定理解得，根据角平分线的性质，可得，过点，分别作三边的垂线段，继而证明，，，由全等三角形对应边相等的性质得到，，即可证明，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得的值．
【详解】
解：在中，，，，
是中三个内角的平分线的交点，
过点，分别作三边的垂线段，如图，
在与中，
同理得，，
又
故选：B．
【点拨】
本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．D
【分析】
由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答 ．
【详解】
解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故本选项正确，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，故本选项正确，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故本选项正确，不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2，故本选项不正确，符合题意；
故选D．
【点拨】
本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键．
16．C
【分析】
①由勾股定理即可得；
②过点C作CD⊥AB于D，由等腰直角三角形性质可得AD=BD=CD，再由勾股定理即可得CM2-CN2=NB•NA-MB•MA；
③过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，可证：△CBM′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，再由勾股定理可得：M′B2+BN2=M′N2，即AM2+BN2=MN2；
④由全等三角形面积相等可知：S△CBM′=S△CAM，S△CNM′=S△MCN，即可得S△CAM+S△CBN＞S△MCN．
【详解】
解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
ABAC，
故①正确；
②如图1，过点C作CD⊥AB于D．
∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，
∴AD=BD=CD
CM2=CD2+MD2，CN2=CD2+DN2，
∴CM2﹣CN2=MD2﹣DN2=(MD+DN)(MD﹣DN)=MN(MD﹣DN)=MN(MB﹣NA)
∵NB•NA﹣MB•MA=NB•NA﹣MB(NA﹣MN)
=MB•MN+NB•NA﹣MB•NA
=MB•MN﹣NA(MB﹣NB)
=MB•MN﹣NA•MN
=MN(MB﹣NA)，
∴CM2﹣CN2=NB•NA﹣MB•MA
故②正确；
③如图2，过点B作BM′⊥AB，使BM′=AM，连接CM′，M′N，则∠ABM′=90°
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBM′=45°=∠A
在△CBM′和△CAM中
，
∴△CBM′≌△CAM(SAS)，
∴CM′=CM ∠BCM′=∠ACM，
∴∠M′CN=∠BCM′+∠BCN=∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°=∠MCN
在△M′CN和△MCN中
，
∴△M′CN≌△MCN(SAS)，
∴M′N=MN
在Rt△M′BN中，∠M′BN=90°，M′B2+BN2= M′N2，
∴AM2+BN2=MN2
故③正确；
④如图2．
∵△CB M′≌△CAM，△M′CN≌△MCN，
∴S△CBM′=S△CAM，S△CNM′=S△MCN，
∴S△CAM+S△CBN=S△CBM′+S△CBN=S△CNM′+S△BNM′=S△MCN+S△BNM′＞S△MCN，
故④错误．
故选：C．
【点拨】
本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
17．D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
18．B
【分析】
根据梯形的面积的两种求法，构建关系式即可解决问题．
【详解】
解：根据题意得，，
∴a2+b2=c2，
故选：B．
【点拨】
本题考查勾股定理的证明、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
19．D
【分析】
由大的正方形的边长为结合勾股定理可判断①，由小的正方形的边长为 结合小正方形的面积可判断②，再利用 结合可判断③，再由可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由题意得：大正方形的边长为
故①符合题意；
用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则小正方形的边长为：
则（负值不合题意舍去）故②符合题意；
而
故③符合题意；
（负值不合题意舍去）故④符合题意；
故选D
【点拨】
本题考查的是以勾股定理为背景的几何面积问题，同时考查了完全平方公式的应用，熟练的应用完全平方公式的变形求值是解本题的关键.
20．C
【分析】
设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c，由图2可得，由图3可得，由此得到，求解即可．
【详解】
解：设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c，
由图2可得，
由图3可得，
∴，
解得，
故选：C．
【点拨】
此题考查以弦图为背景的计算，正确理解图形之间的关系，设菱形的面积为S，直角三角形的斜边长为c由此表示出各关系式是解题的关键．
21．A
【分析】
在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故选：A．
【点拨】
本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
22．B
【分析】
根据题意画出长方形的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
解：如图1所示，则，
如图2所示，则，
如图3所示，则，
综上：AB的最短距离为．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查的是平面展开－最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
23．C
【分析】
因为△OAB是一个直角三角形，且有OC=OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判断其大小．
【详解】
解：∵AB⊥OA
∴在直角三角形OAB中有 OA2+AB2=OB2
∴
∴4＜＜5
又∵OC=OB
∴点C所表示的数介于4和5之间
故选：C．
【点拨】
此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．
24．D
【分析】
由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解．
【详解】
解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3，
∴，故①错，②正确；
∵O为数轴原点，
∴点C对应的数是，故③错误；
∵，，
∴5＜AD＜6，故④正确；
∴正确的有②④；
故选D．
【点拨】
本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键．
25．
【分析】
先根据题意发现OP是∠AOB的角平分线，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°
∵MH⊥OB
∴∠OMH=45°
∴△OMH是等腰直角三角形
∴OH=MH=2,
∴OM=．
故答案是．
【点拨】
本题主要考查了角平分线的做法、运用勾股定理解直角三角形，根据题意发现OP是∠AOB的角平分线是解答本题的关键．
26．①③
【分析】
利用等边三角形的性质即可证明出；在四边形中，根据，可得，即；先求出，得，通过等量代换即可；根据即可判断．
【详解】
解：和都是等边三角形，
，
，
，
，
故①正确；
，
在四边形中，
，
，
故②错误；
，
，
，
，
，
故③正确；
，
，
不一定等于，
不一定成立，
故④错误；
故答案是：①③．
【点拨】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定定理、勾股定理、多边形内角和，解题的关键掌握等边三角形的性质，通过等量代换的思想进行求解．
27．5
【分析】
作出点A关于x轴的对称点，连接，根据两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：作出点A关于x轴的对称点，连接，
由两点之间，线段最短可知AC＋BC的最小值为的长，
过点作轴，过点B作BD//y轴，两直线将于点D，如图，
∵，
∴BD=3+1=4，
在Rt△中，
即AC＋BC的最小值为5，
故答案为5．
【点拨】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握并应用两点之间，线段最短是解答本题的关键．
28．（5，0）
【分析】
根据点P坐标可求得PO＝5，再根据平行线的性质及角平分线的定义可证得∠OBP＝∠OPB，进而可得OB＝OP＝5，由此可求得答案．
【详解】
解：∵点 P（﹣4，3），过点 P 作 PA⊥y 轴于点 A，
∴PA＝4，AO＝3，∠PAO＝90°，
∴在RtPAO中，PO＝，
∵∠PAO＝∠AOB＝90°，
∴PAOB，
∴∠APB＝∠OBP，
又∵PB平分∠OPA，
∴∠APB＝∠OPB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∴OB＝OP＝5，
∴点P的坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
【点拨】
本题考查了点的坐标与图形，勾股定理的应用以及平行线的判定及性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
29．13，84，85
【分析】
由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，进而得出（13，84，85）．
【详解】
解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1；
第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1；
第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1；
∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1，
∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5．
故答案为：13，84，85．
【点拨】
本题考查的是勾股数的规律探究，能够根据题意找到每组勾股数之间的关系是解决本题的关键．
30．2n＋2
【分析】
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，
∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积Sn=2n+2，
故答案为：2n+2．
【点拨】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
31．24
【分析】
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
阴影部分的面积，
故答案为：24．
【点拨】
本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．
32．12
【分析】
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，再由正方形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵，，，
∴，
∴，
∴BC=12
故答案为：12．
【点拨】
本题主要考查的是勾股定理和算术平方根，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
33．45°
【分析】
如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC-∠DAE=∠ACG，即可得解．
【详解】
解：如图，连接CG、AG，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10，
∴AC2+AG2=CG2，
∴∠CAG=90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG=45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF=∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°，
故答案为：45°．
【点拨】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．＞
【分析】
在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】
=3，
，
故填：＞．
【点拨】
本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
35．2
【分析】
由直角三角形的性质求出，由折叠的性质得出，，可求出，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：，，
，
，
，
为的中点，
，
将沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
故答案为：2．
【点拨】
本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
36．或
【分析】
分当点在AB上时和当点在BC上时两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，当点在AB上时，
由折叠的性质可得，，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=1，∠A=∠B=45°，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点在BC上时，
由折叠的性质可得，CD=AC-AD=1，
∴，
∴综上所述，或，
故答案为：或．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
37．
【分析】
在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据垂直平分线的性质解得AE＝，∠AED＝90°，继而在中，根据勾股定理解题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AC＝，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝，AD=BD，∠AED＝90°，
设
在中，
，
，
解得：
故答案为：．
【点拨】
本题考查勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
38．，6，
【分析】
分、BP=AB、三种情况分别讨论求t的值即可．
【详解】
解：∵为等边三角形，BE平分∠ABC，AB=6，
∴，,，
若为等腰三角形，
当时，过点P作，交于点，则，
在中，，
设，
则，
∴,即，
解得：，
∴，即，
当时，由AB=6，
∴，即，
当时，如图，在中，，，
∴，即，
综上可知当为等腰三角形时的值为，6，，
故答案为：，6，．
【点拨】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
39．PB2+AP2=2CP2
【分析】
连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP=∠CBQ=45°，AP=BQ，可得∠ABQ=90°，由勾股定理可得PB2+BQ2=PQ2，即可求解．
【详解】
解：如图，连接BQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°=∠ACB，PQ2=2CP2，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠CAP=∠CBQ=45°，AP=BQ，
∴∠ABQ=90°，
∴PB2+BQ2=PQ2，
∴PB2+AP2=2CP2，
故答案为：PB2+AP2=2CP2．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ=90°是本题的关键．
40．48
【分析】
由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【详解】
解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，
∴a＋b＋10＝24，
∴a＋b＝14，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2＋b2＝102，
则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，
即142−2ab＝102，
∴ab＝48．
故答案为：48．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．
41．
【分析】
用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【详解】
根据题意得：S=(a+b)(a+b)，S=ab+ab+c2，
∴(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，即(a+b)(a+b) =ab+ab+c2，
整理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2．
【点拨】
本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．12
【分析】
欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．
【详解】
解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x，
∵，
∴AB=x+3，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，
整理得，x=2，
∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．
43．
【分析】
如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q，设BC=a，则AB=2a，根据正方形性质可证得△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB，得出S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=a2，S正方形BGPQ=a2，S正方形ACHI=5a2，再证得△DNI≌△QNH（AAS），可求得：S2=a2，S1=a2，即可求得答案．
【详解】
解：如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q，
设BC=a，则AB=2a，
∵四边形ABDE、四边形BCFG和四边形ACHI是正方形，
∴I、G、F在同一直线上，
∴AE=AB=2a，BG=BC=a，∠ABC=∠BAE=∠AEI=∠CAI=∠D=90°，
∴∠IAE+∠BAI=∠BAI+∠CAB=90°，
∴∠IAE=∠CAB，
∴△AIE≌△ACB（ASA），
同理可得：△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB，
∴S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=×a×2a=a2，
∵∠GBQ=∠BGP=∠GPQ=90°，BG=GP=a，
∴四边形BGPQ是正方形，
∴S正方形BGPQ=a2，
∴S正方形ACHI=5a2，
∵ID=QH=a，∠D=∠HQN=90°，∠DNI=∠QNH，
∴△DNI≌△QNH（AAS），
∴DN=NQ=a，
∴S△HNQ=×a×a=a2，
∴S2=S△CHN=S△CHQ+S△HNQ=a2+a2=a2，
∴S1=S四边形ABNI=S正方形ACHI-S△ACB-S△CHN=5a2-a2-a2=a2，
∴；
故答案为：．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积和正方形面积等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．
44．12
【分析】
设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
【详解】
解：设小正方形的边长为x，
∵a=2，b=3，
∴AB=2+3=5，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（2+x）2+（x+3）2=52，
整理得，x2+5x-6=0，即x2+5x=6，
而矩形面积为（2+x）（3+x）=x2+5x+6=6+6=12，
即该矩形的面积为12，
故答案为：12．
【点拨】
本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理得到x2+5x=6再整体代入计算是解题的关键．
45．5或1
【分析】
根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分别计算即可；
【详解】
当为锐角三角形时，如图所示，
∵，，，，
∴，，
∴；
当为钝角三角形时，如图所示，
∵，，，，
∴∴，，
∴；
故答案是：5或1．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
46．
【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，
把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
．
这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．
47．
【分析】
先求出第一个到第四个的等腰直角三角形的斜边的长，探究规律后即可解决问题．
【详解】
第一个等腰直角三角形的斜边为；
第二个等腰直角三角形的斜边为；
第三个等腰直角三角形的斜边为
第四个等腰直角三角形的斜边为；
…
第2019个等腰直角三角形的斜边为；
故答案为．
【点拨】
本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
48．4或
【解析】
试题解析：∵
∴=0，（b-5）2=0
a=3，b=5求第三边有两种情况：一种，以a，b为直角边得第三边为；另一种，b为斜边则第三边为．
49．
（1）见解析
（2）26
【分析】
（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．
（1）
解：∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，
∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．
（2）
在直角三角形ACD中，
∵∠ADC=90°，
∴CD＝=8，
∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，DE=BE，
∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
50．，
【分析】
由题意可得，，根据勾股定理求得，设，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：由题意可得，，，
根据勾股定理可得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
【点拨】
此题考查了利用勾股定理解直角三角形，涉及了折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理．
51．为米
【分析】
连接CD，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
在中，，
即，
∵，
∴，
解得．
【点拨】
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
52．，见解析．
【分析】
如图所示，进行拼接图形，然后根据大正方形面积=四个直角三角形的面积+小正方形面积验证即可．
【详解】
解：拼图如下：
由图形可得，大正方形的边长为，面积为．
四个直角三角形的面积为：．
小正方形的边长为c，面积为．
由题意可得：．
化简可得．
（方法不唯一，合理即可）
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于正确构造图形求解．
53．（1），；（2），；（3）；（4）7.5
【分析】
（1）根据正方形面积公式求解即可；
（2）根据三角形面积公式以及，小正方形面积加上四个直角三角形的面积与大正方形面积相等进行求解即可；
（3）根据圆的面积公式以及勾股定理求解即可；
（4）根据S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：大正方形面积，小正方形面积，
故答案为：，；
（2）由题意得：四个直角三角形的面积和为，
∴根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为，
∴，
故答案为：，；
（3）设这个直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，
由题意得：，，，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）如图所示，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，
∴，
∴S阴影=SBC为直径的半圆+SAC为直径的半圆+S△ABC-SAB为直径的半圆
．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，以及以弦图为背景的计算题，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
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