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人教版17.1 勾股定理课时作业
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这是一份人教版17.1 勾股定理课时作业，共51页。试卷主要包含了求梯子滑落的高度，求旗杆的高度，求小鸟飞行的距离，求大树折断前的高度，解决水杯中筷子问题，解决航海问题，求河宽，求台阶上地毯的长度等内容，欢迎下载使用。
17.1 勾股定理（巩固篇）（专项练习2）
一、 单选题
类型十三、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 （ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
类型十四、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
3．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
4．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( )
A． (2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m
类型十五、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
5．在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
6．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm
类型十六、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
7．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（ ）
A．5米 B．8米 C．9米 D．25
8．如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
类型十七、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
9．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
10．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
类型十八、解决航海问题（勾股定理的应用）
11．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
12．某军校在野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东方向前进了千米，第二小组向南偏东方向前进了千米，经观察、联系第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）．
A．北偏东，千米 B．南偏西，千米
C．南偏西，千米 D．南偏西，千米
类型十九、求河宽（勾股定理的应用）
13．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
14．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440m B．460m C．480m D．500m
类型二十、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
15．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
16．如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cm B．15 cm C．21 cm D．25cm
类型二十一、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
17．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
18．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
类型二十二、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
19．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
20．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
二、 填空题
类型十三、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
21．已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．
22．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
类型十四、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_____m．
24．如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
类型十五、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
25．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
26．如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
类型十六、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
27．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________．
28．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
类型十七、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
29．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是______cm．
30．在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_____________秒．
类型十八、解决航海问题（勾股定理的应用）
31．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东方向走了到达B地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C，则A、C两地之间的距离为_______m．
32．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______．
类型十九、求河宽（勾股定理的应用）
33．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_______m.
34．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是_______mm．
类型二十、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
35．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
36．如图的楼梯上铺地毯，则需要地毯的总长是_______米．
类型二十一、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
37．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
38．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
类型二十二、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
39．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_________km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_____方向．
类型二十三、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
40．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要_______km(结果保留根号）．
41．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则________m．
三、解答题
42．如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？
43．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
44．有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？
45．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
46．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？
参考答案
1．C
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AB==2.5（米），
∴A′B=2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD==2（米），
∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
2．A
【分析】
设，利用勾股定理依据和的长相等列方程，进而求出的值，即可求出的长度．
【详解】
解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到利用勾股定理列方程是解题的关键．
3．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
4．B
【分析】
先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求.
【详解】
解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为B
【点拨】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
5．B
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m，
在Rt△AEC中，．
故小鸟至少飞行13m．
故选：B.
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．A
【详解】
解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得 =100，
∴其距离为100cm，
故选A．
7．B
【分析】
设大树高约有米，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设大树高约有米，由勾股定理得：
，
解得：，负值舍去，
答：大树高约8米．
故选：B．
【点拨】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：
8．C
【分析】
过点D作DM⊥BC，设BD=x，然后根据题意和含30°的直角三角形性质分别表示出BM，EM，DE的长，结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：过点D作DM⊥BC，设BD=x，
由题意可得：AB=5，AD=DE=5-x
∵∠ABC=60°，DM⊥BC，
∴在Rt△BDM中，∠BDM=30°
∴，则
∴，
解得：，即BD=米
故选：C．
【点拨】本题考查含30°的直角三角形性质和勾股定理解直角三角形，正确理解题意掌握相关性质定理列方程求解是关键．
9．B
【分析】
如图所示，根据题意，可知EB'的长为14尺，则B'C=7尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=14尺，所以B'C=7尺
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2=AB′2
∴72+（x-1）2=x2，
解得x=25，
∴水深为：25-1=24尺，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
10．C
【分析】
根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=13cm，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）．
故选：C．
【点拨】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
11．D
【分析】
过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】
解：过作于，如图所示：
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点拨】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】
找出题目中隐藏的直角三角形，第一小组行走路线和第二小组行走路线的终点连接，构成一个直角三角形，可以运用勾股定理，计算第一小组要行走的路程．
【详解】
解：根据行走的路线画出图形：
∵第一小组从营地出发向北偏东60°前进，第二小组向南偏东30°方向前进，
∵第一小组走的距离为5千米，第二小组走的距离为5千米，
而且他们行走的路线夹角为∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，∠OAB=45°，
∴∠BAC=∠OAC -∠OAB =15°，
∴第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向为南偏西15°，
在图示的△AOB中可以运用勾股定理，，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是找出合适的直角三角形，并且用勾股定理求解．
13．C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
14．C
【分析】
从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
15．C
【分析】
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．
【详解】
解：由勾股定理得： AB=，
因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）．
故选C．
【点拨】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.
16．B
【分析】
先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
17．B
【分析】
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
18．A
【分析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．C
【分析】
根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
20．A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
21．##
【分析】
设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：设较高端点距离地面的高度为h米，
根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，
∴h＝1.5（米），
故答案为：1.5．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．
22．9．
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23．17
【分析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】
解：设旗杆高度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17米．
故答案是：17．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
24．12
【分析】
阅读题目信息可得两只猴子所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC=24，设BD=x，根据勾股定理列方程求解.
【详解】
设BD=x米，根据题意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，
∴AD=24-x，
在RtΔACD中，由勾股定理得，，
∴
解得，x=4
∴DC=x+8=4+8=12米，
即这根木杆高12米.
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，通过图形找到等量关系列方程是解答此题的关键.
25．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
26．6或7或12或14
【解析】
【分析】
当OP=OD时，可得P1点；当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，再运用勾股定理可分别求解.
【详解】
解：当OP=OD时，可得P1点，此时由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，则t=秒；
当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，当P点运动到P2位置时，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+ DM22=DP22，即42+ DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3，
故，当P点运动到P2位置时，t=秒；当P点运动到P3位置时，t=秒；当P点运动到P4位置时，t=秒；
故答案为：6或7或12或14.
【点拨】本题有些难度，难点在于一共有4种情况，也可采取画圆法确定P点可能的位置，即以O点为圆心、5为半径画圆，或者以D点为圆心、5为半径画圆，从而确定P点可能位置.
27．（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】
根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】
解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2．
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．
28．
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
29．45
【分析】
设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可．
【详解】
红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．
30．、10和16
【分析】
求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．
【详解】
解：分三种情况
如下图1所示，当AD=DB时．
∵BC=8，∴CD=8-BD
又AC=6
在RT△ACD中，由勾股定理得
解得
除以点D运动的速度得所用时间t为秒；
如下图2所示，当AB=DB时．
由勾股定理得DB=AB=，
除以点D运动的速度得t为10秒；
如下图3所示，当AD=AB时．
∵AC⊥BC
∴CD=BC=8
∴BD=16
除以点D运动的速度得t为16秒．
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、10秒或16秒．
故答案为：、10或16．
【点拨】此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．
31．100
【分析】
根据题意点C位于点B的西偏北60゜方向，再根据平行线的性质可得点A位于点B的西偏南30゜方向，从而可得AB⊥BC，由勾股定理即可求得AC的长．
【详解】
如图所示，∠CBH=30゜，∠DAB=60゜
∴∠BAE=90゜－∠DAB=30゜，∠CBF=90゜－∠CBH=60゜
∵FB∥AE
∴∠FBA=∠BAE=30゜
∴∠ABC=∠CBF+∠FBA=60゜+30゜=90゜
在Rt△ABC中，，
由勾股定理得：
故答案为：100
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是知道方位角的含义并得出△ABC是直角三角形．
32．20
【分析】
根据两船的航行方向得出，在直角三角形中，易得，，利用勾股定理求得的长，即两船的距离．
【详解】
解：由题意可得，，，所以．
在直角三角形中，
因为，，
所以，即两船的距离为20 n mile．
故答案为：20．
【点拨】本题考查方向角及勾股定理的实际应用．从实际问题中抽象出直角三角形，进而利用勾股定理是解题关键．
33．480
【详解】
分析：本题考查的是利用勾股定理求出直角边的长.
解析： 根据题意，
故答案为480.
34．50
【详解】
如图,设圆心为O,
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM ²+OM ²=AN ²+ON ²，
∴30 ²+OM ²=40 ²+(70−OM) ²，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.
故答案为50.
35．
【分析】
将原立体图形展开为平面图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图所示，将图展开，图形长度增加，原图长度增加米，
则，连接．
∵四边形是长方形， ，宽，
∴．
∴蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程．
故答案为：13
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将立体图形转化为平面图形是解题关键．
36．7
【分析】
利用勾股定理可求出AC的长，根据平移的性质，根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度，即可得答案．
【详解】
∵AB=5，BC=3，∠C=90°，
∴AC==4，
∵平移不改变线段的长度，
∴地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度=AC+BC=7，
故答案为：7
【点拨】本题考查勾股定理的应用及平移的性质，利用勾股定理求出AC的长并熟练掌握平移的性质是解题关键．
37．超速
【解析】
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
【详解】
在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，.
38．8
【分析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
39．5 正北
【详解】
试题分析：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，∴AB===5（km），又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．故答案为5；正北．
考点：1．勾股定理的应用；2．方向角．
40．
【分析】
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可．
【详解】
如图，
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小．
作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N，
∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，
∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km，
∴AM=(km)，
在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)，
∴A′B=(km)，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
41．10
【分析】
连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN.
【详解】
解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点，
根据对称性，有 ，，
∴，
设圆弧的半径是，即：，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴,
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴
故答案为：10.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键.
42．梯子顶端下滑的距离是3米．
【分析】
利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解；
【详解】
解：在直角△AOB中，OB=（m）．
设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，
在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225；
解得：x=0（舍）或x=3．
答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等；
【点拨】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离．
43．树高AB为m．
【分析】
设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】
根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点拨】本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．
44．小明在标牌▇填上的数字是4．
【分析】
在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC＋BC−AB即可求解．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝（米），
∴少走的距离为AC＋BC−AB＝（12＋5）−13＝4（米）
答：小明在标牌▇填上的数字是4．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，正确的运用勾股定理求AB是解题的关键．
45．不会
【分析】
根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案．
【详解】
解：如图，出发3秒钟时，米，米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在中，米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．
46．10km
【分析】
设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．
【详解】
解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，
同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，
x2+152=（25-x）2+102，
解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点拨】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．
17.1 勾股定理（巩固篇）（专项练习2）
一、 单选题
类型十三、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 （ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
类型十四、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
3．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ）
A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2
C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22
4．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( )
A． (2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m
类型十五、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
5．在水平地面上有一棵高米的大树， 和一棵高米的小树，两树之间的水平距离是米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )
A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
6．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm
类型十六、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
7．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（ ）
A．5米 B．8米 C．9米 D．25
8．如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
类型十七、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
9．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
10．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
类型十八、解决航海问题（勾股定理的应用）
11．如图，一艘轮船在处测的灯塔在北偏西15°的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶20海里到达处，测的灯塔在北偏西60°的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为（ ）
A．海里 B．海里
C．40海里 D．海里
12．某军校在野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东方向前进了千米，第二小组向南偏东方向前进了千米，经观察、联系第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为（ ）．
A．北偏东，千米 B．南偏西，千米
C．南偏西，千米 D．南偏西，千米
类型十九、求河宽（勾股定理的应用）
13．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
14．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440m B．460m C．480m D．500m
类型二十、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
15．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
16．如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cm B．15 cm C．21 cm D．25cm
类型二十一、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
17．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
18．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
类型二十二、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
19．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
20．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
二、 填空题
类型十三、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
21．已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 _____米．
22．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．
类型十四、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
23．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_____m．
24．如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
类型十五、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
25．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
26．如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
类型十六、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
27．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________．
28．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
类型十七、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
29．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是______cm．
30．在中，，在射线上一动点D，从点B出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_____________秒．
类型十八、解决航海问题（勾股定理的应用）
31．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东方向走了到达B地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C，则A、C两地之间的距离为_______m．
32．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______．
类型十九、求河宽（勾股定理的应用）
33．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_______m.
34．如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是_______mm．
类型二十、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
35．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
36．如图的楼梯上铺地毯，则需要地毯的总长是_______米．
类型二十一、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
37．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
38．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
类型二十二、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
39．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_________km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_____方向．
类型二十三、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
40．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要_______km(结果保留根号）．
41．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则________m．
三、解答题
42．如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？
43．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
44．有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？
45．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
46．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？
参考答案
1．C
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AB==2.5（米），
∴A′B=2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD==2（米），
∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
2．A
【分析】
设，利用勾股定理依据和的长相等列方程，进而求出的值，即可求出的长度．
【详解】
解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选：．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到利用勾股定理列方程是解题的关键．
3．A
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
4．B
【分析】
先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求.
【详解】
解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为B
【点拨】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键.
5．B
【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】
如图，设大树高为AB=9m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4m，EC=12m，AE=AB-EB=9-4=5m，
在Rt△AEC中，．
故小鸟至少飞行13m．
故选：B.
【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．A
【详解】
解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得 =100，
∴其距离为100cm，
故选A．
7．B
【分析】
设大树高约有米，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设大树高约有米，由勾股定理得：
，
解得：，负值舍去，
答：大树高约8米．
故选：B．
【点拨】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：
8．C
【分析】
过点D作DM⊥BC，设BD=x，然后根据题意和含30°的直角三角形性质分别表示出BM，EM，DE的长，结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：过点D作DM⊥BC，设BD=x，
由题意可得：AB=5，AD=DE=5-x
∵∠ABC=60°，DM⊥BC，
∴在Rt△BDM中，∠BDM=30°
∴，则
∴，
解得：，即BD=米
故选：C．
【点拨】本题考查含30°的直角三角形性质和勾股定理解直角三角形，正确理解题意掌握相关性质定理列方程求解是关键．
9．B
【分析】
如图所示，根据题意，可知EB'的长为14尺，则B'C=7尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=14尺，所以B'C=7尺
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2=AB′2
∴72+（x-1）2=x2，
解得x=25，
∴水深为：25-1=24尺，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
10．C
【分析】
根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=13cm，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）．
故选：C．
【点拨】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
11．D
【分析】
过作于，解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】
解：过作于，如图所示：
在中，，海里，
∴（海里），（海里），
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
故选：D．
【点拨】本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．B
【分析】
找出题目中隐藏的直角三角形，第一小组行走路线和第二小组行走路线的终点连接，构成一个直角三角形，可以运用勾股定理，计算第一小组要行走的路程．
【详解】
解：根据行走的路线画出图形：
∵第一小组从营地出发向北偏东60°前进，第二小组向南偏东30°方向前进，
∵第一小组走的距离为5千米，第二小组走的距离为5千米，
而且他们行走的路线夹角为∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°，∠OAB=45°，
∴∠BAC=∠OAC -∠OAB =15°，
∴第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向为南偏西15°，
在图示的△AOB中可以运用勾股定理，，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是找出合适的直角三角形，并且用勾股定理求解．
13．C
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
14．C
【分析】
从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
15．C
【分析】
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．
【详解】
解：由勾股定理得： AB=，
因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）．
故选C．
【点拨】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.
16．B
【分析】
先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
17．B
【分析】
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
18．A
【分析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．C
【分析】
根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
20．A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图
∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
21．##
【分析】
设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：设较高端点距离地面的高度为h米，
根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25，
∴h＝1.5（米），
故答案为：1.5．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．
22．9．
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】
在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23．17
【分析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】
解：设旗杆高度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17米．
故答案是：17．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
24．12
【分析】
阅读题目信息可得两只猴子所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC=24，设BD=x，根据勾股定理列方程求解.
【详解】
设BD=x米，根据题意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，
∴AD=24-x，
在RtΔACD中，由勾股定理得，，
∴
解得，x=4
∴DC=x+8=4+8=12米，
即这根木杆高12米.
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，通过图形找到等量关系列方程是解答此题的关键.
25．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
【详解】
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
26．6或7或12或14
【解析】
【分析】
当OP=OD时，可得P1点；当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，再运用勾股定理可分别求解.
【详解】
解：当OP=OD时，可得P1点，此时由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，则t=秒；
当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，当P点运动到P2位置时，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+ DM22=DP22，即42+ DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3，
故，当P点运动到P2位置时，t=秒；当P点运动到P3位置时，t=秒；当P点运动到P4位置时，t=秒；
故答案为：6或7或12或14.
【点拨】本题有些难度，难点在于一共有4种情况，也可采取画圆法确定P点可能的位置，即以O点为圆心、5为半径画圆，或者以D点为圆心、5为半径画圆，从而确定P点可能位置.
27．（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】
根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】
解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2．
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．
28．
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
29．45
【分析】
设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可．
【详解】
红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．
30．、10和16
【分析】
求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．
【详解】
解：分三种情况
如下图1所示，当AD=DB时．
∵BC=8，∴CD=8-BD
又AC=6
在RT△ACD中，由勾股定理得
解得
除以点D运动的速度得所用时间t为秒；
如下图2所示，当AB=DB时．
由勾股定理得DB=AB=，
除以点D运动的速度得t为10秒；
如下图3所示，当AD=AB时．
∵AC⊥BC
∴CD=BC=8
∴BD=16
除以点D运动的速度得t为16秒．
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，D所用时间t为秒、10秒或16秒．
故答案为：、10或16．
【点拨】此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键．
31．100
【分析】
根据题意点C位于点B的西偏北60゜方向，再根据平行线的性质可得点A位于点B的西偏南30゜方向，从而可得AB⊥BC，由勾股定理即可求得AC的长．
【详解】
如图所示，∠CBH=30゜，∠DAB=60゜
∴∠BAE=90゜－∠DAB=30゜，∠CBF=90゜－∠CBH=60゜
∵FB∥AE
∴∠FBA=∠BAE=30゜
∴∠ABC=∠CBF+∠FBA=60゜+30゜=90゜
在Rt△ABC中，，
由勾股定理得：
故答案为：100
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是知道方位角的含义并得出△ABC是直角三角形．
32．20
【分析】
根据两船的航行方向得出，在直角三角形中，易得，，利用勾股定理求得的长，即两船的距离．
【详解】
解：由题意可得，，，所以．
在直角三角形中，
因为，，
所以，即两船的距离为20 n mile．
故答案为：20．
【点拨】本题考查方向角及勾股定理的实际应用．从实际问题中抽象出直角三角形，进而利用勾股定理是解题关键．
33．480
【详解】
分析：本题考查的是利用勾股定理求出直角边的长.
解析： 根据题意，
故答案为480.
34．50
【详解】
如图,设圆心为O,
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM ²+OM ²=AN ²+ON ²，
∴30 ²+OM ²=40 ²+(70−OM) ²，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.
故答案为50.
35．
【分析】
将原立体图形展开为平面图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图所示，将图展开，图形长度增加，原图长度增加米，
则，连接．
∵四边形是长方形， ，宽，
∴．
∴蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程．
故答案为：13
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将立体图形转化为平面图形是解题关键．
36．7
【分析】
利用勾股定理可求出AC的长，根据平移的性质，根据平移不改变线段的长度，可得地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度，即可得答案．
【详解】
∵AB=5，BC=3，∠C=90°，
∴AC==4，
∵平移不改变线段的长度，
∴地毯的长=楼梯的水平宽度+垂直高度=AC+BC=7，
故答案为：7
【点拨】本题考查勾股定理的应用及平移的性质，利用勾股定理求出AC的长并熟练掌握平移的性质是解题关键．
37．超速
【解析】
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
【详解】
在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，.
38．8
【分析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
39．5 正北
【详解】
试题分析：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，∴AB===5（km），又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．故答案为5；正北．
考点：1．勾股定理的应用；2．方向角．
40．
【分析】
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可．
【详解】
如图，
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小．
作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N，
∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，
∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km，
∴AM=(km)，
在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)，
∴A′B=(km)，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
41．10
【分析】
连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN.
【详解】
解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点，
根据对称性，有 ，，
∴，
设圆弧的半径是，即：，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴,
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴
故答案为：10.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键.
42．梯子顶端下滑的距离是3米．
【分析】
利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解；
【详解】
解：在直角△AOB中，OB=（m）．
设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，
在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225；
解得：x=0（舍）或x=3．
答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等；
【点拨】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离．
43．树高AB为m．
【分析】
设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】
根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点拨】本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．
44．小明在标牌▇填上的数字是4．
【分析】
在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC＋BC−AB即可求解．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝（米），
∴少走的距离为AC＋BC−AB＝（12＋5）−13＝4（米）
答：小明在标牌▇填上的数字是4．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，正确的运用勾股定理求AB是解题的关键．
45．不会
【分析】
根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案．
【详解】
解：如图，出发3秒钟时，米，米，
∵AC=40米，AB=30米，
∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在中，米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．
46．10km
【分析】
设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．
【详解】
解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，
同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，
x2+152=（25-x）2+102，
解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点拨】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．
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