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初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理学案设计
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理学案设计，共39页。学案主要包含了典型例题等内容，欢迎下载使用。
17.1 勾股定理（知识讲解2）
【典型例题】
类型十二、用勾股定理构造图形解决问题
12．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长．
【答案】52寸
【分析】取的中点为点，由题意可得，设寸，则寸，利用勾股定理即可求解
解：如图：取的中点为点，则的中点也为
根据题意可得：，
设寸，则寸．
， 尺寸
解得：寸
寸
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
举一反三：
【变式1】 明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？
【答案】
【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB＝OA＝x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD＝EC＝5（尺），
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，
∴x2＝102＋（x−4）2，
∴x＝．
∴OA的长度为（尺）．
【点拨】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，小亮发现升旗的绳子放下时，末端刚好接触到地面处，但将绳子末端拉到距离旗杆米的处，发现此时绳子末端距离地面米．求旗杆的高度．
【答案】米
【分析】如图：作于点，由题意得，设，则，，然后运用勾股定理求得x即可．
解：作于点，由题意得
设，则，．
在中，
解得．
答：旗杆的高度是米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，做出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
类型十三、勾股定理与无理数
13．如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为_________．
【答案】
【分析】在中应用勾股定理可得，故可得，即可得到点D所表示的数．
解：∵点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，
∴，
∴，
∴点D所表示的数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理、数轴上表示数，根据勾股定理求得AB的长度是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 为了比较与+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】＜
【分析】依据勾股定理即可得到AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到＜+1．
解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1，
∴AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴＜+1，
故答案为：＜．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．
【变式2】如图，为原点，点，分别表示，2，以为底边在数轴上方作等腰三角形，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，若，则点表示的实数为__________．
【答案】
【分析】先利用等腰三角形三线合一得出OC⊥AB，再根据勾股定理计算OC的长度，再根据OD=OC即可得出点表示的实数．
解：∵点，分别表示，2，
∴OA=OB=2，
又∵△ABC为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，根据勾股定理
,
∴，
又∵D点在O点右侧，
所以点表示的实数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查实数与数轴，勾股定理，等腰三角形三线合一．能根据等腰三角形三线合一得出△AOC是直角三角形是解决此题的关键．
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
14．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离是______.
【答案】()m
【分析】先根据题意作出图形，然后先利用勾股定理求出AB的长度，然后再利用勾股定理求出OD的长度，从而可得到BD的长度.
解：如图,根据题意有AC=2,OA=4,OB=3，AB=CD,BD即为所求.
∵OA=4,OB=3
∴
∵AC=2,
∴
∴
∴
故答案为：()m.
【点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.
举一反三：
【变式1】生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图，AB为一长度为6米的梯子．
（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（温馨提示：≈1.414）
（2）如图2，若梯子底端向左滑动使OD=3米，那么梯子顶端将下滑多少米？（结果保留1位小数）
【答案】（1）梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；（2）梯子的顶端将下滑动1.4米．
【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求解即可，
（2）根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
解：（1）由题意可得，AB=6米，OB=AB=2米，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得，
AO==≈5.656（米），
∵5.656＜5.7，
∴梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；
（2）在Rt△DOC中，由勾股定理可得，
OC==（米），
∴AC=OA-OC=（米）
∴梯子的顶端将下滑1.4米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，基础知识比较简单．
【变式2】如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）[补充：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半]
【答案】3﹣（m）
【分析】先在Rt△OAB中，OA＝3m，∠OAB＝30°，求出梯子AB的长，在滑动过程中梯子的长是不变的，再根据已知条件证明出△AOB≌△DOC，即可求出BD长．
解：在Rt△ABO中，∵AO＝3m，∠OAB＝30°，
∴AB，
∵∠OCD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，OC＝OB，
∴BD＝OD﹣OB＝3﹣（m）．
【点拨】本题考查了勾股定理解直角三角形，三角形全等的性质与判定，求出的长是解题的关键．
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
15．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处约2m．请设法算出旗杆的高度．
【答案】旗杆高8米
【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+62=(x+2)2，
解得：x=8；
答：旗杆的高度为8米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】13m
【分析】根据题意构造直角三角形，然后设旗杆高度为xm，根据勾股定理即可求解．
解：如图，
设旗杆高度为m，
即，，
中，
即
解得
即旗杆的高度为13米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【变式2】如图，，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，隧道总长为2公里，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道一公里造价为500万元，公里，公里，则改建后可省工程费用多少万元？
【答案】11600
【分析】先求出的长，再让原来的造价减去改造后的造价可求出省去的工程费用．
解：根据勾股定理得：
原计划建公路费用：万元，
实际打隧道及建公路费用：万元,
万元，
答：改建后可省工程费11600万元．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是准确的代数取值，理清实际问题中各个量之间的关系．
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
16．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．
举一反三：
【变式1】 如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）
【答案】小鸟至少飞行m．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，
过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，
连接AB，
∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，
在Rt△AEB中，AB=(m)，
故小鸟至少飞行m．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出直角△AEB，并且根据勾股定理正确的计算AB是解题的关键．
【变式2】如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【答案】小鸟至少要飞10米．
【分析】作于点E，利用勾股定理求解即可．
解：如图，作于点E，
∵∠B=∠C=∠DEB=90°，
∴四边形BCDE是长方形，
∴BE=CD=7（米），BC=ED=8（米），
（米），
（米），
答：小鸟至少要飞10米．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是作垂线构建直角三角形．
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
17．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．
【答案】AC=4.2尺．
【分析】根据题意画出图形，根据已知用AC表示的AB长，然后根据勾股定理，列出AC的方程，解方程即可．
解：∵∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，
∴AB=10-AC，
∵BC=4尺，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，，即
解得AC=4.2尺．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用条件与解题方法是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，马路一边有一根长的电线杆被一辆货车从离地面处撞断裂，倒下的电线杆顶部是否会落在离它底部远的快车道上？说明理由．
【答案】不会，见解析
【分析】利用线段和差先求出BC1，根据勾股定理求出AC1，比较大小即可．
解：不会落在离它的底部远的快车道上，理由如下：
∵，
∴
∴在中由勾股定理得
∵，
∴电线杆顶部不会落在离它的底部远的快车道上．
【点拨】本题考查勾股定理，线段和差，线段比较，掌握勾股定理是解题关键．
【变式2】如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？
【答案】
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程后即可确定x的值．
解：设树高AB为x m.
由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.
在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(25-x)2，解得x=12.
答：这棵树有12 m高．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
18．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长；当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，
∴h＝BD＝24（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，
在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，
∴AB＝（cm），
所以h的取值范围是：24cm≤h≤26cm．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
【答案】D
【分析】如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.
解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故选D.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【变式2】如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为 （ ）
A．米 B．3米 C．4米 D．12米
【答案】C
【分析】根据题意得出水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，然后设出BC的长度为h，分别表示出BD和CD的长度，根据由勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt△BCD中，设BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，
∴由勾股定理得：，即，
∴解得：h=4．
故选：C．
【点拨】此题考查了勾股定理的实际应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
19．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【答案】D
【分析】根据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴海里，
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理．
举一反三：
【变式1】如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500m B．1200m C．1000m D．800m
【答案】A
【分析】由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC．
解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC==1500米．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，方位角，得到∠BAC=90°是解题的关键．
【变式2】如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为两船分别沿东北及东南方向行驶，故∠BAC＝90°，设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，利用勾股定理求出BC的长即可．
解：∵两船分别沿东北及东南方向行驶，
∴∠BAC＝90°，
设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，
∵一轮船以8nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6nmile/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，
∴AB＝8×2＝16nmile，AC＝6×2＝12nmile，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝nmile．
故选A．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
20．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是____m．
【答案】20
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
解：，，，
，
即，两点间的距离是．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需_____天才能把隧道凿通．
【答案】10
【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得，
∴所需的时间为：（天）；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度．
【变式2】如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.
【答案】150
解：分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
详解：AB==150（米）．
故答案为150．
点睛：本题考查了勾股定理的运用;熟练掌握勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
21．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要______元．
【答案】280
【分析】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解．
解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m，
水平直角边是m，
购买这种地毯的长是3m+4m=7m，
楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元
价格是7×2×20=280元．
故答案为280．
【点拨】本题主要考察勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和．
举一反三：
【变式1】如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．
【答案】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，
∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴(cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【点拨】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．
【变式2】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要______平方米．
【答案】3+
【分析】据含30°的直角三角形求出BC，得出AC＋BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，θ=30°
∴AB=2BC，AB2=BC2+AC2，即4BC2= BC2+（）2
解得BC=3，（负值舍去）
∴AC＋BC＝＋3（米），
∴地毯的面积至少需要1×（＋3）＝＋3（平方米）；
故答案为：＋3．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，根据含30°的直角三角形求出BC是解决问题的关键．
类型二十二、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
22．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？
【答案】超速了，超速了12km/h
【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．
解：.解：由已知得
∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2
∴BC2＝AB2－AC2＝，
又
∵72－60＝12km/h
∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h．
【点拨】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点．
举一反三：
【变式1】为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米/分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
【答案】小明能听到广播宣传，他总共能听到分钟的广播宣传．
【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BE=BF=800米，求得EF=1600米，于是得到结论．
解：小明能听到广播宣传，
理由：因为村庄到公路的距离米米，
所以小明能听到广播宣传．
如图，假设当宣讲车行驶到点开始小明能听到广播，行驶到点之后小明听不到广播，
则米，米，
所以（米），
所以米，
所以小明听到广播的时间为：（分钟），
所以他总共能听到分钟的广播宣传．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
【变式2】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【答案】这辆小汽车超速
【分析】先根据勾股定理求出BC的距离，再根据速度=路程时间求出小汽车的速度，从而可知道是否超速．
解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，
在Rt△ACB中， ，
∴小汽车的速度；
∴这辆小汽车超速．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
类型二十三、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求的度数；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响．
解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响．
【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
举一反三：
【变式1】如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?
【答案】需要封闭，理由见解析
【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.
解：过作于
所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.
【变式2】为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
【答案】能听到宣传，理由见解析；总共能听到4分钟的宣传．
【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是根据路程除以速度等于时间得到结论．
解：小明能听到宣传，
理由：∵A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴小明能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响点A，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝（米），
∴PQ＝1600米，
∴影响点A的时间为：1600÷400＝4（分钟），
答：他总共能听到4分钟的宣传．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际构造直角三角形是解题的关键．
类型二十四、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
24．铁路上A、B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点B（如图）．已知，，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【答案】收购站E到A站的距离为15km．
【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=15km．
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（25-x），
∵DA=10km，CB=15km，
∴x2+102=（25-x）2+152，
解得：x=15，
∴AE=15km．
∴收购站E到A站的距离为15km．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，将两个直角三角形的斜边表示出来，根据两斜边相等求解即可．
举一反三：
【变式1】11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？
【答案】4米
【分析】设EC为x米，BE为（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
解：∵AB=4，DC=6，BC=10，
设EC为x米，则BE为（10﹣x）米，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，
又∵AE=DE，
∴x2+62=（10﹣x）2+42，
x=4，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根4米．
【点拨】本题考查了勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
【变式2】小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】公里．
【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．
解：由题意得：公里，公里，，，
（公里），
设公里，则公里，
在中，，即，
解得（公里），
答：小渝家到见面地点的距离为公里．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
17.1 勾股定理（知识讲解2）
【典型例题】
类型十二、用勾股定理构造图形解决问题
12．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长．
【答案】52寸
【分析】取的中点为点，由题意可得，设寸，则寸，利用勾股定理即可求解
解：如图：取的中点为点，则的中点也为
根据题意可得：，
设寸，则寸．
， 尺寸
解得：寸
寸
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
举一反三：
【变式1】 明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？
【答案】
【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB＝OA＝x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD＝EC＝5（尺），
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，
∴x2＝102＋（x−4）2，
∴x＝．
∴OA的长度为（尺）．
【点拨】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】如图，小亮发现升旗的绳子放下时，末端刚好接触到地面处，但将绳子末端拉到距离旗杆米的处，发现此时绳子末端距离地面米．求旗杆的高度．
【答案】米
【分析】如图：作于点，由题意得，设，则，，然后运用勾股定理求得x即可．
解：作于点，由题意得
设，则，．
在中，
解得．
答：旗杆的高度是米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，做出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
类型十三、勾股定理与无理数
13．如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为_________．
【答案】
【分析】在中应用勾股定理可得，故可得，即可得到点D所表示的数．
解：∵点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，
∴，
∴，
∴点D所表示的数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理、数轴上表示数，根据勾股定理求得AB的长度是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 为了比较与+1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝4，D在BC上，且CD＝3，AC＝1．通过计算可得__+1．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【答案】＜
【分析】依据勾股定理即可得到AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1，BD+AD＝+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到＜+1．
解：∵∠C＝90°，BC＝4，CD＝3，AC＝1，
∴AD＝，AB＝＝，BD＝BC－CD＝1，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴＜+1，
故答案为：＜．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．
【变式2】如图，为原点，点，分别表示，2，以为底边在数轴上方作等腰三角形，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，若，则点表示的实数为__________．
【答案】
【分析】先利用等腰三角形三线合一得出OC⊥AB，再根据勾股定理计算OC的长度，再根据OD=OC即可得出点表示的实数．
解：∵点，分别表示，2，
∴OA=OB=2，
又∵△ABC为等腰三角形，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，根据勾股定理
,
∴，
又∵D点在O点右侧，
所以点表示的实数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查实数与数轴，勾股定理，等腰三角形三线合一．能根据等腰三角形三线合一得出△AOC是直角三角形是解决此题的关键．
类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）
14．如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离是______.
【答案】()m
【分析】先根据题意作出图形，然后先利用勾股定理求出AB的长度，然后再利用勾股定理求出OD的长度，从而可得到BD的长度.
解：如图,根据题意有AC=2,OA=4,OB=3，AB=CD,BD即为所求.
∵OA=4,OB=3
∴
∵AC=2,
∴
∴
∴
故答案为：()m.
【点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.
举一反三：
【变式1】生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图，AB为一长度为6米的梯子．
（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？（温馨提示：≈1.414）
（2）如图2，若梯子底端向左滑动使OD=3米，那么梯子顶端将下滑多少米？（结果保留1位小数）
【答案】（1）梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；（2）梯子的顶端将下滑动1.4米．
【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求解即可，
（2）根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
解：（1）由题意可得，AB=6米，OB=AB=2米，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得，
AO==≈5.656（米），
∵5.656＜5.7，
∴梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；
（2）在Rt△DOC中，由勾股定理可得，
OC==（米），
∴AC=OA-OC=（米）
∴梯子的顶端将下滑1.4米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，基础知识比较简单．
【变式2】如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO＝3m，∠OAB＝30°，梯子顶端A沿墙下滑至点C，使∠OCD＝60°，同时，梯子底端B也外移至点D．求BD的长度．（结果保留根号）[补充：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半]
【答案】3﹣（m）
【分析】先在Rt△OAB中，OA＝3m，∠OAB＝30°，求出梯子AB的长，在滑动过程中梯子的长是不变的，再根据已知条件证明出△AOB≌△DOC，即可求出BD长．
解：在Rt△ABO中，∵AO＝3m，∠OAB＝30°，
∴AB，
∵∠OCD＝60°，
∴∠ODC＝30°，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，OC＝OB，
∴BD＝OD﹣OB＝3﹣（m）．
【点拨】本题考查了勾股定理解直角三角形，三角形全等的性质与判定，求出的长是解题的关键．
类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）
15．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处约2m．请设法算出旗杆的高度．
【答案】旗杆高8米
【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得x2+62=(x+2)2，
解得：x=8；
答：旗杆的高度为8米．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】13m
【分析】根据题意构造直角三角形，然后设旗杆高度为xm，根据勾股定理即可求解．
解：如图，
设旗杆高度为m，
即，，
中，
即
解得
即旗杆的高度为13米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【变式2】如图，，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，隧道总长为2公里，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道一公里造价为500万元，公里，公里，则改建后可省工程费用多少万元？
【答案】11600
【分析】先求出的长，再让原来的造价减去改造后的造价可求出省去的工程费用．
解：根据勾股定理得：
原计划建公路费用：万元，
实际打隧道及建公路费用：万元,
万元，
答：改建后可省工程费11600万元．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是准确的代数取值，理清实际问题中各个量之间的关系．
类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）
16．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．
举一反三：
【变式1】 如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）
【答案】小鸟至少飞行m．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，
过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，
连接AB，
∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，
在Rt△AEB中，AB=(m)，
故小鸟至少飞行m．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出直角△AEB，并且根据勾股定理正确的计算AB是解题的关键．
【变式2】如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【答案】小鸟至少要飞10米．
【分析】作于点E，利用勾股定理求解即可．
解：如图，作于点E，
∵∠B=∠C=∠DEB=90°，
∴四边形BCDE是长方形，
∴BE=CD=7（米），BC=ED=8（米），
（米），
（米），
答：小鸟至少要飞10米．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是作垂线构建直角三角形．
类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
17．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC=4尺，求AC的长．
【答案】AC=4.2尺．
【分析】根据题意画出图形，根据已知用AC表示的AB长，然后根据勾股定理，列出AC的方程，解方程即可．
解：∵∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，
∴AB=10-AC，
∵BC=4尺，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，，即
解得AC=4.2尺．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用条件与解题方法是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，马路一边有一根长的电线杆被一辆货车从离地面处撞断裂，倒下的电线杆顶部是否会落在离它底部远的快车道上？说明理由．
【答案】不会，见解析
【分析】利用线段和差先求出BC1，根据勾股定理求出AC1，比较大小即可．
解：不会落在离它的底部远的快车道上，理由如下：
∵，
∴
∴在中由勾股定理得
∵，
∴电线杆顶部不会落在离它的底部远的快车道上．
【点拨】本题考查勾股定理，线段和差，线段比较，掌握勾股定理是解题关键．
【变式2】如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？
【答案】
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程后即可确定x的值．
解：设树高AB为x m.
由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.
在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(25-x)2，解得x=12.
答：这棵树有12 m高．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
类型十八、解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）
18．如图，将一根长30cm的筷子，置于底面直径为10cm，高24cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长；当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，
∴h＝BD＝24（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，
在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，
∴AB＝（cm），
所以h的取值范围是：24cm≤h≤26cm．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
【答案】D
【分析】如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.
解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故选D.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【变式2】如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为 （ ）
A．米 B．3米 C．4米 D．12米
【答案】C
【分析】根据题意得出水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，然后设出BC的长度为h，分别表示出BD和CD的长度，根据由勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt△BCD中，设BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，
∴由勾股定理得：，即，
∴解得：h=4．
故选：C．
【点拨】此题考查了勾股定理的实际应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．
类型十九、解决航海问题（勾股定理的应用）
19．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【答案】D
【分析】根据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴海里，
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理．
举一反三：
【变式1】如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ ）
A．1500m B．1200m C．1000m D．800m
【答案】A
【分析】由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，从而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC．
解：由题意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=900米，AC=1200米，
∴BC==1500米．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，方位角，得到∠BAC=90°是解题的关键．
【变式2】如图，一艘轮船以的速度从港口出发，向东北方向航行，另一艘轮船以的速度同时从港口出发，向东南方向航行，出发后，两船的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为两船分别沿东北及东南方向行驶，故∠BAC＝90°，设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，利用勾股定理求出BC的长即可．
解：∵两船分别沿东北及东南方向行驶，
∴∠BAC＝90°，
设2小时后沿东北方向行驶的轮船到达B点，沿东南方向行驶的轮船到达C点，连接BC，
∵一轮船以8nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以6nmile/h的速度同时从港口出发向东南方向航行，
∴AB＝8×2＝16nmile，AC＝6×2＝12nmile，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝nmile．
故选A．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△ABC是直角三角形是解答此题的关键．
类型二十、求河宽（勾股定理的应用）
20．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，AC=15m，则A，B两点间的距离是____m．
【答案】20
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
解：，，，
，
即，两点间的距离是．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需_____天才能把隧道凿通．
【答案】10
【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间．
解：根据题意，
∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，
则由勾股定理，得，
∴所需的时间为：（天）；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度．
【变式2】如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.
【答案】150
解：分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
详解：AB==150（米）．
故答案为150．
点睛：本题考查了勾股定理的运用;熟练掌握勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）
21．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要______元．
【答案】280
【分析】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解．
解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m，
水平直角边是m，
购买这种地毯的长是3m+4m=7m，
楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元
价格是7×2×20=280元．
故答案为280．
【点拨】本题主要考察勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和．
举一反三：
【变式1】如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________．
【答案】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，
∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴(cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【点拨】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．
【变式2】一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要______平方米．
【答案】3+
【分析】据含30°的直角三角形求出BC，得出AC＋BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，θ=30°
∴AB=2BC，AB2=BC2+AC2，即4BC2= BC2+（）2
解得BC=3，（负值舍去）
∴AC＋BC＝＋3（米），
∴地毯的面积至少需要1×（＋3）＝＋3（平方米）；
故答案为：＋3．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，根据含30°的直角三角形求出BC是解决问题的关键．
类型二十二、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
22．我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？
【答案】超速了，超速了12km/h
【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．
解：.解：由已知得
∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2
∴BC2＝AB2－AC2＝，
又
∵72－60＝12km/h
∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h．
【点拨】本题考查了勾股定理，其中1 米/秒=3.6 千米/时的速度换算是易错点．
举一反三：
【变式1】为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米/分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
【答案】小明能听到广播宣传，他总共能听到分钟的广播宣传．
【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BE=BF=800米，求得EF=1600米，于是得到结论．
解：小明能听到广播宣传，
理由：因为村庄到公路的距离米米，
所以小明能听到广播宣传．
如图，假设当宣讲车行驶到点开始小明能听到广播，行驶到点之后小明听不到广播，
则米，米，
所以（米），
所以米，
所以小明听到广播的时间为：（分钟），
所以他总共能听到分钟的广播宣传．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
【变式2】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
【答案】这辆小汽车超速
【分析】先根据勾股定理求出BC的距离，再根据速度=路程时间求出小汽车的速度，从而可知道是否超速．
解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，
在Rt△ACB中， ，
∴小汽车的速度；
∴这辆小汽车超速．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
类型二十三、判断是否受台风影响（勾股定理的应用）
24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求的度数；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响．
解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响．
【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
举一反三：
【变式1】如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?
【答案】需要封闭，理由见解析
【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.
解：过作于
所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.
【变式2】为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播．如图，小明家在南街这条笔直公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离AB为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以400米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．
【答案】能听到宣传，理由见解析；总共能听到4分钟的宣传．
【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是根据路程除以速度等于时间得到结论．
解：小明能听到宣传，
理由：∵A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴小明能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响点A，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝（米），
∴PQ＝1600米，
∴影响点A的时间为：1600÷400＝4（分钟），
答：他总共能听到4分钟的宣传．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际构造直角三角形是解题的关键．
类型二十四、选扯到两点距离相等（勾股定理的应用）
24．铁路上A、B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点B（如图）．已知，，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【答案】收购站E到A站的距离为15km．
【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=15km．
解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（25-x），
∵DA=10km，CB=15km，
∴x2+102=（25-x）2+152，
解得：x=15，
∴AE=15km．
∴收购站E到A站的距离为15km．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，将两个直角三角形的斜边表示出来，根据两斜边相等求解即可．
举一反三：
【变式1】11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有多远？
【答案】4米
【分析】设EC为x米，BE为（10﹣x）米，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
解：∵AB=4，DC=6，BC=10，
设EC为x米，则BE为（10﹣x）米，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
AE2=AB2+BE2=42+（10﹣x）2，DE2=DC2+EC2=62+x2，
又∵AE=DE，
∴x2+62=（10﹣x）2+42，
x=4，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根4米．
【点拨】本题考查了勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
【变式2】小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】公里．
【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．
解：由题意得：公里，公里，，，
（公里），
设公里，则公里，
在中，，即，
解得（公里），
答：小渝家到见面地点的距离为公里．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
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