湖北省武汉市武昌区2022届高三数学模拟试题 含答案

这是一份湖北省武汉市武昌区2022届高三数学模拟试题 含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 湖北省武汉市武昌区2022届高三数学模拟试题题号一二三四总分得分     一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知全集，集合，，则为A.  B.  C.  D. 已知复数，是的共轭复数，则A.  B.  C.  D. 从一副扑克牌张中抽取一张牌，抽到牌“”的概率是A.  B.  C.  D. 已知函数，则下列说法正确的是 A. 图象关于点对称 B. 图象关于点对称
C. 图象关于直线对称 D. 图象关于直线对称矩形中，，，沿将三角形折起，得到的四面体的体积的最大值为A.  B.  C.  D. 已知实数，满足如下两个条件：关于的方程有两个异号的实根；，若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是A.  B.
C.  D. 等差数列中，若，，则公差A.  B.  C.  D. 下列函数中，定义域是且为增函数的是A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分）已知双曲线：的一条渐近线的方程为，且过点，椭圆：的焦距与双曲线的焦距相同，且椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，若点，则下列说法中正确的有A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的实轴长为
C. 点的横坐标的取值范围为
D. 点的横坐标的取值范围为甲、乙两名学生的六次数学测验成绩百分制的茎叶图如图所示，以下说法正确的是A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数
B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高
C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低
D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差
 已知是抛物线：的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则A. 若，则的面积为
B. 若垂直的准线于点，且，则四边形周长为
C. 若直线过点，则的最小值为
D. 若，则直线恒过定点一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 三、单空题（本大题共4小题，共20分）写出一个最小正周期为的偶函数______．若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则以此规律为__________．
 的内角，，所对的边分别为，，已知，且，有下列结论：；；，时，的面积为；当时，为钝角三角线．其中正确的是__________填写所有正确结论的编号已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______ ．在中，，，点在上且满足，则 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）某学校共有名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集名学生每周上网时间的样本数据单位：小时根据这个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：，，，，，．
估计该校学生每周平均使用手机上网时间每组数据以组中值为代表；
估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率；
将每周使用手机上网时间在内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在内的定义为“不长时间使用手机上网”在样本数据中，有名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”． 近视不近视合计长时间使用手机   不长时间使用手机  合计  附：．




 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
求；
若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．

 已知是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么？
 如图，在几何体中，平面，平面，，又，．

求与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．






  已知右焦点为的椭圆：与直线相交于，两点，且．

求椭圆的方程：
为坐标原点，，，是椭圆上不同三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．



 已知函数．
Ⅰ若在处取得极值，且关于的方程在上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
Ⅱ若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．







答案和解析 1.【答案】【解析】【分析】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
根据补集与并集的定义，计算即可．
【解答】
解：全集，集合，，
则，
．
故选：．  2.【答案】
 【解析】解：，
，
，
故选：．
利用等比数列前项和化简复数的分子，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查等比数列的前项和，考查复数模的求法，是基础题．
 3.【答案】
 【解析】解：一副扑克共张，有张，
正好为的概率为，
故选D．
用的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 4.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了正弦函数的对称性，属于基础题．
利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质即可求解．【解答】解：令，，
解得，所以当时，函数的对称轴为，
故C正确，D错误；
因为所以A错误；
，故B错误．
故选：．  5.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
当平面平面时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体的体积的最大值．
【解答】
解：矩形中，，，沿将三角形折起，
当平面平面时，
得到的四面体的体积取最大值，
此时点到平面的距离，
，
四面体的体积的最大值为：
．
故选：．  6.【答案】
 【解析】解：设方程的两个异号的实根分别为，，
则，．
又，，，
则当且仅当，时取“”，
由不等式恒成立，得，解得：．
实数的取值范围是．
故选：．
由题意得到，，结合求得的最小值，代入转化为关于的不等式得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了方程根的个数的判断，训练了基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查不等式的解法，是中档题．
 7.【答案】
 【解析】解：由等差数列的通项公式可得，
代入数据可得，
解得
故选：
把已知数据代入等差数列的通项公式可得的方程，解方程可得．
本题考查等差数列的通项公式，属基础题．
 8.【答案】
 【解析】解：对于，函数的定义域是，且，是上的增函数，满足题意；
对于，函数是上的减函数，不满足题意；
对于，函数的定义域是，不满足题意；
对于，函数在定义域上不是单调函数，不满足题意．
故选：．
根据题意，对选项中的函数进行认真分析，选出符合条件的答案来．
本题考查了基本初等函数的定义域和单调性问题，解题时应对选项中的函数进行分析，从而选出正确的答案，是基础题．
 9.【答案】
 【解析】解：双曲线：的一条渐近线的方程为，
则可设双曲线的方程为，过点，，解得，
双曲线的方程为，即，
可知双曲线的离心率，实轴的长为，故选项A正确，选项B错误；
由可知椭圆：的焦点，，
不妨设，代入得，，
直线的方程为，联立，消去并整理得，
根据韦达定理可得，可得，又，，，，故选项C错误，选项D正确，
故选：．
根据双曲线渐近线的方程为，及过点可得双曲线的方程为，从而求得椭圆焦点，，设，可得直线的方程为，联立，根据韦达定理可得，即可求解．
本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的离心率及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题．
 10.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义直接求解．
【解答】
解：甲的中位数为：，
乙的中位数为：，
甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，故A错误；
甲的平均数为：，
乙的平均分为：，
甲同学的平均分比乙同学的平均分低，故B错误，C正确；
由茎叶图得甲的成绩比乙的成绩稳定，
甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故D正确．
故选：．  11.【答案】
 【解析】解：对于选项A，设，由焦半径公式得，解得，所以，从而，选项A正确；
对于选项B，由题意知，根据抛物线的定义可知设与轴的交点为，易知，，
故，所以四边形的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为，选项C正确；
对于选项D，设直线：，，，
联立直线与抛物线方程得，则，
所以，
由可得，
即，解得，
故直线的方程为，
即直线恒过定点，选项D正确．
故选：．
根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断；
根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长，即可判断；
根据当轴时，最小，即可判断；
设直线：，根据韦达定理和向量的数量积，即可判断．
本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
 12.【答案】
 【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都等于，
所以圆柱的侧面积，选项A正确；
对于，圆锥的底面直径和高等于，
所以圆锥的侧面积为，选项B错误；
对于，圆柱的侧面积为，
球的表面积，故圆柱的侧面积与球的表面积相等，选项C正确；
对于，球的体积为，
圆锥的体积为，
所以球的体积是圆锥体积的两倍，选项D正确．
故选：．
根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，然后逐一判断四个选项得答案．
本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题，考查运算求解能力，是基础题．
 13.【答案】
 【解析】解：一个最小正周期为的偶函数，
故答案为：．
由题意利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．
本题主要考查余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
 14.【答案】；；（3）；（4）【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性求解数列的最小值，属于基础题．【解答】解：由题意得，考察函数的单调性，，令，解得，当且仅当时，数列取得最小值，故答案为．【分析】本题主要考查二项式定理的应用，是高考中常见的题型，属于中档题．【解答】解：由题意得，的展开式的项为，令，则的最小值等于，故答案为．【分析】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．【解答】解：由题意，观察每一行分母与上一行的关系，发现第行个分母为，，，，，；第行分母为，，，，，，，
第行的分母为，，，，，，，，
故答案为．【分析】本题主要考查解三角形的应用，属于中档题．【解答】解：由题意得，，解得，，当时，是钝角三角形，故答案为．  15.【答案】
 【解析】解：的导数为，
因为，所以．
当时，，
当时，，
当时，取得最大值．
即有．
故答案为：．
求出函数的导数，由题意可得当时，成立．求函数在的最大值问题即可解决．
本题考查导数的运用：求最值，同时考查不等式的存在性问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和正确求导是解题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：如下图，根据条件，及向量的加法知道是边的中点，且，所以．
故答案为：．

根据向量的加法运算，由条件可得到是边的中点，，，接下来再根据数量积的运算便可求出答案．
考察向量的加法运算和数量积的运算．
 17.【答案】解：根据频率分布直方图，计算
；
估计该校学生每周平均使用手机上网时间为小时；
由频率分布直方图得，
估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率为；
根据题意填写列联表如下， 近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计由表中数据，计算，
有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．
 【解析】根据频率分布直方图，计算平均数即可；
由频率分布直方图求得对应的频率值；
根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．
 18.【答案】解：在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．
由正弦定理得：，
又，
，
，
，，
，．
，，是等边三角形，
设，，
，，，
，
由余弦定理得，
，
，，
当，即时，
平面四边形的面积取最大值．
 【解析】由正弦定理得：，推导出，从而，由此能求出．
由，，得是等边三角形，设，，则，，由余弦定理得，从而，由此能求出平面四边形的面积取最大值．
本题考查三角形内角的求法，考查平面四边形的面积的最大值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
 19.【答案】解：是各项均为正数的等比数列，公比．
，
是等比数列，首项为，公比为．
 【解析】利用等比数列的定义及其通项公式即可的得出．
本题考查了等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 20.【答案】
 【解析】试题分析：依据已知条件本题采用空间向量求解比较合适，过点作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间上角坐标系中需找到直线方向向量与平面的法向量，代入公式计算中需要找到两平面的法向量代入
试题解析：过点作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间上角坐标系，又，则点到轴的距离为，到轴的距离  为则有，，，，设平面的法向量为，    则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为．
设平面的法向量为，，则有，取，得．，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是．
考点：直线与平面所成角；二面角
 21.【答案】解：设，，，
代入椭圆方程可得，即
且，可得，
即，
由可得．
又，
解得，，
即有椭圆方程为；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
代入椭圆方程，
可得，
设，，
则，，，
由为的重心，可得
，
由在椭圆上，则有，
化简可得，
，
点到直线的距离等于点到直线的距离的倍，，
．
当直线的斜率不存在时，，，．
综上可得，的面积为定值．
 【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和两直线垂直的条件：斜率之积为，考查三角形的面积的计算，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
设，，，代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，，即可得到所求椭圆方程；
设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理，由为的重心，可得，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线的斜率不存在，即可得到的面积为定值．
 22.【答案】解：Ⅰ由题意得，解得-------分
经检验满足条件------分
，则------分
令，则，舍去-------分
当变化时，，的变化情况如下表：  ------分
关于的方程在上恰有两个不同的实数根，
------分
Ⅱ由题意得，即可
，
若，则当时，，在单调递减．
当时，
当时，不存在，使-------分
当时，随的变化情况如下表：当时，
由得--------分
综上得．
另：第小题可以分离参数，可按步得分．
 【解析】Ⅰ求出导函数，在处取得极值，求出，然后求解函数的极值，通过关于的方程在上恰有两个不同的实数根，求解实数的取值范围；
Ⅱ求出函数的最大值，利用最大值大于，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合的取值讨论，求解即可．
本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．