湖北省八市2021-2022学年高三下学期3月联考试题 数学含答案

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2022．3
本试题卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，集合，则（ ）
А．（，1）B．（0，1）C．D．（1，）
2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事
件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
4．若向量a，b满足，，，则a与b的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．D．
6．设，为两个不同的平面，则∥的一个充要条件可以是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线
7．已知的展开式中的系数为80，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．1
8．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x进制下表达M（M＞1）个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是（ ）
A．二进制B．三进制C．八进制D．十进制
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）
9．立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020B．这组数据的极差为50
C．得分在80分及以上的人数为400D．这组数据的平均数的估计值为77
10．2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为（ ）
A．B．C．D．
11．我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥．在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为、、，下列结论正确的有（ ）
A．D为△ABC的外心B．△ABC为锐角三角形
C．若，则D．
12．已知函数，则（ ）
A．的图象关于对称B．的最小正周期为
C．的最小值为1D．的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知函数，则曲线在x=1处的切线方程为________．
14．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）．要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m．则每块试验区的面积的最大值为________m2．
15．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点，（点O为坐标原点），过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则________．
16．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若，求sin∠MPN的值．
19．（本小题满分12分）
在三棱台DEF−ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=2EF，M是AC的中点，P是CF上一点，且CF=DF=CP（）．
（1）求证：平面BCD⊥平面PBM；
（2）当CP=1，且二面角E−BD−C的余弦值为时，求三棱台DEF−ABC的体积．
20．（本小题满分12分）
2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
21．（本小题满分12分）
设椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
22．（本小题满分12分）
设函数．（e为自然常数）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围．