高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示同步练习题

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1．下表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y为( B )
A．2 B．3
C．4 D．无法确定
2．下列四个图形中，是函数图象的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．有下列对应关系：
①M＝R，N＝N＋，对应关系f：“对集合M中的元素取绝对值后与N中的元素对应”；
②M＝{1，－1，2，－2}，N＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；
③M＝{三角形}，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>0)) ，对应关系f：“对M中的三角形求面积后与N中元素对应”．
上述对应关系中是集合M到集合N上的函数的有( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
4．函数y＝ eq \f(\r(x＋3),x－2) 的定义域为( C )
A．[－3，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．[－3，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，须满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3≥0，,x－2≠0，)) 解得x≥－3且x≠2.故选C.
5．下列各组函数是同一个函数的是( D )
A． y＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),x) 与y＝1
B． y＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))\s\up12(2)) 与y＝x－1
C． y＝ eq \f(x2,x) 与y＝x
D． y＝ eq \f(x3＋x,x2＋1) 与y＝x
【解析】 因为y＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),x) 的定义域为{x|x≠0}，y＝1的定义域为R，故A选项不符合题意；因为y＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))\s\up12(2)) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) ，y＝x－1的值域为R，故B选项不符合题意；因为y＝ eq \f(x2,x) 的定义域为{x|x≠0}，y＝x的定义域为R，故C选项不符合题意；因为y＝ eq \f(x3＋x,x2＋1) ＝x与y＝x的定义域和对应关系均相同，故D选项符合题意．故选D.
6．在下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( A )
A．y＝2x(x>0) B．y＝x2
C．y＝ eq \f(1,\r(x2＋1)) D．y＝ eq \f(2,x)
【解析】 选项A中函数的值域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y>0)) ；选项B中函数的值域为{y|y≥0}；选项C中函数的值域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|0二、填空题
7．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝ax2＋bx＋2 020图象的对称轴为直线x＝1，则f(2)＝__2__020__．
【解析】 因为函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(2)＝f(0)＝2 020.
8．函数f(x)＝ eq \f(\r(3－x2),x－1) 的定义域是__[－ eq \r(3) ，1)∪(1， eq \r(3) ]__．
【解析】 要使函数有意义，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x－1≠0，)) 得－ eq \r(3) ≤x<1或19．若f(x)＝ax2－ eq \r(2) ，a≠0，且f[f( eq \r(2) )]＝－ eq \r(2) ，则a＝__ eq \f(\r(2),2) __.
【解析】 因为f( eq \r(2) )＝a·( eq \r(2) )2－ eq \r(2) ＝2a－ eq \r(2) ，所以f[f( eq \r(2) )]＝a(2a－ eq \r(2) )2－ eq \r(2) ＝－ eq \r(2) ，所以a(2a－ eq \r(2) )2＝0.又因为a≠0，所以2a－ eq \r(2) ＝0，所以a＝ eq \f(\r(2),2) .
10．函数f(x)对任意实数x都满足条件f(x＋2)＝ eq \f(1,f（x）) .若f(1)＝－5，则f(5)＝__－5__．
【解析】 因为f(x＋4)＝ eq \f(1,f（x＋2）) ＝f(x)，所以f(5)＝f(1)＝－5.
11．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

则f[g(1)]的值为__1__；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是__2__．
【解析】 易知f[g(1)]＝f(3)＝1.将x＝1，2，3分别代入f[g(x)]>g[f(x)]检验，知x＝2满足条件，故x的值为2.
三、解答题
12．求下列函数的值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝ eq \f(5x＋4,x－1) ；
(4)y＝x－ eq \r(x＋1) .
解：(1)由题意知，当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以值域为{1，2，5}．
(2)因为函数的定义域为R，(x－1)2＋1≥1，
所以值域为{y|y≥1}．
(3)因为函数的定义域是{x|x≠1}，y＝ eq \f(5x＋4,x－1) ＝5＋ eq \f(9,x－1) ，
所以值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，
故定义域是{x|x≥－1}．设t＝ eq \r(x＋1) ，
则x＝t2－1(t≥0)，
于是y＝t2－1－t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(5,4) .又t≥0，
故y≥－ eq \f(5,4) .
所以值域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y≥－\f(5,4))))) .
[B级 素养养成与评价]
13．设函数f(x)＝ eq \r(ax2－x＋2) .
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值．
解：(1)由于函数f(x)＝ eq \r(ax2－x＋2) 的定义域为R，等价于ax2－x＋2≥0对x∈R恒成立．
当a＝0时，不满足题意；
当a≠0时，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－8a≤0，)) 得a≥ eq \f(1,8) .
综上可得，a≥ eq \f(1,8) .
(2)由于函数f(x)的定义域为[－2，1]，
∴ax2－x＋2≥0的解集为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，1)) ，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(1,a)＝－1，,\f(2,a)＝－2，)) 解得a＝－1.
14．已知函数f(x)＝ eq \r(（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1) 的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) ，求实数a的取值范围．
解：当a2－1＝0时，检验可得a＝1时函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) ；
当a2－1≠0时，由函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) 可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1>0，,Δ＝（a＋1）2－4（a2－1）≥0，)) 解得1综上可得：实数a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) .
15．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2(1)求f(－5)，f(－ eq \r(3) )，f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))))) 的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值；
(3)若f(m)>3m－5(m≥2)，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－ eq \r(3) )＝(－ eq \r(3) )2＋2×(－ eq \r(3) )＝3－2 eq \r(3) ；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))) ＝－ eq \f(5,2) ＋1＝－ eq \f(3,2) ，
所以f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2))))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) eq \s\up12(2) ＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＝ eq \f(9,4) －3＝－ eq \f(3,4) .
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去．
当－2所以(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，
所以a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(3)因为m≥2，所以f(m)＝2m－1，
即2m－1>3m－5，解得m<4.
又因为m≥2，所以m的取值范围为[2，4).
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1