数学5.1 任意角和弧度制课时练习

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1． eq \a\vs4\al(【多选题】) 将－1 485°化成α＋2kπ(k∈Z)的形式是( AD )
A．－ eq \f(π,4) －8π B． eq \f(7,4) π－8π
C． eq \f(π,4) －10π D． eq \f(7,4) π－10π
【解析】 －1 485°＝－4×360°－45°＝－8π－ eq \f(π,4) ＝－10π＋ eq \f(7,4) π，故选AD.
2．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为( A )
A．π B． eq \f(π,2)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,4)
【解析】 因为30°＝ eq \f(π,6) ，所以扇形弧长l＝ eq \f(π,6) ×6＝π.
3．已知一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 设该扇形的圆心角为θ，半径为r，则6＝θr，且 eq \f(1,2) θr2＝6，解得r＝2，θ＝3.
4．把－ eq \f(11π,4) 表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( A )
A．－ eq \f(3π,4) B．－2π
C．π D．－π
【解析】 因为－ eq \f(11π,4) ＝－2π＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4))) ，所以－ eq \f(11,4) π与－ eq \f(3,4) π是终边相同的角，所以－ eq \f(3π,4) ＝θ＋2kπ(k∈Z)，θ＝－ eq \f(3,4) π－2kπ(k∈Z)，当k＝0时，且此时|θ|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4))) ＝ eq \f(3π,4) 是最小的，所以θ＝－ eq \f(3π,4) .
5．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( D )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
【解析】 因为－2π＜－5＜－ eq \f(3π,2) ，所以θ是第一象限角．
6．下列说法中，正确的是( A )
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
②1°的角是周角的 eq \f(1,360) ，1 rad的角是周角的 eq \f(1,2π) ；
③1 rad的角比1°的角要大；
④用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关．
A． ①②③ B． ①③④
C． ②③④ D． ①②④
【解析】 由角度制和弧度制的定义，知①②③说法正确；用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故④说法错误．故选A.
二、填空题
7．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为__ eq \f(π,5) ， eq \f(π,3) ， eq \f(7π,15) __．
【解析】 因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A＝ eq \f(3π,3＋5＋7) ＝ eq \f(π,5) ，B＝ eq \f(5π,3＋5＋7) ＝ eq \f(π,3) ，C＝ eq \f(7π,3＋5＋7) ＝ eq \f(7π,15) .
8．已知圆心角为 eq \f(2π,3) 的扇形所对的弦长为2 eq \r(3) ，则扇形的面积为__ eq \f(4π,3) __．
【解析】 由题意，设该扇形的半径为R，所以R＝ eq \f(\r(3),sin \f(π,3)) ＝2，
所以弧长l＝ eq \f(4π,3) ，所以S＝ eq \f(1,2) lR＝ eq \f(4π,3) .
9．若角α与角 eq \f(8π,5) 终边相同，则在[0，2π]内终边与 eq \f(α,4) 终边相同的角是__ eq \f(2π,5) ， eq \f(9π,10) ， eq \f(7π,5) ， eq \f(19π,10) __．
【解析】 由题意得α＝ eq \f(8π,5) ＋2kπ(k∈Z)，则 eq \f(α,4) ＝ eq \f(2π,5) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z).又 eq \f(α,4) ∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，此时 eq \f(α,4) ＝ eq \f(2π,5) ， eq \f(9π,10) ， eq \f(7π,5) ， eq \f(19π,10) .
10．若一扇形的弧长变为原来的 eq \f(3,2) 倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的__ eq \f(3,4) __．
【解析】 由于S＝ eq \f(1,2) lR，令l′＝ eq \f(3,2) l，R′＝ eq \f(1,2) R，则S′＝ eq \f(1,2) l′R′＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,2) l× eq \f(1,2) R＝ eq \f(3,4) S.
11．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角度为__ eq \f(9π,4) __rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每秒转过的弧长为__54π__cm.
【解析】 小轮转动两周时，大轮转动了 eq \f(18,32) ×2＝ eq \f(9,8) (周)，所以大轮转动的角的弧度数为 eq \f(9,8) ×2π＝ eq \f(9π,4) (rad).又小轮的转速为180转/分，所以大轮周上一点每秒转过的弧长为180÷2× eq \f(9π,4) ×16÷60＝54π(cm).
[B级 素养养成与评价]
12． eq \a\vs4\al(【多选题】) 若角α的终边与角 eq \f(π,6) 的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则满足题意的角α的值可能为( ABCD )
A．－ eq \f(11π,3) B．－ eq \f(5π,3)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(7π,3)
【解析】 设角 eq \f(π,6) 的终边为射线OA，
射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以OB为终边的角的集合为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) .
∵α∈(－4π，4π)，
∴－4π＜2kπ＋ eq \f(π,3) ＜4π，k∈Z，
∴－ eq \f(13,6) ＜k＜ eq \f(11,6) .
∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1，
∴满足题意的α的值有－ eq \f(11π,3) ，－ eq \f(5π,3) ， eq \f(π,3) ， eq \f(7π,3) .
13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝__[－4，－π]∪[0，π]__．
【解析】 当k＝－1，0，1时，集合A，B的解集如图所示，所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].
14．若一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则 eq \f(C－1,S) 的最大值为__4__．
【解析】 设该扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，则l＝2r，故C＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，S＝ eq \f(1,2) lr＝r2，所以 eq \f(C－1,S) ＝ eq \f(4r－1,r2) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,r))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(4,r) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,r)－2)) eq \s\up12(2) ＋4≤4，当r＝ eq \f(1,2) 时等号成立，则 eq \f(C－1,S) 的最大值为4.
15．如图所示，已知在半径为10的⊙O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.
解：(1)由于⊙O的半径为10，弦AB的长为10，
所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝ eq \f(π,3) ，所以α＝ eq \f(π,3) .
(2)因为α＝ eq \f(π,3) ，所以l＝αr＝ eq \f(10π,3) .
又S扇形AOB＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) × eq \f(10π,3) ×10＝ eq \f(50π,3) ，
S△AOB＝ eq \f(1,2) ×10×10×sin eq \f(π,3) ＝25 eq \r(3) ，
所以S＝S扇形AOB－S△AOB＝ eq \f(50π,3) －25 eq \r(3) ＝50 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))) .