（通用版）中考数学一轮复习讲与练04《因式分解与分式》精讲精练（教师版）

第四节　因式分解与分式

　因式分解

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　D　)

A.a(x－y)=ax－ay

B.x2＋2x＋1=x(x＋2)＋1

C.(x＋1)(x＋3)=x2＋4x＋3

D.x3－x=x(x＋1)(x－1)

2.下列各因式分解正确的是(　D　)

A.x2＋2x－1=(x－1)2

B.－x2＋(－2)2=(x－2)(x＋2)

C.(x＋1)2=x2＋2x＋1

D.x3－4x=x(x＋2)(x－2)

3.分解因式：x3－4x=__x(x－2)(x＋2)__.

4.分解因式：ab4－4ab3＋4ab2=__ab2(b－2)2__.

　分式化简求值

5.下列运算结果为x－1的是(　B　)

A.1－　　   B.·     C.÷    D.

6.化简：－=(　C　)

A.0　　　　B.1　　　　C.x　　　　D.

7.若=，则的值为(　D　)

A.1       B.        C.             D.

8.若a=2b≠0，则的值为____.

9.若x＋y=1，且x≠0，则÷的值为__1__.

10.先化简再求值：

÷，其中x满足x2＋x－2=0.

解：原式=·

=·

=x(x＋1)

=x2＋x，

∵x2＋x－2=0，

∴x2＋x=2，∴原式=2.

中考考点清单

　分解因式的概念

1.把一个多项式化成几个__整式__的__积__的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式与整式乘法的关系：多项式____整式的积.

　分解因式的基本方法

3.提公因式法：ma＋mb＋mc=__m(a＋b＋c)__.

4.运用公式法：

(1)平方差公式：a2－b2=__(a＋b)(a－b)__.

(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2=__(a±b)2__.

【方法点拨】因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式；

(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止.

　分式的有关概念

5.分式：形如____(A，B是整式，且B中含有__字母__，B≠0)的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母.

6.与分式有关的“五个条件”的字母表示：

(1)分式无意义时，B__=0__；

(2)分式有意义时，B__≠0__；

(3)分式的值为零时，A__=0__且B__≠0__；

(4)分式的值为正时，A，B__同号__，即或

(5)分式的值为负时，A，B__异号__，即或

7.最简分式：分子与分母没有__公因式__的分式.

8.有理式：__整式__和__分式__统称为有理式.

　分式基本性质

9.=____，=____(m≠0).

10.通分的关键是确定几个分式的__最简公分母__，约分的关键是确定分式的分子、分母的__最大公因式__.

　分式运算

11.±=____；异分母分式加减通过通分转化为__同分母分式__加减，即±=.

12.×=____，÷=____，()n=____.

13.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算__乘方__，再算__乘除__，最后进行__加减运算__，遇到括号，先算__括号里面的__.分式运算的结果要化成整式或最简分式.

【方法技巧】分式化简求值题的一般步骤：

(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；

(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；

(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；

(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；

(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为0).

中考重难点突破

　因式分解

【例1】(1)(菏泽中考)将多项式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是(　A　)

A.a(x－2)2　 　B.a(x＋2)2       C.a(x－4)2     D.a(x＋2)(x－2)

(2)(郴州中考)分解因式：2a2－2=________.

【解析】有公因式的先提公因式，然后考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止.

【答案】(1)A；(2)2(a＋1)(a－1)

1.下列因式分解错误的是(　B　)

A.x2－y2=(x＋y)(x－y)

B.x2＋y2=(x＋y)2

C.x2＋xy=x(x＋y)

D.x2＋6x＋9=(x＋3)2

2.分解因式x(x＋4)＋4的结果是__(x＋2)2__.

　分式的概念及其基本性质

【例2】(1)如果分式有意义，则x的取值范围是(　A　)

A.全体实数     B.x≠1    C.x=1        D.x>1

(2)若分式的值为0，则(　A　)

A.x=－1     B.x=0        C.x=1       D.x=±1

【解析】(1)分母不为0，分式有意义；(2)分式的值为0时，分子为0且分母不为0.

【答案】(1)B；(2)A

3.使分式有意义的x的取值范围是(　D　)

A.x≥      B.x≤      C.x＞      D.x≠

4.若分式的值为零，则x的值是(　B　)

A.0　　　　B.1　　　　C.－1　　　　D.－2

　分式化简求值

【例3】先化简，再求值：

÷，其中x=1.

【解析】先把分母分解因式，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值.

【答案】

解：原式=[－]×

=×－×

=－

=－=，

当x=1时，原式==1.

5.化简－的结果是(　A　)

A.－x－y     B.y－x    C.x－y       D.x＋y

6.计算÷的结果为(　A　)

A.     B.     C.      D.

7.计算÷的结果是__a－b__.

8.(苏州中考)先化简，再求值：

÷，其中x=.

解：原式=÷=·=，

当x=时，原式==.

9.先化简：－÷，再从0，1，2，中选取一个合适的数作为x的值代入求值.(简要说明选这个数的理由)

解：原式=－·

=－

=

=－，

当x=0，1，2时，原式无意义，所以取x=，

当x=时，原式=－.                                                                                                  

第四节　因式分解与分式

1.化简＋的结果是(　D　)

A.x＋1      B.x－1      C.－x        D.x

2.把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　C　)

A.2a(4a2－4a＋1)    B.8a2(a－1)    C.2a(2a－1)2     D.2a(2a＋1)2

3.若分式=0，则x的值为(　B　)

A.－1或1     B.1     C.－1       D.1或0

4.下列分式中，最简分式是(　A　)

A.          B.    C.    D.

5.已知a，b是△ABC的两边，且a2＋b2=2ab，则△ABC的形状是(　A　)

A.等腰三角形     B.等边三角形   C.锐角三角形     D.不确定

6.下列各式：，，，，x2，＋4，其中分式有(　B　)

A.2个     B.3个    C.4个     D.5个

7.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是(　D　)

A.       B.      C.       D.

8.计算·等于(　C　)

A.6xyz       B.－     C.－6xy      D.6x2yz

9.下列三个分式，，的最简公分母是(　D　)

A.4(m－n)x      B.2(m－n)x2       C.    D.4(m－n)x2

10.下列计算中，错误的是(　A　)

A.=－1   B.=－1   C.=－1    D.－=－1

11.当m=__8或－2__时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式.

12.因式分解：

(1)am－3a=__a(m－3)__；

(2)ax2－ay2=__a(x＋y)(x－y)__；

(3)2a2－4a＋2=__2(a－1)2__.

13.计算的结果是__1－2a__.

14.当a=2 026时，分式的值是__2__028__.

15.已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b=__－31__.

16.化简求值：÷－，a取－1、0、1、2中的一个数.

解：原式=－.∵a≠0、±1，∴a=2，∴原式=－1.

17.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b值分别是(　B　)

A.a=2，b=3   B.a=－2，b=－3   C.a=－2，b=3   D.a=2，b=－3

18.下列因式分解正确的是(　B　)

A.x2－xy＋x=x(x－y)        B.a3－2a2b＋ab2=a(a－b)2

C.x2－2x＋4=(x－1)2＋3     D.ax2－9=a(x＋3)(x－3)

19.函数y=的自变量x的取值范围是(　B　)

A.x≥－2    B.x≥－2且x≠0    C.x≠0     D.x＞0且x≠－2

20.a，b互为倒数，代数式÷的值为__1__.

21.如果实数x满足x2＋2x－3=0，那么代数式÷的值为__5__.

22.先化简：÷，然后再从－2<x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值.

解：原式=÷=.

其中即x≠－1，0，1.

又∵－2<x≤2且x为整数，∴x=2.

将x=2代入中，得==4.

23.若x2＋3x＋1=0，求x2＋的值.

解：x2＋3x＋1=0，

x＋3＋=0，

x＋=－3，

(x＋)2=(－3)2，

x2＋2·x·＋=9，

x2＋2＋=9，

x2＋=7.

24.(1)对于a，b定义一种新运算“☆”；a☆b=2a－b，例如5☆3=2×5－3=7，若x☆5＜－2，求x的取值范围；

(2)先化简，再求值：÷，其中x的值是(1)中的正整数解.

解：(1)根据题意，得2x－5＜－2，解得x＜；

(2)原式=·=x＋2.

∵x＜且x为正整数，∴x=1，

∴当x=1时，原式=x＋2=3.