（通用版）中考数学一轮复习讲与练32《正多边形与圆有关的计算》精讲精练（教师版）

第三节　正多边形与圆有关的计算

　扇形的相关计算

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为(　D　)

A.4π  B.2π  C.π  D.

2.已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为(　C　)

A.π     B.4π     C.π或4π    D.2π或4π

3.如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(　B　)

A.－  B.－   C.π－  D.π－

4.如图，将长为8 cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2 cm的扇形.则S扇形＝__4__cm2.

5.如图，四边形OABC为菱形，点B，C在以点O为圆心的上，若OA＝3，∠1＝∠2，则扇形OEF的面积为__3π__.

6.如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.求：

(1)BC，AD的长；

(2)图中两阴影部分面积的和.

解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，

∴BC＝＝2.

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠DCA＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，

∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝2；

(2)连接OC，OD.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.

∵OA＝OB，∴S△AOC＝S△ABC＝××AC·BC＝××2×2＝.

由(1)，得∠AOD＝90°，∴∠COD＝150°，S△AOD＝×AO×OD＝×22＝2，

∴S阴影＝S扇形COD－S△AOC－S△AOD＝－－2＝π－－2.

7.如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.

(1)求证：AP＝BQ；

(2)当BQ＝4时，求优弧的长；(结果保留π)

(3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

解：(1)连接OQ.

∵AP，BQ是⊙O的切线，

∴OP⊥AP，OQ⊥BQ.

∴∠APO＝∠BQO＝90°，

∴Rt△APO≌Rt△BQO，

∴AP＝BQ；

(2)∵Rt△APO≌Rt△BQO，

∴∠AOP＝∠BOQ，

∴P，O，Q三点共线.

∵在Rt△BOQ中，cosB＝＝＝，

∴∠B＝30°，∠BOQ＝60°，

∴OQ＝OB＝4.

∵∠COD＝90°，

∴∠QOD＝90°＋60°＝150°，

∴优弧的长＝＝π；

(3)∵△APO的外心是OA的中点，OA＝8，

∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8.

　圆锥的相关计算

8.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8 m，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tanα＝，则圆锥的底面积是__36π__m2.(结果保留π)

中考考点清单

　圆的弧长及扇形面积公式

如果圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是n，那么

　圆锥的侧面积与全面积

续表

　正多边形与圆

【方法点拨】

1.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等面积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解.

2.圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题.

中考重难点突破

　弧长与扇形面积

【例1】(1)如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC的弧长为________.(结果保留π)

(2)如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为(　B　)

A.πa　　B.2πa　　C.πa　　D.3a

【解析】(1)连接OC，OB，设法求半径OB及∠BOC即可；(2)阴影部分的周长为的长的2倍.

【答案】(1)π；(2)A

1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是____.

　圆锥的侧面积与全面积

【例2】“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是(　　　)

A.68π cm2  B.74π cm2        C.84π cm2  D.100π cm2

【解析】∵底面圆的直径为8 cm，高为3 cm，∴母线长为5 cm，

∴其表面积＝π×4×5＋42×π＋8π×6＝84π cm2.

【答案】C

2.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　A　)

A.  B.  C.  D.

3.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝(　C　)

A.3  B.4  C.5  D.6

4.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l＝__3__.

5.有一圆锥，它的高为8 cm，底面半径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是__60π__cm2.(结果保留π)

6.如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细).则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为__18__.

第三节　正多边形与圆有关的计算

1.正方形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(　B　)

A.  B.2  C.2  D.2

2.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是(　D　)

A.4π－4  B.2π－4    C.4π  D.2π

3.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为 (　A　)

A.288°  B.144°  C.216°  D.120°

4.如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是(　C　)

A.2  B.－π     C.1  D.＋π

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(　A　)

A.  B.   C.－  D.

6.如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为____.

7.如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是____.

8.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是__－__.

9.如图所示，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为__π__ cm2.

10.如图所示，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是__6__.

11.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B，C恰好落在扇形AEF的弧EF上.若∠BAD＝120°，则弧BC的长度等于____.(结果保留π)

12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是(　A　)

A.－π  B.－πC.－  D.－

13.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为的中点，D，E分别是OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为____cm2.

14.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，且∠BOD＝60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB.

(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；

(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r.

解：(1)连接OE.

依题意得，＝＝，

∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°，

∴∠EBA＝∠EOA＝30°，

∠DEB＝∠DOB＝30°，

∴∠EBA＝∠DEB，

∴DE∥AB.

∵＝＝，∴OD⊥BE.

又CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，∴BE∥CD，

∴四边形BCDE为平行四边形；

(2)∵阴影部分面积为6π，

∴S阴影＝S扇形BOD＝＝6π，

∴r2＝36，∴r＝6.

15.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB.

(1)求证：CB是∠ECP的平分线；

(2)求证：CF＝CE；

(3)当＝时，求劣弧的长度(结果保留π).

解：(1)∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC.

∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，

∴∠OCP＝∠CEB＝90°，

∴∠PCB＋∠OCB＝90°，

∠BCE＋∠OBC＝90°，

∴∠BCE＝∠BCP，

∴BC是∠PCE的平分线；

(2)连接AC.

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCP＋∠ACF＝90°，

∠ACE＋∠BCE＝90°.∵∠BCP＝∠BCE，

∴∠ACF＝∠ACE.

∵∠F＝∠AEC＝90°，

AC＝AC，

∴△ACF≌△ACE，∴CF＝CE；

(3)作BM⊥PF于M，则CE＝CM＝CF.

设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a.

易证△BMC∽△PMB，∴＝.

∵BM2＝CM·PM＝3a2，∴BM＝a，

∴tan∠BCM＝＝，

∴∠BCM＝30°，

∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，

∴的长＝＝π.