冲刺小卷16 特殊三角形-【冲刺小卷】备战2022年中考数学基础题型专项突破练习（全国通用）·

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A．4mB．5cmC．6cmD．8cm
C【解析】在△ABC中，∵∠A＝80°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠B＝∠C∴AB＝AC＝6cm，故选：C．
2.（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．
3．（2021•青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足2a−3b+5+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．6或8C．7D．7或8
D【解析】∵2a−3b+5+（2a+3b﹣13）2＝0，∴2a−3b+5=02a+3b−13=0，解得：a=2b=3，当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．
4.（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝ 54 °．
54【解析】∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A=12×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，∴∠B＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54．
5.（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝ 1 ．
1【解析】如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP=12AC×PF，S△ABP=12AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1=12AC×PF+12AB×PE，即1=12×2×PF+12×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．
6.（2021•泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC．
（1）判断△ADE的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，求△ABC的面积．
解：（1）结论：△ADE是等边三角形．理由：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAE＝∠B＝30°，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°，∠AED＝∠C+∠CAE＝60°，∴AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．
（2）∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2AD，∵AD＝DE，∴BE＝DE，同法可证，DE＝CD，∴BE＝DE＝CD，∴S△ABC＝3S△ADE＝3×34×22＝33．
考点2 勾股定理及其逆定理
7.（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
D【解析】根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．
8.（2010•眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
C【解析】根据勾股定理可以得到：AC＝BC=5，AB=10．∵（5）2+（5）2＝（10）2．∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°．故选：C．
9．（2021•临沂）如图，每一小格的长度为1，点A，B都在格点上，若BC=2133，则AC的长为（ ）
A．13B．4133C．213D．313
B【解析】由图可得，AB=62+42=36+16=52=213，∵BC=2133，∴AC＝AB﹣BC＝213−2133=4133，
故选：B．
10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．22B．4C．3D．10
A【解析】如图，连接FC，则OE垂直平分AC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，∠FAO=∠BCOOA=OC∠AOF=∠COB，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝22．故选：A．
11.（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
100【解析】由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．
12.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 ．
76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30则x＝13，y＝6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．故答案是：76．
13． （2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为322km，CD长为34（2+6）km，BD长为32km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．
解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：则∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=12AC=342（km），AE=3CE=346（km），∴DE＝CD﹣CE=34（2+6）−342=346（km），
∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD=2AE=2×346=332（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴AD=2AE=332（km），∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB=AD2+BD2=(332)2+(32)2=3（km），即隧道AB的长度为3km．
考点3 直角三角形的相关计算
14．（2021•乐山）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
C【解析】如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．
15.（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2kmB．3kmC．23kmD．4km
D【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故选：D．
16.（2021 •中原区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
A【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACE＝90°，AC＝2，∴AE＝BE＝2AC＝4，∴S△ABE=12BE•AC=12×2×4=4，故选：A．
17.（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
A【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,
∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．
18.（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝ 4 ．
4【解析】∵∠ACB＝90°，CD为△ABC斜边AB上的中线，∴CD=12AB，∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4，故答案为：4．
19.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ 5 ．
5【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cs60°=ODOP=12，OP＝12，∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND=12MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故答案为：5．
20.（2021•下城区期中）解答下列各题．
（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．
（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中点，∴DM=12OP＝DO，
∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON；
（2）解：∠MDN＝2∠MON．理由如下：如图2，∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中点，
∴DM=12OP＝DO，∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP＝2∠MON．
21.（2021•路北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．