冲刺小卷21 矩形、菱形和正方形-【冲刺小卷】备战2022年中考数学基础题型专项突破练习（全国通用）·

冲刺小卷21 矩形、菱形和正方形

考点1  矩形的性质与判定

1.如图所示，长方形纸片ABCD中，点E是AB的中点，且AE＝1，DE的垂直平分线MN恰好经过点C，则BC边的长度为（　　）

A．2 B． C． D．1

B【解析】如图，连接EC．∵点E是AB的中点，且AE＝1，∴BE＝AE＝1，AB＝2AE＝2，∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝2，∠B＝90°，∵MN垂直平分DE，∴CE＝CD＝2，∴BC；故选：B．

2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　6　cm．

6【解析】在矩形ABCD中，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BOC＝120°，∴∠OCB＝30°，∵DC＝3cm，∴AB＝CD＝3cm，在Rt△ACB中，AC＝2AB＝6cm，故答案为：6

3.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，

又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，

根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，

即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长．

考点2  菱形的性质与判定

4.已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．2

D【解析】如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，∴菱形的面积AC•BD2×22．

故选：D．

5.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．150°

C【解析】连接AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，

∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，

∴∠DAB＝120°．故选：C．

6.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（　　）

A．36° B．54° C．64° D．72°

B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，

在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，故选：B．

7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，

∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．

考点3  正方形的性质与判定

8.（2021•陈仓区期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 

C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等

B【解析】正方形的边：四边都相等，菱形的边四边都相等；正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：对角相等；正方形的对角线：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的对角线：互相平分，互相垂直．则：正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选：B．

9.（2021•郑州模拟）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．

D【解析】延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GMCG1，∴HN是△BFP的中位线，∴HNFP＝1，

∴MH＝5﹣1＝4，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH，故选：D．

10.（2021•牡丹区期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

（1）证明：连接AC，如图所示，∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∴△ABC、△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH＝2，S四边形AECF＝S△ABCBC•AHBC•4．