初三数学竞赛试卷

这是一份初三数学竞赛试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


初三数学竞赛试卷
得 分
一
15
二
三
18
题
号
1~8 9~14
16
17
总
分
一、 选择题 (共 8 小题， 每小题 5 分， 满分 40 分 . 以下每小题均给出了代号为 A、
B、 C、 D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号
填入题后的括号里 . 不填、多填或错填均得零分 )
m (2x 1)
1．如果 x 2 x2 6 ，那么代数式 m 是 （ ）
（A） (2x 1)3 （B） (2 x 1)2 （C） (2 x 1)3 （D） (2x 1)2
2．在平面直角坐标系中，点 A （ x， y 1 ）在第四象限，那么点
B （ y 1， x ）在 （ ）
（A ）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3． 如图， 以数轴的单位长线段为边作一个正方形， 以数轴的原点为圆心 ，
正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点 A ，点 A 表示数 x，则 x2 的平方根
是 （ ）
（A） 2 （B） 2
（C） 2 （D） 2
2 2
4．如果 a 1 b 2, ，那么
b , c
（A） 4 （B） 3 （C） 2
初中数学竞赛试卷
-1 O 1 A 2
c 等于 ( )
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2
4
3
8
3
5．考虑下列 4 个命题：
①有一个角是 100°的两个等腰三角形相似；
②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④对角线相等的梯形是等腰梯形．
其中正确命题的序号是
(A) ①②③④ (B) ①②④ (C) ②③④
6． 已知如图， 在矩形 ABCD中有两个一条边长为
公共部分 ( 即阴影部分 ) 的面积是
(D) ①④
1 的平行四边形
( )
1
( )
. 则它们的
B
1
C
（A）大于 1
（ B）等于 1
（C）小于 1
（ D）小于或等于 1
A
D
7．已知梯形的两条对角线分别为 m 与 n，两对角线的夹角为 600. 那么，
该梯形的面积为 （ ）
（A） 3 mn
8．已知，正整数
n+k 的值为
（A） 29
（B） mn
n， k 满足不等式
（ B） 30
（C） mn （D） 3mn
，那么当 n 与 k取最小值时，
（ ）
（C） 31 （D） 32
二、填空题 （共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
9． 已知⊙ O 的直径 AB=2 2 cm， 过点 A 有两条弦 AC=2cm， AD= 6 cm，
那么劣弧 CD 的度数为 _________.
10．已知，关于 x 的一元二次方程 x2 kx 6 0 与 x2 6x k 0 只有一个
公共的根，那么方程 x2 k |x| 2k 5 0 所有的根的和是 .
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k 1
11．在写有整式 5， r， a b， m2， ， 5x， (x y)2 ，
任意选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是
3mn的卡片中，
.
y
B
C
A
x
F
B
D
5
12．如图，直线 y 12 x 12 与 x 轴、
y 轴分别交于 A 点和 B 点， C 是 OB 上的一 点，若将 ABC 沿 AC 翻折得到 AB/C， B/
B/ O
落在 x 轴上，则过 A， C 两点的直线的解析 式是 .
13．若 x
，则 3 x 1
=
1 5 x
2 x4 .
A
E C
14．如图，在 ABC 中， C=90， D、 E
分别是 BC 上的两个三等分点，以 D 为圆心的
24
径
圆过点 E，且交 AB 于点 F，此时 CF 恰好与
⊙D 相切于点 F. 如果 AC= ，那么⊙ D 的半
5
= .
三、解答题 （共 4 题，分值依次为 12 分、 12 分、 12 分、 14 分，满分 50 分）
15．已知，一次函数 y 1 kx （ k是不为 0 的自然数，且是常数）的图象
与两坐标轴所围成的图形的面积为 Sk （即 k=1 时，得 S1， k=2 时，得 S2 ，┅） .
试求 S1 + S2 + S3 + S2006 的值 .
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16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售 . 已知进价
为每千克 5 元，售价为每千克 9 元，当天售不出的食品可以按每千克 3 元的价 格退还给食品厂 . 根据以往销售统计，该商店平均一个月 (按 30 天计算 )中，有
12 天每天可以售出这种食品 100 千克，有 18 天每天只能售出 60 千克 . 食品厂 要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食
品多少千克，才能使每月获得的利润最大 ?最大利润是多少 ?
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C2
17．已知， ?ABC 和?A 1B1C1 均为正三角形， BC
如图 1.
(1)当?A 1B1C1 绕点 D 旋转到 ?A2B2C2 时， 试判断
并证明你的结论 .
和 B1C1 的中点均为 D，
AA 2 与 CC2 的位置关系，
(2)如果当?A1 B1C1 绕点 D 旋转一周，顶点 A 1 和 AC 仅有一个交点，设该
交点为 A3，如图 3. 当 AB=4 时，求多边形 ABDC 3C 的面积 .
A A A
A 1
B
B1 D C 1
图 1
C B
A 2
B 2
D
图 2
C B
B3
D
图 3
A 3
C
C3
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1 kx
2 k k 1 2 k(k 1)
， 0）、 （0， ），
2 2007
= (1
= (
= (1
18．给出一个三位数 . 重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大
的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零） ，再重
排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的
数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零） ，重复以上过程 . 问
重复 2007 次后所得的数是多少？证明你的结论 .
初三数学竞赛参考答案和评分意见
一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分)
1— 8： ACAD BCBC
二、填空题 (每小题 5 分，共 30 分)
9． 30 或 150 10． 0 11． 3 12． y 2 x 10 13． 1 14． 8 3 4 3 3 5
三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、 12 分、 12 分、 14 分，满分 50 分）
15．一次函数 y
所围成的图形的面积为
k
的图象与两坐标轴的交点为（ 1
1 1 1 1 1
Sk .
1 1
k k 1
………… 4 分
∴ S1 + S2 + S3 +
1 1 1
=
2 1 2 2
1 1 1
2 1 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 )
1003
= .
2007
………… 12 分
S
2006
1 1 1 1 1
………… 8 分
2 3 2 3 4
1
3 3 4
1 1 1
3 3 4
2 2006 2007
)
)
1
2006 2007
1 1
2006 2007
16．设该商店每天批进这种食品 x 千克，每月获得的利润为 y元．
（ 1）当 60 x 100时，由题意， 30 天中批进这种食品的成本为 5 30x元，销售
收入为元 9(12x 60 18) ，退货所得为 3 18(x 60) 元，
于是可得 y 9(12x 60 18) 3 18(x 60) 5 30x
2
3
AD DC
CC3 D
即 y 12x 6480 ………… 4 分
∵ y 12x 6480 是一次函数，且 y 随 x 的增大而增大，
∴当 x 100 时， 即每天批进这种食品 100 千克时， 可获得最大利润， 最大利润为 7680
元． ………… 8 分
（2）当 x 100时，由题意，
y 9(12 100 60 18) 3 12(9x 100) 3 18(x 60) 5 30x
化简得 y 60x 13680
∵ y 60x 13680 是一次函数，且
∴当 x 100 时， 即每天批进这种食品
元．
17． AA 2 ⊥CC2 .
y 随 x 的增大而减小，
100 千克时， 可获得最大利润， 最大利润为 7680
………… 12 分
A
………… 2 分
（ 1）在图 2 中，连接 AD、 A 2D、延长 AA 2
交 BC 于 E，交 CC2 于 F，
∵ ADA2=90 - A2DC= CDC2， =
DA 2 DC 2
（等边三角形都相似，相似三角形对应高的比等于相似比）
∴ AA2D∽ CC2D，于是得 A2AD= C2CD ………… 5 分
又因为 AED= CEF，∴ ADE= CFE=90
∴C3C=A 3D= 2sin 60 3，
C3G= 3 sin(90 60 ) ，
∴多边形 ABDC 3C 的面积 = S ABC S
1）得 AC ⊥ CC3，
A
∴AA 2⊥ CC2.
（2）在图 3 中，连接 A 3D，过 C3 作
由题意又得 A 3D ⊥AC，
四边形 A 3CC3D 是矩形 .
………… 8 分
C3G⊥BC 于 G，由（
B 2
B
D
A 2
E
F C2
C
B
B3
G
D
C3
A 3
C
，
不妨设选定的三位数中的最大数字为
P (100x 10 y z) (100z 10 y
………… 12 分
………… 2 分
x ，最小数字为 z ，还有一个数字为 y ，则
x) 99(x z)， ………… 4 分
3
=
4
18．经过
4
2
1 3 9 3
2 = .
2 2 2
2007 步后得到 495 或 0.
现讨论如下：
（ 1） x z 0， P
（2） x z 1， P
0 ，第一步结果 0.
99 ，第一步结果 099,第二步结果 891,第三步结果 792 ,第四步结果
693，第五步结果 954,第六步结果 495.
（ 3） x z 2， P
步结果 954，第五步结果
（4） x z 3， P
果 495.
（ 5） x z 4， P
（ 6） x z 5， P
（ 7） x z 6， P
（ 8） x z 7， P
（ 9） x z 8， P
果 495.
（ 10） x z 9， P
198 ，第一步结果
495.
297 ，第一步结果
396 ，第一步结果 495 ，第一步结果 594 ，第一步结果 693 ，第一步结果 792 ，第一步结果
891 第一步结果
198，第二步结果 792，第三步结果 692，第四
297,第二步结果 693,第三步结果 954 ,第四步结
396, 第二步结果 594,第三步结果 495.
495.
594, 第二步结果 495.
693，第二步结果 594，第三步结果 495.
792 , 第二步结果 693,第三步结果 954,第四步结
891,第二步结果 792 ,第三步结果 693,第四步结
果 954,第五步结果 495.
由以上讨论可知至多 6 步可将一个三位数变为
过 2007 步后将得到 495 或 0.
当 x z 时，得到 0；当 x z 时，得到 495.
分）
495 或 0， 然后就进入循环， 所以经
………… 14 分（讨论一种情况给 1