（通用版）中考数学二轮专题复习专题02《规律探索与猜想》精讲精练（教师版）

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专题二　规律探索与猜想此专题多用数形结合法，通过题目中给出的图形总结规律，用代数量化出结果.此专题有一定的难度.重难点突破　数式规律【例1】按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是________.【解析】首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数满足的规律.【答案】xy=z1.观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2 016个单项式是(　D　)A.2 015x2 015 B.4 029x2 014    C.4 029x2 015  D.4 031x2 0162.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：72→[]=8→[]=2→[]=1，这样对72只需要进行3次操作后变为1，类似地，对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为(　B　)A.3  B.4  C.5  D.63.一组数1，1，2，x，5，y，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数是(　A　)A.8  B.9  C.13  D.154.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(　B　)A.y=2n＋1  B.y=2n＋n   C.y=2n＋1＋n  D.y=2n＋n＋1【方法指导】对于数式规律问题，应先将已知的几个数，分别写成与序号有关的式子，再观察所得式子，找出规律，最后应用规律解决问题.　图形规律【例2】如图，已知∠AOB=80°，在射线OA，OB上分别取点A1，B1，使得OA1=OB1，连接A1B1，在A1B1，B1B上分别取点A2，B2，使得B1A2=B1B2，连接A2B2，……，按此规律下去，设∠B1A2B2=θ1，∠B2A3B3=θ2，……，∠BnAn＋1Bn＋1=θn，则θ10=________.【解析】先用含n的代数式表示∠BnAn＋1Bn＋1，再将n=10代入求解，注意等腰三角形性质的应用.【答案】5.用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是(　C　)A.(2n＋1)个  B.(n2－1)个   C.(n2＋2n)个  D.(5n－2)个6.(重庆中考)观察下列一组图形，其中图①中共有2颗星，图②中共有6颗星，图③中共有11颗星，图④中共有17颗星，……，按此规律，图⑧中星星的颗数是(　C　)A.43颗  B.45颗  C.51颗  D.53颗【方法指导】对于图形递变规律，应先分析已知图形，分别得到n=1，2，3，4时，所求量(角度、线段长、图形个数)与n的关系，再列出关于n的代数式.　坐标规律【例3】一组正方形按如图所示方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，则正方形A2 016B2 016C2 016D2 016的边长是(　D　)A.  B.   C.  D.【解析】易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴===tan30°，∴B2C2=C1D1·tan30°=，∴C2D2=.同理，B3C3=C2D2·tan30°=；由此猜想BnCn=.当n=2 016时，B2 016C2 016=.【答案】D7.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，……，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 025秒时，点P的坐标是(　B　)A.(2 024，0)  B.(2 025，－1)  C.(2 025，1)  D.(2 026，0)【方法指导】求几何图形的边长(周长)：①求出第一次变化前图形的边长(或周长)；②计算第一次、第二次、第三次、第四次(所给出的图形)变化后的边长(或周长)，归纳出第n次变化后的边长(或周长)与变化次数n的关系式；③代入所给图形中的某一个变化次数验证所归纳的关系式.专题二　规律探索与猜想一、选择题1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为(　C　)A.24里  B.12里   C.6里  D.3里2.下列图像都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为(　B　)A.116  B.144  C.145  D.1503.填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律可求出m的值为(　C　)A.180  B.182      C.184  D.1864.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(　D　)A.4  B.5  C.6  D.75.如图，在正方形ABCD中，AB=3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC—CB以每秒2 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是(　A　),A)  ,B) ,C)  ,D)6.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如，在4×4的正方形网格图形中(如图①)，从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处.现有20×20的正方形网格图形(如图②)，则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是(　B　)A.13  B.14  C.15  D.167.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是(　A　)A.4  B.2  C.2  D.08.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是(　A　)A.3  B.4  C.5  D.6二、填空题9.如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第⑦个图案有__19__个黑色棋子.10.观察下列各式：=－；=－；=－；……请利用你所得结论，化简代数式：＋＋＋…＋(n≥3且为整数)，其结果为____.11.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn顶点Bn的横坐标为__2n＋1－2__.12.如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限.△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，)__；翻滚2 017次后AB中点M经过的路径长为__π__,.)三、解答题13.如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6 cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.图①(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE周长是否在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由.图②(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.图③解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE＋DB＋DE=AB＋DE=4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2 cm，∴△BDE的最小周长=CD＋4=2＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CDA=∠CEB，∠CDE=∠CDA＋∠BDE=60°，则∠BDE＋∠CEB=60°，又∠EDB＋∠DEC＋∠CEB＋∠DBE=180°，∴∠DBE=180°－60°－60°=60°，即∠ABE=60°，∠BDE=60°，∴∠DEB可能为直角，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∠DBE=60°，∴∠CEB=30°，则∠BED=90°.∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°.∴DA=CA=4，∴OD=OA－DA=6－4=2，∴t=2÷1=2 s；③当6＜t＜10 s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10 s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由(1)知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE＋∠BDC=60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14 cm，∴t=14÷1=14 s.综上所述，当t=2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形.14.数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BD，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC＋CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC＋CD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图④，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.(2)小华提出：如图⑤，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.解：(1)BC＋CD=AC.理由：如答图①，延长CD至E，使DE=BC，连接AE.∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°－∠ABD－∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB＋∠ACD=90°，∴∠BAD＋∠BCD=180°，∴∠ABC＋∠ADC=180°，∵∠ADC＋∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CD＋DE=CD＋BC，∴BC＋CD=AC；(2)BC＋CD=2AC·cosα.理由：答如图②，延长CD至E，使DE=BC，连接AE，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°－∠ABD－∠ADB=180°－2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB＋∠ACD=2α，∴∠BAD＋∠BCD=180°，∴∠ABC＋∠ADC=180°，∵∠ADC＋∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC·cos∠ACD=AC·cosα，∴CE=2CF=2AC·cosα，∵CE=CD＋DE=CD＋BC，∴BC＋CD=2AC·cosα.