（通用版）中考数学二轮专题复习专题10《解直角三角形或相似的计算与实践》精讲精练（教师版）

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专题十　解直角三角形或相似的计算与实践首先夯实基础，其次加强与其他知识的综合应用，今年中考单独考查相似或三角函数的时候很少，多数把它俩作为解题工具，因此要加强综合训练.重难点突破　锐角三角函数的实际应用【例1】在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度.如图，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求A，C的距离；(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝4 m.∵tan∠ACB＝，∴AC＝＝＝4(m).答：A，C的距离为4 m.(2)在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，AD＝(5＋4)m.∵tan∠ADE＝，∴AE＝AD·tan∠ADE＝(5＋4)×tan50°≈14(m).答：塔高AE约为14 m.   1.如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20 m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×＝10(m)，∴AB＝BC－AC＝10－12≈5.3(m).答：旗杆AB的高度是5.3 m.【方法指导】解决直角三角形的实际应用问题，最重要的是建立数学模型，将其转化为数学问题，其次是牢记特殊角的三角函数值及边角关系.　相似的综合【例2】如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.证明：(1)∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；(2)延长BA，交ED于点M.∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.2.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，交AC于F.(1)如图①，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图②，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.解：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴△ABE≌△DBE(HL)；(2)①过G作GH∥AD交BC于H.∵G是AB中点且GH∥AD，∴H是BD中点，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2；∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG.∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴2NC＝AG.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.【方法指导】首先掌握相似的性质和判定，再结合图形选择正确的判断方法，辅助线的添加是解题关键，添辅助线有一个重要原则是“构造相似三角形”.专题十　解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1.若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　A　)A.3∶2  B.3∶5    C.9∶4  D.4∶92.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为(　A　)A.8.5 m  B.9 m  C.9.5 m  D.10 m3.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(　A　)A.2＋  B.2    C.3＋  D.34.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为(　B　)A.1.25尺  B.57.5尺    C.6.25尺  D.56.5尺5.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(　C　)A.540元  B.1 080元   C.1 620元  D.1 800元6.如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(　A　)A.2∶3  B.3∶2   C.4∶5  D.4∶97.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于(　A　)A.1  B.  C.  D.28.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　B　)A.60海里  B.60海里  C.30海里  D.30海里9.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为(　B　)A.　　 B.     C.   D.随H点位置的变化而变化二、填空题10.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500 m则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) 11.如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点.若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝__3__.12.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__17__.13.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__3__.14.如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为____.三、解答题15.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B，C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100 m.求河的宽度.(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC.设AD＝DC＝x m，则tan30°＝＝，解得x＝50(＋1).答：河的宽度为50(＋1)m.16.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交DC于G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求的值.解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE.在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE；(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾股定理可知：DE＝BG＝.∵sin∠CDE＝＝，∴GF＝.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴＝＝，∴BH＝，GH＝，∴＝.17.【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________.【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________.(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50 cm，BC＝108 cm，CD＝60 cm，且tanB＝tanC＝，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积.解：【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】如答图①，延长BA，DE交于点F，延长BC，ED交于点G，延长AE，CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K.答图①由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20，DH＝16，∴AE＝EH，CD＝DH.在△AEF和△HED中，∵∴△AEF≌△HED(ASA)，∴AF＝DH＝16.同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24.∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上.过点K作KL⊥BC于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为S△FBG＝××BG·BF＝×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720.【实际应用】如答图②，延长BA，CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H.答图②∵tanB＝tanC＝，∴∠B＝∠C，∴EB＝EC.∵BC＝108 cm，且EH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝54 cm.∵tanB＝＝，∴EH＝BH＝×54＝72 cm，在Rt△BHE中，BE＝＝90 cm，∵AB＝50 cm，∴AE＝40 cm，∴＝＝45 cm，∴BE的中点Q在线段AB上.∵CD＝60 cm，∴ED＝30 cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB，CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC·EH＝×108×72＝1 944 cm2.