（通用版）中考数学二轮专题复习专题11《图形的变换与综合实践》精讲精练（教师版）

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专题十一　图形的变换与综合实践掌握三种变换前后形状、大小不变的规律，用心发现问题中隐藏的三种变换.重难点突破　平移变换【例1】如图，将边长为4个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为(　A　)A.12     B.16    C.20     D.24【解析】平移是全等的图形变化，在平移过程中线段的长度和图形中的角度保持不变.【答案】B1.如图，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，那么四边形ABFD的周长是(　C　)A.16 cm　　B.18 cm　　C.20 cm　　D.21 cm2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于(　A　)A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16【方法指导】运用平移前后两个图形全等以及每个点平移的距离相等解决问题. 　折叠变换【例2】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝________.【解析】利用折叠前后图形全等解决问题.先求出DE＝a，EC＝2a.再根据折叠的性质得到PE＝EC＝2a，∠PEF＝∠FEC，PF＝FC.在Rt△PDE中，利用三角函数可推出∠PED＝60°，从而可得∠PEF＝∠FEC＝60°.在Rt△FEC中，利用三角函数可求得FC＝2a，所以FP＝FC＝2a.【答案】2a3.如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处.若AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是____.【方法指导】熟练掌握两个图形翻折前后全等，以及轴对称的性质，结合图形解题.　旋转变换【例3】如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°，得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.求证：(1)△ADA′≌△CDE；(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠A′DE＝90°.根据正方形的性质可得，∠EA′D＝45°，∴∠A′ED＝45°，∴A′D＝DE.在△ADA′和△CDE中，∴△ADA′≌△CDE(SAS)；(2)根据旋转的性质可得，AC＝A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上.∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE＝45°.∵AC＝A′C，CB′＝CD，∴AB′＝A′D.在△AEB′和△A′ED中，∴△AEB′≌△A′ED(AAS).∴AE＝A′E.∴点E也在AA′的垂直平分线上.∴直线CE是线段AA′的垂直平分线.4.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后，再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位长度，得到△CDO.(1)写出点A，C的坐标；(2)求点A与点C之间的距离.解：(1)点A的坐标是(－2，0)，点C的坐标是(1，2)；(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA＋OD＝3，CD＝2.∴AC＝＝＝.【方法指导】熟练掌握两个图形旋转前后全等，以及旋转的性质，再结合图形解题.5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2).(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标.解：(1)如图所示；(2)如图所示，旋转中心的坐标为E；(3)点P的坐标为(－2，0).     专题十一　图形的变换与综合实践 一、选择题1.如图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是由△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(　A　)A.(1)  B.(2)    C.(3)  D.(4)2.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点C的对应点C′的坐标为(　C　)A.  B.(2，0)     C.  D.(3，0)3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′坐标为(　D　)A.(0，－2)  B.(1，－)   C.(2，0)  D.(，－1)4.如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是(　C　)A.4  B.5  C.6  D.85.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变，其中正确的个数为(　B　)A.4  B.3  C.2  D.16.如图，已知直线l的表达式是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点.一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为(　D　)A.3 s或6 s  B.6 s     C.3 s  D.6 s或16 s7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(　C　)A.  B.2－    C.2－  D.4－8.如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A，B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d＝5－x(0≤x≤5)，结论：①AF＝2；②BF＝4；③OA＝5；④OB＝3.则正确结论的序号是(　B　)A.①②③  B.①③   C.①②④  D.③④二、填空题9.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是__10或2或4__.10.如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为____.11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处.若AC＝8，AB＝10，则CD的长为____.12.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B，C，D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0＜n＜180)，如果EF∥AB，那么n的值是__45__.13.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G.连接BB′，CC′，若AD＝7，CG＝4，AB′＝B′G，则＝____.三、解答题14.在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图①中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(画出一个即可)(2)将图②中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.  解：(1)如图所示：(2)如图所示：15.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C′.(1)当B′C′恰好经过点D时(如图①)，求线段CE的长；(2)若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°(如图②)，求△DFG的面积；(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长.解：(1)由折叠得，∠B＝∠B′＝90°，AB＝AB′＝1，BC＝B′C′＝，C′E＝CE，由勾股定理得，B′D＝＝＝，∴DC′＝－.∵∠ADE＝90°，∴∠ADB′＋∠EDC′＝90°.又∵∠EDC′＋∠DEC′＝90°，∴∠ADB′＝∠DEC′.又∠B＝∠C′＝90°，∴△AB′D∽△DC′E.∴＝，即＝，∴CE＝－2；(2)连接AC，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，故∠DAC＝30°.又∠DAE＝22.5°，∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝30°－22.5°＝7.5°，由折叠得，∠B′AE＝∠BAE＝67.5°，∴∠B′AF＝67.5°－22.5°＝45°，∴AF＝AB′＝，∴DF＝－，∵∠DFG＝∠B′FA＝45°，∠D＝90°，∴DF＝DG，∴S△DFG＝×(－)2＝－；(3)如答图，连接AC，AC′，则AC＝AC′＝2，∴点C′的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧；当点E运动到点D时，点C′恰好在CD的延长线上，此时∠CAC′＝60°，∴点C′的运动路径长是＝.   16.已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC.(1)如图①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；(2)如图②，若点P为线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；(3)如图③，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求a∶b及∠AEC的度数.解：(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF，在△APE和△CFE中，∵AP＝CF，∠P ＝∠F，PE＝EF，∴△APE≌△CFE，∴EA＝EC；(2)△ACE是直角三角形，理由如下：∵P为AB的中点，∴PA＝PB.∵PB＝PE，∴PA＝PE，∴∠PAE＝45°.又∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形； (3)如答图，设CE交AB于G.∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP＝PG＝a－b，BG＝a－(2a－2b)＝2b－a，∵PE∥CF，∴＝，即＝，解得：a＝b.∴a∶b＝∶1，作GH⊥AC于H，∵∠CAB＝45°，AG＝2AP＝2(a－b)＝2b－2b，∴HG＝AG＝(2b－2b)＝(2－)b.又∵BG＝2b－a＝(2－)b，∴GH＝GB，∵GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG＝∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG＝∠BCG，∴∠AEC＝∠ACB＝45°.