北师大八下数学 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形

解题技巧专题：共顶点的等腰三角形

——形成精准思维模式，快速解题

类型一　共顶点的等腰直角三角形

1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．

(1)求证：AD＝CE；

(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．

2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.求证：

(1)AF＝AD；

(2)EF＝BD.

类型二　共顶点的等边三角形

3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有(　　)

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

第3题图                          第4题图

4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．

5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.

(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；

(2)试说明AE∥BC的理由；

(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

参考答案与解析

1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.

(2)解：垂直．理由如下：延长AD分别交BC和CE于G和F.由(1)知△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.

2．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AF＝AD.

(2)由(1)知△ABF≌△ACD，AF＝AD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠EAB＝∠EAF＋∠FAB＝90°，∴∠EAF＝∠BAD.∵AE＝AC，AB＝AC，∴AE＝AB，∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴EF＝BD.

3．D

4．120°　解析：设AC与BD交于点H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE.∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.

5．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵

∴△DBC≌△EAC(SAS)．

(2)由(1)知△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.

(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.