2022届河南省高三普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题 (含答案)

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2022年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，若，则的值是

A.-2   B.-1   C.0   D.1

2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为

A.    B.    C.    D.

3.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为

A.-17   B.-15   C.17   D.15

4.“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到

A.6次   B.7次   C.8次   D.9次

5.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是

A.    B.    C.    D.2

6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则

A.    B.    C.    D.以上都有可能

7.已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为

A.1   B.2   C.    D.

8.如图，椭圆：的左、右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为

A.    B.    C.    D.

9.若定义在上的偶函数的图象关于点对称，则下列说法错误的是

A.    B.

C.     D.

10.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引--组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第条斜线上，共有个数

D.在第11条斜线上，最大的数是

11.已知，，，则a，b，c的大小关系为

A.    B.    C.    D.

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.那么函数的值域内元素的个数为

A.2   B.3   C.4   D.5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数的极大值点是-1，则___________.

14.有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为_____________.

15.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_____________.

16.已知三棱锥中，是边长为的等边三角形，，且平面平面，若三棱锥的每个顶点都在表面积为的球面上，则___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角的大小；

（2）若，存在最大值，求正数的取值范围.

18.（12分）

如图，，是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线上，点A，B在直线上，M，N分别是线段AB，AP的中点，且，.

（1）证明：平面；

（2）设平面与平面所成的角为.

现给出下列四个条件：

①；②；③；④.

请你从中选择可以确定值的两个条件，并求之.

19.（12分）

第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，2010年中国女子冰壶队第一次参加冬季奥运会冰壶比赛就获得了铜牌.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负.

某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷.

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲、乙每次投掷冰壶的结果互不影响.

（1）求甲通过测试的概率；

（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列；

（3）请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁的水平较高?

20.（12分）

已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）证明函数存在最小值，并求出函数的最大值.

21.（12分）

已知抛物线：，过点作x轴的垂线交抛物线于G，H两点，且（为坐标原点）.

（1）求p；

（2）过任意作一条不与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，直线AR交抛物线于不同于点A的另一点M，直线BR交抛物线于不同于点B的另一点N.求证：直线MN过定点.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）与相交于不同的两点A，B线段AB的中点为M，点，若，求的参数方程中的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围.

2022年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.1  14.   15.   16.

三、解答题

（一）必考题：共60分。

17.解：

（1）由正弦定理，得.所以.

由余弦定理，得.

又，所以.

（2）由正弦定理，得

，

其中.

因为，要使存在最大值，即有解，

所以，从而.所以正数的取值范围为.

18.解：

（1）在中，∵，，∴.∴.

∵，是两条互相垂直的异面直线，点P，C在直线上，点A，B在直线上，

∴.又，∴平面.

（2）方案一：选择②④可确定的大小.

∵，且，，∴.以C为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

又∵M，N分别是线段AB，AP的中点，∴，.

∵平面，∴是平面的一个法向量.

设平面的法向量为.由得

取，得为平面的一个法向量.

∴.∴.

方案二：选择③④可确定的大小

∵，∴.又，下同方案一.

方案三：选择②③可确定的大小.

∵，∴.又，∴.下同方案一.

（注：①④等价，不能确定；①②可转化为②④，①③可转化为③④）

19.解：（1）若甲通过测试，则甲的得分为4或5，

，

，

所以甲通过测试的概率为.

（2）的可能取值为0，2，3，4，5.

，

，

，

，

.

所以的分布列为

（3）甲的水平较高.理由如下：

乙通过测试的概率为，甲通过测试的概率为0.3.因为0.3>0.256，所以甲通过测试的概率大于乙通过测试的概率.所以甲的水平较高.

20.解：（1）由题意知，

，，.

所以函数单调递增.

又，所以当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意知，，.

所以函数单调递增.

令，则.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

所以，即.

所以，即.

另一方面，，

所以存在，使得，①

即当时，，单调递减，当时，，单调递增.

所以函数存在最小值.

由①式，得.所以（当且仅当，即，时，等号成立）.

所以，即为所求.

21.解：（1）由题意知，.不妨设，代入抛物线的方程可得.

（2）由（1）知，抛物线的方程为.

设，，，，

则直线的斜率为.

所以直线的方程为，即.

同理直线，的方程分别为

，.

由直线过及直线，过可得，.

又直线的方程为，即.

所以直线的方程为.

把代入，得.

由，可得，.所以直线过定点.

（二）选考题：共10分。

22.解：（1）由，得.所以.

将代入，得，即.

所以的直角坐标方程为.

（2）将代入并整理，得.

设A，B对应的参数分别为，，则，是方程的两根.

所以.

因为，所以.

所以.此时.

所以.所以.所以或.

23.解：（1）由题意知，，即.

当时，.解得.

当时，.解得.

当时，.无解.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由题意知，，有解.

当时，.解得.此时有解，则.解得.

当时，.解得.此时有解，则.解得.

当时，.解得.

此时有解，则.

综上所述，实数的取值范围为.