2.2基本不等式常考题精选-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（解析版）

这是一份2.2基本不等式常考题精选-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册（解析版），共15页。试卷主要包含了2基本不等式常考题精选，所以该选项正确；等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2.2基本不等式常考题精选2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．(本题5分)（2021·深圳市光明区高级中学高一月考）已知，，，则的最小值为（    ）A．6 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.2．(本题5分)（2021·黑龙江大庆·铁人中学高一月考）已知，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，可得，再将化为，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B3．(本题5分)（2021·西平县高级中学高一月考）已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】不等式恒成立，转化为，利用基本不等式求实数的取值范围.【详解】因为，所以不等式恒成立，即，当时，即时，等号成立，所以.故选：C4．(本题5分)（2021·济南市章丘区第四中学高一月考）若正实数x，y满足，则的最小值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为，则，又，是正数.所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为9，故选：B.5．(本题5分)（2021·沈阳市第十中学高一月考）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.6．(本题5分)（2021·重庆北碚·西南大学附中高一月考）已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由恒成立可知，，利用基本不等式求最值即可.【详解】∵不等式恒成立，∴，又，∴当且仅当即时取等号，令，则，，∴当且仅当即时取等号，∴当且仅当时取等号，∴.故选：C.7．(本题5分)（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中）若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过分离参数以及齐次式计算将不等式变形为，由此结合基本不等式求解出的取值范围.【详解】由题意对任意，成立，令，，则，因为时，所以，且时取等，则.故选：A.8．(本题5分)（2021·全国）设，则取得最小值时，的值为（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、选择题(本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)9．(本题5分)（2021·黑龙江大庆实验中学高一月考）下列说法正确的有（    ）A．的最小值为2B．函数的最小值为2C．若正数x､y满足，则的最小值为3D．设x､y为实数，若，则的最大值为【答案】CD【分析】A.当时，，所以函数的最小值不可能是2，所以该选项错误；B. 没有实数解，所以等号不能成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误；C.利用基本不等式求出的最小值为3.所以该选项正确；D. 求出，故的最大值为，所以该选项正确．【详解】A. ，当时，，所以函数的最小值不可能是2，所以该选项错误；B. 函数，但是没有实数解，所以等号不能成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误；C.由题得，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3.所以该选项正确；D. ，所以，可得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以该选项正确．故选：CD10．(本题5分)（2021·福建省连城县第一中学高一月考）若，且，则下列结论正确的是（    ）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】AC【分析】由条件，得，结合基本不等式即可判断A；由，即可判断B；由，即可判断C；由，即可判断D.【详解】解：由条件，得，当且仅当，即时，取等号，故A正确；由，得，当且仅当，即时，取等号，故B错误；由，得，当且仅当，即时，取等号，故C正确；由，得，当且仅当，即时，取等号，故D错误.故选：AC.11．(本题5分)（2021·贵州威宁四中）下列结论中，所有正确的结论是（    ）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为1D．若，，，则的最小值为【答案】BC【分析】利用基本不等式求各选项目标式的最值，注意验证等号成立的条件.【详解】A：由，则．又，当且仅当时等号成立，错误；B：，所以可化为，则，当且仅当时等号成立，正确；C：由，，，即，解得，当且仅当时等号成立，正确；D：由，即，即，当且仅当，即，时等号成立，错误.故选：BC．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.12．(本题5分)（2021·全国）下列关于基本不等式的说法正确的是（    ）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数数x，y满足，则的最小值是3【答案】AC【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)13．(本题5分)（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）已知且，则的最小值是___________.【答案】3【分析】构造基本不等式求出最小值.【详解】因为且，所以所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值是3.故答案为：3.14．(本题5分)（2021·沈阳市第一二〇中学高一月考）已知，，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可求得的最小值.【详解】因为，，由基本不等式可得，即，解得（舍）或，当且仅当时，取得最小值.故答案为：.15．(本题5分)（2020·重庆市暨华中学校高一期中）渝北某公司一年预购买某种原料吨，计划每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.为使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的取值为________.【答案】【分析】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值及其对应的的值.【详解】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，则，其中，由基本不等式可得（万元），当且仅当时，即当时，等号成立.故答案为：.16．(本题5分)（2020·上海徐汇·南洋中学高一期中）若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________【答案】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为，所以，由得，因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，所以只需小于等于的最大值，又，当且仅当时，等号成立，所以，则，即实数的取值范围是.故答案为：.17．(本题5分)（2021·郑州市第二高级中学高一月考）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．【答案】2【分析】将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.【详解】因，则，而，当且仅当时取“=”，则，所以实数的最小值为2.故答案为：218．(本题5分)（2021·绥德中学高一月考）已知正实数满足，则的最大值为___________.【答案】【分析】先对进行配凑，再利用均值不等式即可计算作答.【详解】因是正实数，且满足，则有，当且仅当时取“=”，由，且是正实数得，所以当时，的最大值为.故答案为：四、解答题(本大题共5小题,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)19．(本题10分)（2021·福建省同安第一中学高一月考）（1）比较与的大小.（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用作差法求解即可，（2）先利用基本不等式求出的最小值为8，然后解不等式即可【详解】（1）作差得：（i）当时，，故；（ii）当时，，故；（iii）当时，，故.2故，当且仅当，即时，等号成立依题意必有，即，得，所以k的取值范围为20．(本题10分)（2021·郑州市第二高级中学高一月考）已知，.（1）若，求的最大值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）2；（2）．【分析】（1）由，得，利用基本不等式即可得出答案；（2），结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：（1）因为，，依题意得，令，则，即，又，所以，即，从而，由及，得，，故当，时，的最大值为2.（2）由题意得，，且，则，当且仅当，即时，有最小值．21．(本题12分)（2021·江苏广陵·扬州中学高一月考）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，取到最小值-2.（1）请你模仿小明的解法，研究，上的最小值；（2）求出当时，，的最小值.【答案】（1）-3；（2）.【分析】（1）根据小明解法，利用均值不等式求解；（2）转化条件，应用均值不等式求解.【详解】（1）由，知，当且仅当时，取到最小值-3；（2）由，，知；当且仅当时，取到最小值.22．(本题14分)（2020·江西景德镇一中高一期中）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.【答案】33【分析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设，当时，，可得的最小值为 ，最大值为，由题意可得，即为，则 ；当时，，可得的最小值为，最大值为，由题意可得，即为，则．当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，由题意可得，即为，则，由，可得无最大值．综上可得的最大值为．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.23．(本题14分)（2021·吉林白城一中高一月考）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?【答案】当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.【分析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，则根据题意可得：，再利用基本不等式求最值即可.【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为，可知池底总造价为：；池壁总造价为：；沼气池盖子的造价为3000元设沼气池总造价为y元，且，由题可得：，当且仅当，即时，等号成立.所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元.【点睛】本题考查基本不等式在求函数最值中的应用，解题的关键是认真审题，列出函数式，再利用基本不等式求最值，考查学生的分析审题能力与运算求解能力，属于中档题