第12练 对数运算和对数函数-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)(解析版)

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第12练 对数运算和对数函数                                                                                                                                                                        一．选择题1．计算：　　A．1 B．4 C．5 D．7【解析】原式．故选：．2．已知，则的值为　　A．1 B． C． D．【解析】，，．．故选：．3．已知实数，，分别满足，，，那么　　A． B． C． D．【解析】，，在同一坐标系内画出函数，，，的图象．可知．故选：．4．某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的时，至少需要经过该装置的次数为　　（参考数据：A．13 B．14 C．15 D．16【解析】设至少需要经过该装置的次数为，则，所以，故取14．故选：．5．某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆　　（参考数据：，，．A．2021年 B．2022年 C．2023年 D．2024年【解析】设到第年，该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆，由题意得，，则，所以．故选：．6．已知函数满足，则，当时，，则的值为　　A． B． C． D．【解析】，，，，，，故选：． 7．已知函数，则　　A．在内单调递减 B．是偶函数 C．的图像关于点中心对称 D．的最大值为2【解析】，可知，即，因为在上不单调，故选项错误；因为定义域为，不关于原点对称，故选项错误；对于选项，，故选项错误；对于选项，设，当时，最大为4，故的最大值为（2），故选项正确．故选：．8．设，则　　A． B． C．， D．，【解析】由得：，，，，得：，，，，故选：．9．函数为对数函数，则等于　　A．3 B． C． D．【解析】函数为对数函数，，解得，，．故选：．10．函数的定义域是　　A． B． C． D．，【解析】要使原函数有意义，则，即．函数的定义域是，．故选：．11．函数的定义域为　　A． B． C． D．，【解析】由题意可知，解得，所以函数的定义域为，，故选：．12．函数的定义域是　　A． B． C．，， D．【解析】函数中，令，解得且，所以的定义域是，，．故选：．13．函数的值域是　　A．， B． C． D．【解析】令，则，，根据对数函数性质，函数的值域是：，故选：．14．若定义运算，则函数的值域是　　A． B．， C．， D．，【解析】由题意得，当时函数为，因为在，为增函数，所以，，当时函数为，因为在为减函数，所以，由以上可得，，所以函数的值域为，，故选：．15．设，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解析】在上递增，，而，故，故选：． 16．若，，，则　　A． B． C． D．【解析】，，，，，，故选：．17．若，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解析】，，，则．故选：．18．已知，，，则，，的大小为　　A． B． C． D．【解析】，，，，，，，．故选：．19．函数的大致图象是　　A． B． C． D．【解析】，函数是偶函数，故函数的图象关于轴对称，故排除选项；当时，，故排除；故选：．20．在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是　　A． B． C． D．【解析】①当时，函数 是减函数，图象过点，函数是减函数，错误，②当时，函数 是增函数，图象过点，函数是减函数，图象与轴交点的横坐标在之间，错误，正确，故选：．21．函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　A． B． C． D．【解析】函数的对称轴为，且恒过定点，观察选项可知，选项可能符合，若选，则由图象可知，此时，函数单调递减，且恒过定点，符合题意．故选：．22．设与均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为　　A．6 B．8 C．10 D．12【解析】由图象知函数为增函数，当时，，即，即，得，当时，，即，得，则，故选：．23．函数且的图象恒过定点，则点的坐标　　A． B． C． D．【解析】对于函数且，令，求得，，可得它的图象恒过定点，故选：．24．已知函数且恒过定点，，且满足，其中，是正实数，则的最小值　　A．4 B． C．9 D．【解析】函数且，令得，，此时，定点，，，又，是正实数，，当且仅当即时，等号成立，故选：．25．已知函数，若，则的大小关系　　A． B． C． D．【解析】函数，则可分别看作，（a），，（b），，（c） 与原点连线的斜率，如图：当时，有，故选：．26．定义在上的偶函数在，上递增，，则满足的的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】由题意可得偶函数在，上递增，在，上递减，且．故由可得①，或②．由①可得，，解得．由②可得，，解得．综上可得，不等式的解集为，或，故选：．27．已知，其中，则下列不等式成立的是　　A． B． C． D．【解析】函数，其中的简图如下：由图知．故选：．28．函数的单调减区间为　　A． B．， C． D．，【解析】函数的定义域为：，设，它的对称轴为：，在上是增函数，函数是减函数，所以函数的单调减区间为：故选：．29．已知，，满足，则下列各选项正确的是　　A． B． C． D．【解析】依题意，因为为上的增函数，所以；因为为上的增函数，且，所以；满足，所以，所以，所以，又因为为的增函数，所以，综上：．故选：．30．当时，，那么的取值范围是　　A． B． C． D．，4 【解析】当时，要使恒成立，则需解得：．故选：．31．已知函数，若实数满足，则的取值范围　　A．， B． C．， D．【解析】函数，故函数在上单调递增，且为偶函数，若实数满足，即（1），（1），，即，故，故选：．32．已知定义在上的函数为实数）为偶函数，记，，，则　　A． B． C． D．【解析】定义在上的函数为实数）为偶函数，（1），即，解得，在单调递增，在单调递减，，，，，即故选：．二．填空题33．函数，的值域为　     　．【解析】，，设，，则，此二次函数开口向上，对称轴为，，当时，即时，，当时，即时，即，所以的值域为，．故答案为：，．34．函数在，上最大值与最小值的差值为2，则实数的值是　     ．【解析】①当时，函数在，上单调递减，所以，解得；②当时，函数在，上单调递增，所以，解得．故实数的值是或．故答案为：或．35．若函数的值域为，则实数的取值范围是 　         ．【解析】函数的值域为，方程的判别式△，，或，实数的取值范围是，，．故答案为：，，．36．函数的值域是，则实数的取值范围是　   　．【解析】函数的值域是，所以的值域包含；由于，当且仅当时，即时，等号成立；所以；所以．故答案为：，．37．若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．【解析】若不等式恒成立，则在，恒成立，而在，递增，故的最小值是，故，故答案为：．38．若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则　　．【解析】，当时，对数函数是减函数，函数在区间，上的最大值是，最小值是，，，，当时，对数函数是增函数，函数在区间，上的最小值是，最大值是，，，，故答案为：或．39．若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是　　．【解析】有题意可得：，在定义域上是单调增函数，且函数在区间，上是增函数，在，上是增函数，，，当时，函数的定义域为，，，当时，定义域为，，故答案为：40．函数的递增区间为　  　．【解析】由，解得或，则函数的定义域是或，令，则函数在单调递增，在定义域上单调递增，函数的单调递增区间是，故答案为：41．已知函数，下列命题中所有正确的序号是　     ．（1）函数的定义域和值域均为；（2）函数在单调递减，在单调递增；（3）函数的图象关于轴对称；（4）函数为偶函数；（5）若（a）则或．【解析】函数，故有，，故定义域为，故（1）不正确．由函数在单调递减，在单调递增，可得函数在单调递减，在单调递增，故（2）正确．由于函数的 定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故（3）不正确．由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故（4）正确．由（a），则有，故， 或，或，故（5）正确，故答案为（2）（4）（5）．42．函数在，上是增函数，则的取值范围是　  　．【解析】依题意函数在，上是单调递增函数，所以应有，解得，此即为实数的取值范围．故答案为43．函数的单调递减区间是　   　．【解析】函数的定义域是，令的减区间为，，函数的单调减区间为．答案，44．设且，若函数的反函数的图像过点，则　　．【解析】由题意得，函数的反函数的图像过点，所以，所以．故答案为：． 三．解答题45．已知函数且的图象过点，（1）求的值．（2）若，求的解析式及定义域．（3）在（2）的条件下，求的单调减区间．【解析】（1）函数且的图象过点，可得，解得；（2），由，且，解得，可得的定义域为；（3），由在递增，递减，则在递增，可得函数的减区间为．46．已知对数函数且的图象过点．（1）求的解析式；（2）已知，求的取值范围．【解析】（1）对数函数且的图象过点，，，故．（2）由于函数是定义域内的增函数，，，且，，解得，即的取值范围为．47．已知：函数且（Ⅰ）求定义域；（Ⅱ）判断的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）求使的的解集．【解析】（Ⅰ）由题意得，即．的定义域为；（Ⅱ）对任意的，，是奇函数；（Ⅲ），即，当时，可得，即．当时，可得，即．48．已知函数，且．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）若，解关于的不等式．【解析】（1）函数，且，，，即函数的定义域，（2），，即的奇函数，（3），，当时，，即，因为：定义域所以：，解关于的不等式．，即，，所以关于的不等式解集为：，．49．已知函数在区间上的最大值为2．（1）求的值；（2）如果，求使成立的的取值范围．【解析】（1）函数在区间上是单调函数，当时，函数为增函数，最大值为，故．当时，函数为减函数，最大值为，故．综上可得，或．（2），不等式，即，，即，即，解得，故的范围为，．50．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．【解析】（1）函数的图象关于原点对称，，即，，恒成立，即，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故；（2）时，恒成立，即，在恒成立，由于是减函数，故当，函数取到最大值，，即实数的取值范围是；（3）在，上是增函数，在，上是减函数，只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得，即当时关于的方程在，上有解