数学选修2-11.2充分条件与必要条件同步训练题

这是一份数学选修2-11.2充分条件与必要条件同步训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；
当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C.
2．m＝eq \r(3)是直线eq \r(3)x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由圆心(1,0)到直线eq \r(3)x－y＋m＝0距离d＝eq \f(|\r(3)＋m|,2)＝eq \r(3)得，m＝eq \r(3)或－3eq \r(3)，故选A.
3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 因为A∪B＝C，故“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．
4．“lgx>lgy”是“eq \r(x)A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] lgx>lgy⇒x>y>0⇒eq \r(x)>eq \r(y)；而x＝2，y＝0时，eq \r(x)>eq \r(y) eq \(⇒,/) lgx>lgy，故“lgx>lgy”是“eq \r(x)>eq \r(y)”的充分不必要条件．
5．设命题甲为：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1∵0∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.
6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.
二、填空题
7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．
8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．
[答案] {－5,5，－10}
[解析] ①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；
③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.
三、解答题
9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？
[解析] 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋32－4m1－m>0,\f(1－m,m)<0))，
∴m>1或m<0，
即所求充要条件是m>1或m<0.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．
于是eq \f(an＋1,an)＝eq \f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
∵p≠0且p≠1，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，
∵{an}为等比数列，
∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(an＋1,an)＝p，即eq \f(pp－1,p＋q)＝p，
∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.
综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
能力提升
一、选择题
1．设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则02．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|
在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C.
3．下列命题中的真命题有( )
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．
由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．
由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>csAcsB，
∴cs(A＋B)<0，即csC>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq \f(π,2)，
∴cs(A＋B)<0，∴csAcsB∵csA>0，csB>0，∴tanAtanB>1，故④真．
4．“α＝2kπ＋β，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2kπ＋β，k∈Z时，sinα＝sinβ；反之，由sinα＝sinβ可得，α＝2kπ＋β，k∈Z或α＝(2k＋1)π－β，k∈Z，所以，“α＝2kπ＋β，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件，选A.
二、填空题
5．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的__________________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p eq \(⇒,/) q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．
6．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．
[答案] b≥4
[解析] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－b x≥0，,－xx－b x<0.))
若b≤0，则f(x)在[0,2]上为增函数，∴b>0，
∵f(x)在[0,2]上为减函数，∴eq \f(b,2)≥2，∴b≥4.
三、解答题
7．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解析] ①a＝0时适合．
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，
则a<0；若方程有两个负的实根，
则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>0,－\f(2,a)<0,Δ＝4－4a≥0))，解得0综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
[点评] ①a＝0的情况不要忽视；②若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．
8．已知p：eq \f(x＋2,10－x)≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m<0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] 由eq \f(x＋2,10－x)≥0，解得－2≤x<10，令A＝{x|－2≤x<10}．由x2－2x＋1－m2≤0可得[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，而m<0，∴1＋m≤x≤1－m，令B＝{x|1＋m≤x≤1－m}．∵p是q的必要条件，∴q⇒p成立，即B⊆A.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m≥－2,1－m<10,m<0))，解得－3≤m<0.