高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系达标测试

命题

基础巩固

一、选择题

1．下列语句中命题的个数为(　　)

①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；

④5的平方是20.

A．0　　　　　 B．1

C．2 D．3

[答案]　C

[解析]　①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．

2．若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数(　　)

A．不是命题

B．是真命题

C．是假命题

D．是命题，但真假与x的取值有关

[答案]　B

[解析]　当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．

3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α

[答案]　D

[解析]　验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.

4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(　　)

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

[答案]　B

[解析]　①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.

5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)

A. a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

[答案]　B

[解析]　A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)

6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)

A．这个四边形的对角线互相平分

B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直

D．这个四边形是平行四边形

[答案]　C

[解析]　该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．

二、填空题

7．下面是关于四棱柱的四个命题：

①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．

其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．

[答案]　②④

[解析]　②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．

8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；

④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．

其中真命题的个数是__________________．

[答案]　0

[解析]　∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；

∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；

∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；

∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．

综上所述，真命题的个数为0.

三、解答题

9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．

(1)末位是0的整数能被5整除；

(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；

(3)余弦函数是周期函数吗？

(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．

[解析]　(1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．

10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)对角线相等的四棱柱是长方体；

(2)整数的平方是非负整数；

(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．

[解析]　(1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．

(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．

(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．

能力提升

一、选择题

1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)

A．红豆生南国 B．春来发几枝

C．愿君多采撷 D．此物最相思

[答案]　A

[解析]　“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.

2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②如果α∥β，c⊂α，则c∥β；

③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.

其中真命题个数是(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案]　C

[解析]　①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c⊂α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；由c∥γ，c⊂β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．

3．下面的命题中是真命题的是(　　)

A．y＝sin2x的最小正周期为2π

B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0

C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

D．在△ABC中，若·>0，则△ABC为锐角三角形

[答案]　B

[解析]　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；

当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；

当·>0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．

4．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定向量b和正数μ，总存在单位向量c，使a＝λb＋μc.

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.

上述命题中的向量b、c和a在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案]　C

[解析]　对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e与b是不共线单位向量，则存在实数λ，y使a＝λb＋ye，若y>0，则取μ＝y，c＝e，若y<0，则取μ＝－y，c＝－e，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a|，|λb|，|μc|为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b和c就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b与c垂直，此时必须a的模为才成立．

二、填空题

5．给出下列四个命题：

①若a>b>0，则>；

②若a>b>0，则a－>b－；

③若a>b>0，则>；

④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为9.

其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案]　②④

[解析]　①在a>b>0两端同乘以可得>，故①错；

②由于－＝(a－b)>0，

故②正确；

③由于－＝<0，即<，

故③错；

④由＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，故④正确．

6．已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；②若a2－b>0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；③当x＝a时，f(x)有最小值b－a2；④当a2－b≤0时，f(x)有最小值b－a2.其中正确命题的序号是__________________．

[答案]　①④

[解析]　由题意知f(x)＝|x2－2ax＋b|＝|(x－a)2＋b－a2|.若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，可知f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a2－b≤0的条件下，才可能在x＝a时，f(x)取最小值b－a2，所以③错误，④正确．

三、解答题

7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．

(1)ac>bc⇒a>b；

(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；

(3)方程x2－2x－3＝0的解为x＝3或x＝－1.

[解析]　(1)若ac>bc，则a>b.

(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.

8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．

[解析]　由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，

即x2－2x－3≥0.

解得x≤－1或x≥3.

故命题p：x≤－1或x≥3.

又命题q：0<x<4，且命题p为真，命题q为假，

则，

所以x≤－1或x≥4.

所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．