高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案，共6页。

我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置．
[问题] 怎样才能刻画空间中点的位置呢？



知识点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz；
(2)相关概念：eq \a\vs4\al(O)叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
eq \a\vs4\al()
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分．
知识点二 空间向量的坐标
1．空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(―→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(―→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(―→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \(OA,\s\up6(―→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中eq \a\vs4\al(x)叫做点A的横坐标，eq \a\vs4\al(y)叫做点A的纵坐标，eq \a\vs4\al(z)叫做点A的竖坐标．
2．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(―→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
1．空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)．
2．空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量eq \(OA,\s\up6(―→))的坐标也为(x，y，z)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面．( )
(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．( )
(3)空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( )
(4)空间直角坐标系中，点(1，eq \r(3)，2)关于Oyz平面的对称点为(－1，eq \r(3)，2)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．
答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)
3．在空间坐标系中，点A(2，－1，2)在坐标平面Oxy内的投影坐标为________．
答案：(2，－1，0)
[例1] (1)点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是________，关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是________；
(2)如图所示，四棱锥D­OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．
(1)[解析] 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(－2，－1，－3)；点P(－2，1，3)关于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(－2，1，－3)．
[答案] (－2，－1，－3) (－2，1，－3)
(2)[解] 法一：点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)．
法二：eq \(OM,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)[eq \(OD,\s\up6(―→))－(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))]
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→))，所以点M的坐标为(2，3，1)．
eq \a\vs4\al()
1．求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于平面Oyz的对称点是(－x，y，z)．
2．求空间一点P的坐标方法有两个：(1)利用点在坐标轴上的投影求解；(2)利用单位正交基底表示向量eq \(OP,\s\up6(―→))，eq \(OP,\s\up6(―→))的坐标就是点P的坐标．
[跟踪训练]
如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________．
解析：由题意知PO＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(PA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)AB))\s\up12(2))＝eq \r(14)，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－eq \f(\r(2),2)，0，eq \f(\r(14),2)，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(14),2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(14),2)))
[例2] 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量eq \(MN,\s\up6(―→))的坐标．
[解] 因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设eq \(AB,\s\up6(―→))＝i，eq \(AD,\s\up6(―→))＝j，eq \(AP,\s\up6(―→))＝k.
因为eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(MA,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(PN,\s\up6(―→))＝eq \(MA,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(―→))＝eq \(MA,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→)))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(－eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)j＋eq \f(1,2)k，所以eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).
eq \a\vs4\al()
用坐标表示空间向量的步骤

[跟踪训练]
在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝eq \f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(OA,\s\up6(―→))，\f(1,2)\(OB,\s\up6(―→))，\f(1,4)\(OO1,\s\up6(―→))))为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求eq \(DO,\s\up6(―→))，eq \(A1B,\s\up6(―→))的坐标．
解：因为eq \(DO,\s\up6(―→))＝－eq \(OD,\s\up6(―→))＝－(eq \(OO1,\s\up6(―→))＋eq \(O1D,\s\up6(―→)))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OO1,\s\up6(―→))＋\f(1,2)（\(OA,\s\up6(―→))＋\(OB,\s\up6(―→))）))
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OO1,\s\up6(―→))，
所以eq \(DO,\s\up6(―→))＝(－2，－1，－4)．
因为eq \(A1B,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA1,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→)))
＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(AA1,\s\up6(―→))，所以eq \(A1B,\s\up6(―→))＝(－4，2，－4).
[例3] 定义向量p在基底{a，b，c}下的坐标如下：若p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫做p在基底{a，b，c}下的坐标．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．
[解析] 由条件知p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
∵a，b，c不共面，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝－1，))
即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))，同理可求得p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)) (1，1，1)
eq \a\vs4\al()
1．同一向量在不同基底下对应的坐标不同，当空间一个基底确定之后，该向量的坐标是唯一确定的，在没有特殊说明情况下，求某向量的坐标就认为它的基底是单位正交基{i，j，k}．
2．解答本例问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解．其实质仍然是空间向量基本定理的应用．
[跟踪训练]
空间四面体OABC中，eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq \(MN,\s\up6(―→))在基底{a，b，c}下的坐标为________．
解析：∵点M在OA上，OM＝2MA，∴OM＝eq \f(2,3)OA，
∴eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(MO,\s\up6(―→))＋eq \(ON,\s\up6(―→))＝－eq \(OM,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,2)，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,2)，\f(1,2)))
1．点P(3，0，2)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上 B．Oxy面上
C．Ozx面上 D．Oyz面上
解析：选C 因为P点的y坐标为0，其他坐标不为0，故点P(3，0，2)在Ozx面上．
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \r(14)
答案：A
3．点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为________；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________．
解析：点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1)．
答案：(1，1，－1) (－1，－1，1)
4.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD的中点，AB＝1，则向量eq \(C1M,\s\up6(―→))的坐标为________．
解析：设{eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AD,\s\up6(―→))，eq \(AA1,\s\up6(―→))}为所建立空间直角坐标系的一个单位正交基底，∵eq \(C1M,\s\up6(―→))＝eq \(C1C,\s\up6(―→))＋eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(AM,\s\up6(―→))
＝－eq \(CC1,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))
＝－eq \(AA1,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))
＝－eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AA1,\s\up6(―→))，
∴eq \(C1M,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)，－1))
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置
数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示
数学抽象、直观想象
求空间点的坐标
求空间向量的坐标
向量坐标的广义理解