高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案,共6页。
我们知道,在直线上建立数轴后,就可以用一个数来刻画点在直线上的位置;在平面内建立平面直角坐标系之后,就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置.
[问题] 怎样才能刻画空间中点的位置呢?
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz;
(2)相关概念:eq \a\vs4\al(O)叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
eq \a\vs4\al()
画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°,所以三个坐标平面把空间分成八个部分.
知识点二 空间向量的坐标
1.空间点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量eq \(OA,\s\up6(―→)),且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(―→))唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使eq \(OA,\s\up6(―→))=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量eq \(OA,\s\up6(―→))对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中eq \a\vs4\al(x)叫做点A的横坐标,eq \a\vs4\al(y)叫做点A的纵坐标,eq \a\vs4\al(z)叫做点A的竖坐标.
2.空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作eq \(OA,\s\up6(―→))=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).
1.空间直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有何特征?
提示:x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(x,0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,y,0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).
2.空间向量的坐标和点的坐标有什么关系?
提示:点A在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),那么向量eq \(OA,\s\up6(―→))的坐标也为(x,y,z).
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在空间中,过x轴,y轴的平面叫做Oxy平面.( )
(2)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式.( )
(3)空间直角坐标系中,在Ozx平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式.( )
(4)空间直角坐标系中,点(1,eq \r(3),2)关于Oyz平面的对称点为(-1,eq \r(3),2).( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐标分别是________.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
3.在空间坐标系中,点A(2,-1,2)在坐标平面Oxy内的投影坐标为________.
答案:(2,-1,0)
[例1] (1)点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的坐标是________,关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是________;
(2)如图所示,四棱锥DOABC中,建立空间直角坐标系Oxyz,若OD=2,OA=4,OC=6,M是BD的中点,求点M的坐标.
(1)[解析] 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数,即(-2,-1,-3);点P(-2,1,3)关于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,即(-2,1,-3).
[答案] (-2,-1,-3) (-2,1,-3)
(2)[解] 法一:点M在x轴,y轴,z轴上的射影分别为M1,M2,M3,它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1,所以点M的坐标是(2,3,1).
法二:eq \(OM,\s\up6(―→))=eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(AB,\s\up6(―→))+eq \(BM,\s\up6(―→))=eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(OC,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(―→))=eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(OC,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(―→))-eq \(OB,\s\up6(―→)))=eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(OC,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)[eq \(OD,\s\up6(―→))-(eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(OC,\s\up6(―→)))]
=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(―→)),所以点M的坐标为(2,3,1).
eq \a\vs4\al()
1.求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称,谁不变”,如点(x,y,z)关于y轴的对称点为(-x,y,-z),关于平面Oyz的对称点是(-x,y,z).
2.求空间一点P的坐标方法有两个:(1)利用点在坐标轴上的投影求解;(2)利用单位正交基底表示向量eq \(OP,\s\up6(―→)),eq \(OP,\s\up6(―→))的坐标就是点P的坐标.
[跟踪训练]
如图所示的空间直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,AB=2,PA=4,则PD的中点M的坐标为________.
解析:由题意知PO=eq \r(PA2-OA2)=eq \r(PA2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)AB))\s\up12(2))=eq \r(14),点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1,O,M2,它们在坐标轴上的坐标分别为-eq \f(\r(2),2),0,eq \f(\r(14),2),所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2),0,\f(\r(14),2))).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2),0,\f(\r(14),2)))
[例2] 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,求向量eq \(MN,\s\up6(―→))的坐标.
[解] 因为PA=AD=AB=1,所以可设eq \(AB,\s\up6(―→))=i,eq \(AD,\s\up6(―→))=j,eq \(AP,\s\up6(―→))=k.
因为eq \(MN,\s\up6(―→))=eq \(MA,\s\up6(―→))+eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \(PN,\s\up6(―→))=eq \(MA,\s\up6(―→))+eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(―→))=eq \(MA,\s\up6(―→))+eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(―→))+eq \(AD,\s\up6(―→))+eq \(DC,\s\up6(―→)))=-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))+eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)(-eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \(AD,\s\up6(―→))+eq \(AB,\s\up6(―→)))=eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))=eq \f(1,2)j+eq \f(1,2)k,所以eq \(MN,\s\up6(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2),\f(1,2))).
eq \a\vs4\al()
用坐标表示空间向量的步骤
[跟踪训练]
在直三棱柱ABOA1B1O1中,∠AOB=eq \f(π,2),AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(OA,\s\up6(―→)),\f(1,2)\(OB,\s\up6(―→)),\f(1,4)\(OO1,\s\up6(―→))))为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,求eq \(DO,\s\up6(―→)),eq \(A1B,\s\up6(―→))的坐标.
解:因为eq \(DO,\s\up6(―→))=-eq \(OD,\s\up6(―→))=-(eq \(OO1,\s\up6(―→))+eq \(O1D,\s\up6(―→)))
=-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OO1,\s\up6(―→))+\f(1,2)(\(OA,\s\up6(―→))+\(OB,\s\up6(―→)))))
=-eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))-eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(―→))-eq \(OO1,\s\up6(―→)),
所以eq \(DO,\s\up6(―→))=(-2,-1,-4).
因为eq \(A1B,\s\up6(―→))=eq \(OB,\s\up6(―→))-eq \(OA1,\s\up6(―→))=eq \(OB,\s\up6(―→))-(eq \(OA,\s\up6(―→))+eq \(AA1,\s\up6(―→)))
=eq \(OB,\s\up6(―→))-eq \(OA,\s\up6(―→))-eq \(AA1,\s\up6(―→)),所以eq \(A1B,\s\up6(―→))=(-4,2,-4).
[例3] 定义向量p在基底{a,b,c}下的坐标如下:若p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫做p在基底{a,b,c}下的坐标.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为________,在基底{2a,b,-c}下的坐标为________.
[解析] 由条件知p=2a+b-c.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
∵a,b,c不共面,
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+y=2,,x-y=1,,z=-1,))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(3,2),,y=\f(1,2),,z=-1,))
即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),\f(1,2),-1)),同理可求得p在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1).
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),\f(1,2),-1)) (1,1,1)
eq \a\vs4\al()
1.同一向量在不同基底下对应的坐标不同,当空间一个基底确定之后,该向量的坐标是唯一确定的,在没有特殊说明情况下,求某向量的坐标就认为它的基底是单位正交基{i,j,k}.
2.解答本例问题的关键是用所给的基底表示向量,根据新定义的向量的坐标求解.其实质仍然是空间向量基本定理的应用.
[跟踪训练]
空间四面体OABC中,eq \(OA,\s\up6(―→))=a,eq \(OB,\s\up6(―→))=b,eq \(OC,\s\up6(―→))=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则eq \(MN,\s\up6(―→))在基底{a,b,c}下的坐标为________.
解析:∵点M在OA上,OM=2MA,∴OM=eq \f(2,3)OA,
∴eq \(MN,\s\up6(―→))=eq \(MO,\s\up6(―→))+eq \(ON,\s\up6(―→))=-eq \(OM,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))+eq \(OC,\s\up6(―→)))=-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(1,2),\f(1,2))).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3),\f(1,2),\f(1,2)))
1.点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A.y轴上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
解析:选C 因为P点的y坐标为0,其他坐标不为0,故点P(3,0,2)在Ozx面上.
2.在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到平面Oyz的距离是( )
A.1 B.2
C.3 D.eq \r(14)
答案:A
3.点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为________;点P关于z轴的对称点P2的坐标为________.
解析:点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,1,-1),点P关于z轴的对称点P2的坐标为(-1,-1,1).
答案:(1,1,-1) (-1,-1,1)
4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AD的中点,AB=1,则向量eq \(C1M,\s\up6(―→))的坐标为________.
解析:设{eq \(AB,\s\up6(―→)),eq \(AD,\s\up6(―→)),eq \(AA1,\s\up6(―→))}为所建立空间直角坐标系的一个单位正交基底,∵eq \(C1M,\s\up6(―→))=eq \(C1C,\s\up6(―→))+eq \(CA,\s\up6(―→))+eq \(AM,\s\up6(―→))
=-eq \(CC1,\s\up6(―→))-eq \(AC,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))
=-eq \(AA1,\s\up6(―→))-eq \(AB,\s\up6(―→))-eq \(AD,\s\up6(―→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))
=-eq \(AB,\s\up6(―→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))-eq \(AA1,\s\up6(―→)),
∴eq \(C1M,\s\up6(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,-\f(1,2),-1)).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,-\f(1,2),-1))
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置
数学抽象、直观想象
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示
数学抽象、直观想象
求空间点的坐标
求空间向量的坐标
向量坐标的广义理解
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