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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案及答案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案及答案，共10页。
我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．
[问题] (1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？
(2)类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
知识点一 空间向量的夹角
1．如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
1．当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
提示：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
2．若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？
提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
3．〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？
提示：〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉；
(2)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(C′A′,\s\up6(―→))〉；
(3)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′D′,\s\up6(―→))〉．
解：(1)∵eq \(A′C′,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，∴〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))〉．
又∵∠CAB＝45°，∴〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝45°.
(2)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(C′A′,\s\up6(―→))〉＝180°－〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝180°－45°＝135°.
(3)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′D′,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AD,\s\up6(―→))〉＝90°.
知识点二 空间向量的数量积
1．数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2．数量积的性质
(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；
(2)a·a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2＝a2；
(3)a·e＝|a|cs〈a，e〉(其中e为单位向量)；
(4)若a，b为非零向量，则cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
3．数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
1．向量的数量积运算是否满足结合律？
提示：不满足．
2．对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b＝\f(k,a)))？提示：不能．向量没有除法运算．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量的数量积为0.( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．
解析：cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝________，eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(B1C,\s\up6(―→))＝________．
解析：如图，eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝eq \(A1B1,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝|eq \(A1B1,\s\up6(―→))|·|eq \(A1C1,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(A1B1,\s\up6(―→))，eq \(A1C1,\s\up6(―→))〉
＝a·eq \r(2)acs 45°＝a2.
eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(B1C,\s\up6(―→))＝eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(A1D,\s\up6(―→))＝|eq \(A1B,\s\up6(―→))|·|eq \(A1D,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(A1B,\s\up6(―→))，eq \(A1D,\s\up6(―→))〉＝eq \r(2)a×eq \r(2)a×cs 60°＝a2.
答案：a2 a2
知识点三 投影向量及直线与平面所成的角
1．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，
则向量eq \(A′B′,\s\up6(―→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
2．直线与平面所成的角
如图③向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|).( )
(2)向量a在直线l上的投影是一个数量．( )
(3)向量a在平面β上的投影是一个向量．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2. 如图所示，直线l⊥平面α，若m，n⊂α且向量i，j，k分别是直线l，m，n的方向向量，则i·j＝________，i·k＝________．
答案：0 0
[例1] (链接教科书第7页例2)
已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求：
(1)eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))；
(2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→)))．
[解] 在正四面体OABC中，|eq \(OA,\s\up6(―→))|＝|eq \(OB,\s\up6(―→))|＝|eq \(OC,\s\up6(―→))|＝1.
〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))〉＝60°.
(1)eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝|eq \(OA,\s\up6(―→))||eq \(OB,\s\up6(―→))|cs∠AOB＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2).
(2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→)))
＝(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝eq \(OA,\s\up6(―→))2＋2eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))2－2eq \(OB,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))
＝12＋2×1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°＋12－2×1×1×cs 60°
＝1＋1－1＋1－1
＝1.
[母题探究]
(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值：
(1)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))；(2)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))；(3)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→)).
解：(1)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))||eq \(AO,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(AO,\s\up6(―→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))||eq \(CB,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(CB,\s\up6(―→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
eq \a\vs4\al()
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
[跟踪训练]
已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
[例2] (链接教科书第8页练习1题)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝eq \r(2)，BC＝2，∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，∴eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))．
∵AA1＝eq \r(2)，∴A1C＝2.
∵eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(A1C,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))·(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))|2＝1，
∴cs〈eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(A1C,\s\up6(―→))〉＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2)，∴〈eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(A1C,\s\up6(―→))〉＝60°，
即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
[答案] C
eq \a\vs4\al()
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
[注意] 求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
[跟踪训练]
如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解：因为eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，
所以eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))
＝|eq \(OA,\s\up6(―→))||eq \(AC,\s\up6(―→))|cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))〉－|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(AB,\s\up6(―→))|cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(AB,\s\up6(―→))〉＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°＝－16eq \r(2)＋24.
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(OA,\s\up6(―→))||\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)，
即OA与BC所成角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5).
[例3] 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
[证明] 设eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(―→))＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(―→))＝eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \(AO,\s\up6(―→))＝eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(CG,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
∴eq \(A1O,\s\up6(―→))·eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(―→))⊥eq \(BD,\s\up6(―→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(―→))⊥eq \(OG,\s\up6(―→))，即A1O⊥OG.
又BD∩OG＝O，
于是有A1O⊥平面GBD.
eq \a\vs4\al()
用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
[跟踪训练]
如图，在四面体OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证OA⊥BC.
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·(eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(OC,\s\up6(―→))|cs ∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(OB,\s\up6(―→))|cs∠AOB＝0，所以eq \(OA,\s\up6(―→))⊥eq \(BC,\s\up6(―→))，即OA⊥BC.
[例4] (链接教科书第7页例2)已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜eq \r(2))．
(1)求线段MN的长；
(2)当a为何值时，线段MN最短？
[解] (1)由已知得|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，|eq \(BF,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，
∴eq \(AM,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(NF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BF,\s\up6(―→))，
∴eq \(NM,\s\up6(―→))＝eq \(NF,\s\up6(―→))＋eq \(FA,\s\up6(―→))＋eq \(AM,\s\up6(―→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BF,\s\up6(―→))＋eq \(FA,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(AC,\s\up6(―→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))(eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))－eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))(－eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,\r(2))))eq \(BE,\s\up6(―→))，
∴|eq \(NM,\s\up6(―→))|＝ eq \r(\(NM,\s\up6(―→))·\(NM,\s\up6(―→)))
＝ eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\(BC,\s\up6(―→))－\f(a,\r(2))\(BE,\s\up6(―→))))\s\up12(2))
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\s\up12(2)－\f(2a,\r(2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\(BC,\s\up6(―→))·\(BE,\s\up6(―→))＋\f(1,2)a2)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))(0＜a＜eq \r(2))．
即MN的长度为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))(0＜a＜eq \r(2))．
(2)由(1)知当a＝eq \f(\r(2),2)，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
1．求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝eq \r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离．
2．本题中M，N分别为AC，BF上的动点，因此CM，BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于a的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用．
[跟踪训练]
如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
解：设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AC,\s\up6(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1F,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
所以|eq \(EF,\s\up6(―→))|2＝eq \(EF,\s\up6(―→))2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))
＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×2×2cs 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以|eq \(EF,\s\up6(―→))|＝eq \r(5)，即EF＝eq \r(5).
1．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A．a2＝|a|2 B.eq \f(a·b,a2)＝eq \f(b,a)
C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
解析：选AD 由数量积的性质和运算律可知A、D是正确的．
2．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \(AO1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C eq \(AO1,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1O1,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(―→))＋eq \(A1D1,\s\up6(―→)))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))，则eq \(AO1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(|eq \(AB,\s\up6(―→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(―→))|2)＝1，故选C.
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝0，eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＝0，eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选B ∵eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BD,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝(eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))·(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))＝eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))2＝|eq \(AB,\s\up6(―→))|2>0，
∴cs∠CBD＝cs〈eq \(BC,\s\up6(―→))，eq \(BD,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(BC,\s\up6(―→))·\(BD,\s\up6(―→)),|\(BC,\s\up6(―→))||\(BD,\s\up6(―→))|)>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．
4．已知空间向量a，b，c中每两个向量的夹角都是eq \f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________．
解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq \f(π,3)，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cs〈a，b〉＋2|a||c|cs〈a，c〉＋2|b||c|cs〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.
答案：10
5.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．
解析：由于eq \(AC1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))，
则|eq \(AC1,\s\up6(―→))|2＝(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→)))2＝eq \(AB,\s\up6(―→))2＋eq \(AD,\s\up6(―→))2＋eq \(AA1,\s\up6(―→))2＋2eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＋2eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AA1,\s\up6(―→))＋2eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AA1,\s\up6(―→))＝1＋1＋1＋3×2×1×1×cs 60°＝6.
∴|eq \(AC1,\s\up6(―→))|＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
新课程标准解读
核心素养
1.掌握空间向量的数量积
数学抽象
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行
数学运算
空间向量数量积的运算
利用空间向量的数量积求夹角
利用空间向量的数量积证明垂直
利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
我们在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．
[问题] (1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？
(2)类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
知识点一 空间向量的夹角
1．如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
1．当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
提示：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．
2．若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？
提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
3．〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？
提示：〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉；
(2)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(C′A′,\s\up6(―→))〉；
(3)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′D′,\s\up6(―→))〉．
解：(1)∵eq \(A′C′,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，∴〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))〉．
又∵∠CAB＝45°，∴〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝45°.
(2)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(C′A′,\s\up6(―→))〉＝180°－〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′C′,\s\up6(―→))〉＝180°－45°＝135°.
(3)〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(A′D′,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AD,\s\up6(―→))〉＝90°.
知识点二 空间向量的数量积
1．数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2．数量积的性质
(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；
(2)a·a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2＝a2；
(3)a·e＝|a|cs〈a，e〉(其中e为单位向量)；
(4)若a，b为非零向量，则cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
3．数量积的运算律
(1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
1．向量的数量积运算是否满足结合律？
提示：不满足．
2．对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq \f(k,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或b＝\f(k,a)))？提示：不能．向量没有除法运算．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量的数量积为0.( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．
解析：cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝________，eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(B1C,\s\up6(―→))＝________．
解析：如图，eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝eq \(A1B1,\s\up6(―→))·eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝|eq \(A1B1,\s\up6(―→))|·|eq \(A1C1,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(A1B1,\s\up6(―→))，eq \(A1C1,\s\up6(―→))〉
＝a·eq \r(2)acs 45°＝a2.
eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(B1C,\s\up6(―→))＝eq \(A1B,\s\up6(―→))·eq \(A1D,\s\up6(―→))＝|eq \(A1B,\s\up6(―→))|·|eq \(A1D,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(A1B,\s\up6(―→))，eq \(A1D,\s\up6(―→))〉＝eq \r(2)a×eq \r(2)a×cs 60°＝a2.
答案：a2 a2
知识点三 投影向量及直线与平面所成的角
1．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，
则向量eq \(A′B′,\s\up6(―→))(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
2．直线与平面所成的角
如图③向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量c＝|a|cs〈a，b〉·eq \f(b,|b|).( )
(2)向量a在直线l上的投影是一个数量．( )
(3)向量a在平面β上的投影是一个向量．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2. 如图所示，直线l⊥平面α，若m，n⊂α且向量i，j，k分别是直线l，m，n的方向向量，则i·j＝________，i·k＝________．
答案：0 0
[例1] (链接教科书第7页例2)
已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求：
(1)eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))；
(2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→)))．
[解] 在正四面体OABC中，|eq \(OA,\s\up6(―→))|＝|eq \(OB,\s\up6(―→))|＝|eq \(OC,\s\up6(―→))|＝1.
〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OB,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))〉＝〈eq \(OB,\s\up6(―→))，eq \(OC,\s\up6(―→))〉＝60°.
(1)eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝|eq \(OA,\s\up6(―→))||eq \(OB,\s\up6(―→))|cs∠AOB＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2).
(2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(CA,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→)))
＝(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))·(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝eq \(OA,\s\up6(―→))2＋2eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))－2eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))2－2eq \(OB,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))
＝12＋2×1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°＋12－2×1×1×cs 60°
＝1＋1－1＋1－1
＝1.
[母题探究]
(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值：
(1)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))；(2)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))；(3)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→)).
解：(1)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AO,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))||eq \(AO,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(AO,\s\up6(―→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))||eq \(CB,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(CB,\s\up6(―→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
eq \a\vs4\al()
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
[跟踪训练]
已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
[例2] (链接教科书第8页练习1题)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝eq \r(2)，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC＝AB＝eq \r(2)，BC＝2，∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，∴eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))．
∵AA1＝eq \r(2)，∴A1C＝2.
∵eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(A1C,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→)))·(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(―→))|2＝1，
∴cs〈eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(A1C,\s\up6(―→))〉＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2)，∴〈eq \(AE,\s\up6(―→))，eq \(A1C,\s\up6(―→))〉＝60°，
即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
[答案] C
eq \a\vs4\al()
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
[注意] 求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
[跟踪训练]
如图，在四面体OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解：因为eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，
所以eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))
＝|eq \(OA,\s\up6(―→))||eq \(AC,\s\up6(―→))|cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))〉－|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(AB,\s\up6(―→))|cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(AB,\s\up6(―→))〉＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°＝－16eq \r(2)＋24.
所以cs〈eq \(OA,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(OA,\s\up6(―→))||\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)，
即OA与BC所成角的余弦值为eq \f(3－2\r(2),5).
[例3] 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
[证明] 设eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(―→))＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(A1O,\s\up6(―→))＝eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \(AO,\s\up6(―→))＝eq \(A1A,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))
＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \(OC,\s\up6(―→))＋eq \(CG,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(―→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c.
∴eq \(A1O,\s\up6(―→))·eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)
＝c·b－c·a＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)b2－eq \f(1,2)b·a
＝eq \f(1,2)(b2－a2)＝eq \f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.
于是eq \(A1O,\s\up6(―→))⊥eq \(BD,\s\up6(―→))，即A1O⊥BD.
同理可证eq \(A1O,\s\up6(―→))⊥eq \(OG,\s\up6(―→))，即A1O⊥OG.
又BD∩OG＝O，
于是有A1O⊥平面GBD.
eq \a\vs4\al()
用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
[跟踪训练]
如图，在四面体OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证OA⊥BC.
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·(eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OC,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(OB,\s\up6(―→))＝|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(OC,\s\up6(―→))|cs ∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(―→))|·|eq \(OB,\s\up6(―→))|cs∠AOB＝0，所以eq \(OA,\s\up6(―→))⊥eq \(BC,\s\up6(―→))，即OA⊥BC.
[例4] (链接教科书第7页例2)已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜eq \r(2))．
(1)求线段MN的长；
(2)当a为何值时，线段MN最短？
[解] (1)由已知得|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，|eq \(BF,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，
∴eq \(AM,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(NF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BF,\s\up6(―→))，
∴eq \(NM,\s\up6(―→))＝eq \(NF,\s\up6(―→))＋eq \(FA,\s\up6(―→))＋eq \(AM,\s\up6(―→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BF,\s\up6(―→))＋eq \(FA,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(AC,\s\up6(―→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))(eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))－eq \(BE,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))(－eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,\r(2))))eq \(BE,\s\up6(―→))，
∴|eq \(NM,\s\up6(―→))|＝ eq \r(\(NM,\s\up6(―→))·\(NM,\s\up6(―→)))
＝ eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\(BC,\s\up6(―→))－\f(a,\r(2))\(BE,\s\up6(―→))))\s\up12(2))
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\s\up12(2)－\f(2a,\r(2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,\r(2))))\(BC,\s\up6(―→))·\(BE,\s\up6(―→))＋\f(1,2)a2)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))(0＜a＜eq \r(2))．
即MN的长度为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))(0＜a＜eq \r(2))．
(2)由(1)知当a＝eq \f(\r(2),2)，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
1．求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝eq \r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离．
2．本题中M，N分别为AC，BF上的动点，因此CM，BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于a的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用．
[跟踪训练]
如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
解：设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AC,\s\up6(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1F,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
所以|eq \(EF,\s\up6(―→))|2＝eq \(EF,\s\up6(―→))2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))
＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×2×2cs 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以|eq \(EF,\s\up6(―→))|＝eq \r(5)，即EF＝eq \r(5).
1．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A．a2＝|a|2 B.eq \f(a·b,a2)＝eq \f(b,a)
C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
解析：选AD 由数量积的性质和运算律可知A、D是正确的．
2．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \(AO1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C eq \(AO1,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \(A1O1,\s\up6(―→))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(A1B1,\s\up6(―→))＋eq \(A1D1,\s\up6(―→)))＝eq \(AA1,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)))，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))，则eq \(AO1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(|eq \(AB,\s\up6(―→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(―→))|2)＝1，故选C.
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝0，eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＝0，eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选B ∵eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BD,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝(eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))·(eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))＝eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))2＝|eq \(AB,\s\up6(―→))|2>0，
∴cs∠CBD＝cs〈eq \(BC,\s\up6(―→))，eq \(BD,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(BC,\s\up6(―→))·\(BD,\s\up6(―→)),|\(BC,\s\up6(―→))||\(BD,\s\up6(―→))|)>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．
4．已知空间向量a，b，c中每两个向量的夹角都是eq \f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________．
解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq \f(π,3)，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cs〈a，b〉＋2|a||c|cs〈a，c〉＋2|b||c|cs〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.
答案：10
5.在如图所示的平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．
解析：由于eq \(AC1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→))，
则|eq \(AC1,\s\up6(―→))|2＝(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(AA1,\s\up6(―→)))2＝eq \(AB,\s\up6(―→))2＋eq \(AD,\s\up6(―→))2＋eq \(AA1,\s\up6(―→))2＋2eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AD,\s\up6(―→))＋2eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(AA1,\s\up6(―→))＋2eq \(AD,\s\up6(―→))·eq \(AA1,\s\up6(―→))＝1＋1＋1＋3×2×1×1×cs 60°＝6.
∴|eq \(AC1,\s\up6(―→))|＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
新课程标准解读
核心素养
1.掌握空间向量的数量积
数学抽象
2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行
数学运算
空间向量数量积的运算
利用空间向量的数量积求夹角
利用空间向量的数量积证明垂直
利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
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