人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时导学案，共7页。

如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1.
[问题] (1)怎样借助空间向量来表示空间点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1?
(2)设eq \(AB,\s\up6(―→))＝v，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？
(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？



知识点 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋ta＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋teq \(AB,\s\up6(―→))．
2．空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋xeq \(AB,\s\up6(―→))＋yeq \(AC,\s\up6(―→))．
3．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．过空间点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为{P|a·eq \(AP,\s\up6(―→))＝0}．
1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
提示：能．
2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．( )
(2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则eq \(AB,\s\up6(―→))·n＝0.( )
(3)由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点．( )
(4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(2，1，1) B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1) D．(2，1，－1)
解析：选B ∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，1，1)，而与eq \(AB,\s\up6(―→))共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B.
3．已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(0，1，－1) B．(－1，0，1)
C．(1，1，1) D．(－1，0，0)
解析：选A 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，0，0)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(1，－1，－1)，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(―→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(―→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＝0，,x－y－z＝0，))
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝(0，1，－1)．
[例1] (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1
C.eq \f(3,2) D．3
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
[解析] (1)∵A(0，y，3)和
B(－1，2，z)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设eq \(AB,\s\up6(―→))＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－eq \f(1,2)，y＝z＝eq \f(3,2).
∴y－z＝0.
(2)∵DD1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝(0，0，1)，
∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；
∵BC1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(―→))＝(0，1，1)，
∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．
[答案] (1)A (2)(0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一)
eq \a\vs4\al()
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算．
[跟踪训练]
1．(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，2，6) B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
解析：选AB ∵M，N在直线l上，且eq \(MN,\s\up6(―→))＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝34，则B点的坐标为( )
A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
解析：选A 设B点坐标为(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(―→))＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，因为|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
[例2] (链接教科书第28页例1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
∴eq \(GE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(FE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0)).
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．
由n⊥eq \(GE,\s\up6(―→))，n⊥eq \(FE,\s\up6(―→))，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(GE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)y－\f(1,2)z＝0，,n·\(FE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)x－\f(1,2)y＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＝y，,x＝y.))
取y＝1，可得平面GEF的一个法向量为n＝(1，1，1)．
eq \a\vs4\al()
利用待定系数法求法向量的步骤

[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：eq \(OB1,\s\up6(―→))是平面PAC的一个法向量．
证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))＝(1，1，2)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－2，2，0)，eq \(AP,\s\up6(―→))＝(－2，0，1)，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝－2＋2＝0，eq \(OB1,\s\up6(―→))·eq \(AP,\s\up6(―→))＝－2＋2＝0，
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))⊥eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(OB1,\s\up6(―→))⊥eq \(AP,\s\up6(―→))，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴eq \(OB1,\s\up6(―→))是平面PAC的一个法向量.
[例3] 已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以eq \(AB,\s\up6(―→))的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
[解] 由已知，得eq \(PB,\s\up6(―→))＝2eq \(AP,\s\up6(―→))，即eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OP,\s\up6(―→))＝2(eq \(OP,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))，eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→)).设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝eq \f(2,3)(2，4，0)＋eq \f(1,3)(1，3，3)，即x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(8,3)＋eq \f(3,3)＝eq \f(11,3)，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).
因为AQ∶QB＝2∶1，所以eq \(AQ,\s\up6(―→))＝－2eq \(QB,\s\up6(―→))，eq \(OQ,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))＝－2(eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OQ,\s\up6(―→)))，eq \(OQ,\s\up6(―→))＝－eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OB,\s\up6(―→)).设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6)．
eq \a\vs4\al()
求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标．
[跟踪训练]
已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,3)，则点C的坐标为________．
解析：设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且eq \f(|\(AC,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,3)，∴eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))，即(x－4，y－1，z－3)＝eq \f(1,3)(－2，－6，－2)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3)，))∴x＝eq \f(10,3)，y＝－1，z＝eq \f(7,3).
因此点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，－1，\f(7,3)))
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
解析：选A 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量．
2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
解析：选D 易知D中的向量与n共线．
3．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析：∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))，
∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(7,4))).
又∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(―→))＝0，,a·\(AC,\s\up6(―→))＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))
∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶－4
新课程标准解读
核心素养
1.能用向量语言表述直线和平面
数学抽象
2.理解直线的方向向量与平面的法向量
数学抽象
3.会求直线的方向向量与平面的法向量
数学运算、直观想象
直线的方向向量
求平面的法向量
确定空间中点的位置