人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共5页。


在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
[问题] 怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？


知识点 点到直线的距离与两条平行直线间的距离
1．若点P(x0，y0)到直线l1：y＝a与l2：x＝b的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？
提示：d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.
2．两条平行直线间的距离公式写成d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时对两条直线应有什么要求？
提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
解析：选D d＝eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选B 由题意知l1∥l2，则l1，l2之间的距离为eq \f(|1－（－1）|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
[例1] (链接教科书第77页例5)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)直线y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq \f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq \f(18,5).
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
eq \a\vs4\al()
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
[跟踪训练]
求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是eq \f(3,5)eq \r(10)的直线l的方程．
解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：
d＝eq \f(|3×（－1）－0＋m|,\r(32＋（－1）2))＝eq \f(|m－3|,\r(10))＝eq \f(3,5)eq \r(10).
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
[例2] (链接教科书第78页例7)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得eq \f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq \f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
eq \a\vs4\al()
由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
[跟踪训练]
1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A．3 B．7
C.eq \f(1,10) D.eq \f(1,2)
解析：选C 3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－4－（－5）)),\r(62＋82))＝eq \f(1,10).
2．若直线m被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．
解析：两平行线间的距离d＝eq \f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq \r(2)，故m与l1或l2的夹角为30°.又l1，l2的倾斜角为45°，∴直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
答案：①⑤
[例3] 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形另外三边所在直线的方程．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq \f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴eq \f(|－3＋a|,\r(32＋（－1）2))＝eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))，
得a＝9或a＝－3，
同理得b＝9或b＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另外三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
eq \a\vs4\al()
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
[跟踪训练]
若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).
答案：3eq \r(2)
1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D．2－eq \r(2)
解析：选B 由点到直线的距离公式，得1＝eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝eq \r(2).∵a＞0，∴a＝eq \r(2)－1，故选B.
2．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
解析：因为直线斜率为tan 60°＝eq \r(3)，可设直线方程为y＝eq \r(3)x＋b，化为一般式得eq \r(3)x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得eq \f(|0－0＋b|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为eq \r(3)x－y＋10＝0或eq \r(3)x－y－10＝0.
答案：eq \r(3)x－y＋10＝0或 eq \r(3)x－y－10＝0
3．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|3×（－2）＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，
即eq \f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
新课程标准解读
核心素养
1.探索并掌握点到直线的距离公式
数学抽象、数学运算
2.会求两条平行直线间的距离
直观想象、数学运算
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
点到直线的距离
两平行直线间的距离
距离的综合应用