2021年河南省郑州外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷（有答案）

这是一份2021年河南省郑州外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷（有答案），共24页。试卷主要包含了下面四个数中最小的数是，下列运算结果是a4的是，下列说法正确的是，已知点A等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河南省郑州外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一.选择题
1．下面四个数中最小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．0 D．﹣π
2．2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
3．下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣（a2）2 B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣2a6÷（﹣2a2）
4．下列说法正确的是（　　）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
5．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（　　）
A．250（1+x）＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x）+250（1+x）2＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
6．如果不等式3x﹣m＜0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（　　）
A．9≤m＜12 B．9＜m≤12 C．m＜12 D．m≥9
7．已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（　　）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1，则AC的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．+1
9．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC和AB上，AE＝CD，CE与BD交于点P，BF⊥CE于点F，若AP⊥BP，则下列结论：①∠ACE＝∠CBD，②∠BPE＝60°，③△APB≌△BFC．其中正确的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图1，四边形ABCD是轴对称图形，对角线AC，BD所在直线都是其对称轴，且AC，BD相交于点E．动点P从四边形ABCD的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段EP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（　　）

A．C→B→A→E B．C→D→E→A C．A→E→C→B D．A→E→D→C
二.填空题
11．计算：+（）﹣1＝　 　．
12．小晨和小红今年初中毕业，假如考入同一所高中，该所高中招10个班，如果随机分班，那么小晨和小红分到同一个班级的概率是　 　．
13．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，则点B的坐标为　 　．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC交于点D，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．

三、解答题
16．先化简，再求值：，其中x＝．
17．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89．

（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
长跑成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
18．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

19．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

20．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．
（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式．
（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？
（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．
21．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．
（1）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＞2时，求a的取值范围．
22．数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数的图象和性质进行了如下探究：
（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1


1

2

3

4
…
y
…

﹣4
﹣6
﹣10
6
2

0



m
…
请直接写出自变量x的取值范围　 　，a＝　 　，m＝　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；
（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质　 　．（写出一条性质即可）

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动
同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设S△PQE＝y；
（1）当x为何值时，点Q与点E重合？
（2）当x为何值时，PQ∥BE．
（3）当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
（4）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年河南省郑州外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下面四个数中最小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．0 D．﹣π
【解答】解：∵﹣4＝﹣，
∴0＞﹣1＞﹣π＞﹣4，
∴最小的数是﹣4，
故选：B．
2．2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
【解答】解：470000000＝4.7×108．
故选：B．
3．下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣（a2）2 B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣2a6÷（﹣2a2）
【解答】解：A、结果是﹣a4，不等于a4，故本选项不符合题意；
B、结果是2a2，不等于a4，故本选项不符合题意；
C、结果是4a2，不等于a4，故本选项不符合题意；
D、结果是a4，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
【解答】解：A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，此选项说法错误；
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，此选项说法正确；
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，此选项说法错误；
D．试验得到的频率与概率可能相等，此选项说法错误；
故选：B．
5．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（　　）
A．250（1+x）＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x）+250（1+x）2＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
【解答】解：设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1+x）万只，3月份生产口罩250（1+x）2万只，
依题意得：250+250（1+x）+250（1+x）2＝910．
故选：D．
6．如果不等式3x﹣m＜0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（　　）
A．9≤m＜12 B．9＜m≤12 C．m＜12 D．m≥9
【解答】解：移项，得：3x＜m，
系数化为1，得：x＜，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴3＜≤4，
解得：9＜m≤12，
故选：B．
7．已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（　　）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
【解答】解：∵点C（3，﹣1）在反比例函数y＝的图象上．
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵a＞1，
∴0＜a﹣1＜a，
∴A、B两点均在第四象限，
∴m＞n．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D．若点D到AB的距离为1，则AC的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．+1
【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
∵∠A＝30°，点D到AB的距离为1，
∴AD＝2DE＝2，
又∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴CD＝ED＝1，
∴AC＝AD+CD＝2+1＝3，
故选：B．

9．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC和AB上，AE＝CD，CE与BD交于点P，BF⊥CE于点F，若AP⊥BP，则下列结论：①∠ACE＝∠CBD，②∠BPE＝60°，③△APB≌△BFC．其中正确的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCD＝∠CAE＝60°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，故①正确，
∵∠BPE＝∠PCB+∠CBD＝∠PCB+∠ACE＝∠ACB＝60°，故②正确，
∵AP⊥BD，BF⊥CE，
∴∠APB＝∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝60°，∠ACE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠ABP，
在△APB和△BFC中，
，
∴△APB≌△BFC（AAS），故③正确，
故选：D．
10．如图1，四边形ABCD是轴对称图形，对角线AC，BD所在直线都是其对称轴，且AC，BD相交于点E．动点P从四边形ABCD的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段EP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（　　）

A．C→B→A→E B．C→D→E→A C．A→E→C→B D．A→E→D→C
【解答】解：由图象可知，初始段是y关于x的一次函数，由于y＝0时，点P与点E重合，
∴第二个点应该是点E，故排除A、B；
图2显示，第一段y随x的增大而减小，第二段y先随x的增大而增大，且第二段的最高点大于第一段的最高点，
∵AE＝EC，CB＝BA，
故C选项不对．
只有D选项符合题意．
故选：D．
二.填空题
11．计算：+（）﹣1＝　5　．
【解答】解：原式＝3+2
＝5．
故答案为：5．
12．小晨和小红今年初中毕业，假如考入同一所高中，该所高中招10个班，如果随机分班，那么小晨和小红分到同一个班级的概率是　　．
【解答】解：列表为：

共有100种等可能的结果，其中小晨和小红分到同一个班级的结果数为10，
所以小晨和小红分到同一个班级的概率＝＝．
故答案为．
13．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，则点B的坐标为　（5，0）　．
【解答】解：函数的对称轴为x＝﹣＝2，
由点A、B关于x＝2对称得，点B（5，0），
故答案为：（5，0）．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC交于点D，则图中阴影部分的面积为　+2﹣4　．

【解答】解：作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
设DF＝x，
∵∠DFO＝90°，∠DOF＝60°，
∴∠ODF＝30°，
∴OF＝DF•tan30°＝x•＝x，
∴DE＝x，
∵∠AOB＝90°，半径OB＝2．
∴OB＝OA＝2，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB，
∴＝+，
解得x＝3﹣，
∴阴影部分的面积是：﹣＝（3﹣）+﹣（3﹣）＝﹣1﹣3+＝+2﹣4，
故答案为：+2﹣4．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　8　．

【解答】解：连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N，如图所示：
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝2，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的⊙M，
设⊙M交MN于C′，
∵直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（8，0），E（0，﹣6），
∴OD＝8，OE＝6，
∴DM＝OD﹣OM＝8﹣2＝6，DE＝＝＝10，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE＝90°，
∴△DNM∽△DOE，
∴＝，
即＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×10×（﹣2）＝8，
故答案为8．

三、解答题
16．先化简，再求值：，其中x＝．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
17．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，我校本学期开展了“趣味运动会”和“冬季长跑”等体育活动．为了解七年级学生的长跑水平，我校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x80，D.80≤x＜90，E.90≤x≤100），绘制了不完整的统计图表：
（1）收集、整理数据
20名男生的长跑成绩分别为：
76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88．
女生长跑成绩在C组和D组的分别为：
73，74，74，74，74，76，83，88，89．

（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
长跑成绩
平均数
中位数
众数
男生
85
88.5
b
女生
81.8
a
74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全频数分布直方图；
②填空：a＝　79.5　，b＝　89　；
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑的成绩更好还是女生的长跑成绩更好？判断并说明理由（一条理由即可）．
（3）如果我校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
【解答】解：（1）①80～90分的人数为20﹣（1+2+3+6）＝8（人），
补全直方图如下：

②男生成绩的众数b＝89，女生成绩的中位数a＝＝79.5，
故答案为：79.5、89；
（2）男生长跑成绩好，
因为男生长跑成绩的平均数大于女生，所以男生长跑成绩比女生好．
（3）∵样本中女生A、B组人数为20×（10%+10%）＝4（人），C组人数为6人，
∴女生长跑成绩不低于80分的学生人数为10人，
所以估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数900×+600×＝630+300＝930（人）．
18．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE＝BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∵BC＝2DE＝4，
∴AC＝8，
又∵∠C＝60°，DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，
则AD＝AC﹣DC＝6．

19．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，

∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD＝BE，FB＝DE，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
设BE＝5x，AE＝12x，
根据勾股定理，得
AB＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴BE＝FD＝5x＝20，
AE＝12x＝48，
∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，
∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24×≈32，
∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．
答：大楼的高度CD约为52米．
20．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．
（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式．
（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？
（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣40）[50﹣1×（x﹣50）]
＝（x﹣40）（100﹣x）
＝﹣x2+140x﹣4000，
∴日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝﹣x2+140x﹣4000．
（2）当y＝800时，﹣x2+140x﹣4000＝800，
解得x1＝60，x2＝80．
∴售价应定为60元或80元．
（3）y＝﹣x2+140x﹣4000
＝﹣（x﹣70）2+900，
∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝70时，y最大值＝900，
∴当售价定为70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．
21．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．
（1）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＞2时，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，
∴．
∴抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4），
∴16a+4b＝4．
∴b＝1﹣4a．
令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．
∵a≠0，
∴x1＝0，．
∵d＞2，
∴或．
即或．
①当a＞0时，或．
②当a＜0时，恒成立．
∴a＜0．
∴综上所述，a＜0，或．
22．数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数的图象和性质进行了如下探究：
（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1


1

2

3

4
…
y
…

﹣4
﹣6
﹣10
6
2

0



m
…
请直接写出自变量x的取值范围　x≠0　，a＝　2　，m＝　1　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；
（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质　当0＜x＜2时，y随x的增大而减小　．（写出一条性质即可）

【解答】解：（1）自变量x的取值范围x≠0，
把x＝1，y＝2代入函数得：2＝|1﹣2|，
解得：a＝2，
当x＝4时，y＝|4﹣2|＝×2＝1，
故答案为：x≠0，2，1；

（2）如图所示；

（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动
同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设S△PQE＝y；
（1）当x为何值时，点Q与点E重合？
（2）当x为何值时，PQ∥BE．
（3）当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
（4）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∠D＝90°，
∴AC＝＝5，
∵PE∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝（4﹣t），
当点Q与点E重合时，t＝（4﹣t），解得t＝s．
（2）当PQ∥BE时，∵∠PQE＝∠BEQ，∠PEQ＝∠BAE，
∴△PEQ∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
解得t＝或0，
∴t＝0或s时，PQ∥BE．

（3）如图作PH⊥AC于H．则PH＝（4﹣x），
∴y＝•QE•PH＝•[（4﹣x）﹣x]•（4﹣x）＝x2﹣t+6．

（4）存在．
Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，
（i）当QE＝PE时，5﹣x＝﹣x+3，
解得：x＝；
（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，
∴∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝QP＝QE，
∴x＝5﹣x，
解得，x＝；
（iii）当QP＝PE时，过P作PH⊥QE于H（如图），
可得：HE＝QE＝（5﹣x）＝，
∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，
∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝＝，
∵cos∠AEP＝＝＝，
解得x＝；
综上，当x＝或t＝或t＝时，△PQE为等腰三角形．

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日期：2022/2/21 14:34:20；用户：校园号；邮箱：gx998@xyh.com；学号：40932698