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2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份） 解析版
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这是一份2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份） 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．②④
3．（3分）截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31070.1475万人，将其用科学记数法表示为3.10701475×10n，则n等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
5．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
7．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝4，AE＝1，则CD长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最小值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣7
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11．（4分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
12．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 ．
13．（4分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
14．（4分）把抛物线y＝2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
15．（4分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 cm．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝ ．
17．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则对角线BD的长为 ．
18．（4分）已知a1为实数，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，an＝1﹣．按以上算法计算：当a1＝4时，a2022的值等于 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝2sin30°+3．
21．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
22．（10分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
23．（8分）2022年北京冬奥会即将闪耀华夏，在此期间，平凉市的小王和小朱同学准备了八张卡片：冬奥，平凉为你点亮，每张卡片除上面的字不同以外其它完全相同，小王每次从箱子里随机摸出一张卡片，然后记下字放入箱子中，最后让小朱摸出一张卡片．
（1）从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为 ．
（2）请你用画树状图或列表格的方法，写出摸出冬奥的概率．
四、解答题（二）：本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．26题任做①或②即可得分．
24．（8分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．
25．（10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）求出三角形AOB的周长和面积．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
27．如图，OA和OB是⊙O的半径，OA＝2，OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线，交OA的延长线于点D．
（1）求证：DP＝DC；
（2）若OP＝PC，求PC的长．
28．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．
29．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠AQC＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．②④
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
3．（3分）截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31070.1475万人，将其用科学记数法表示为3.10701475×10n，则n等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：31070.1475万＝310701475＝3.10701475×108．
故选：A．
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：C．
5．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝500，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：，
故选：B．
6．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
7．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
8．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝4，AE＝1，则CD长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OB，OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得AG＝BG＝AB＝2，CD＝2DF，然后在Rt△OGB中，求出OG，从而求出∠OEG＝45°，进而求出∠DEO＝30°，即可求出OF，最后在Rt△DFO中，求出DF，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OF⊥CD，垂足为F，
∴AG＝BG＝AB＝2，CD＝2DF，
∵AE＝1，
∴EG＝AG﹣AE＝2﹣1＝1，
在Rt△OGB中，OB＝，
∴OG＝＝＝1，
∴EG＝OG＝1，
∴∠OEG＝∠EOG＝45°，
∴OE＝OG＝，
∵∠DEB＝75°，
∴∠DEO＝∠DEG﹣∠OEG＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△DFO中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝3，
故选：C．
9．（3分）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最小值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣7
【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【解答】解：根据题意知：•＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因为﹣2≤x≤3，
所以当x＝﹣1时，•＝（﹣1+1）2﹣8＝﹣8．
即•的最小值是﹣8．
故选：B．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成A→B、B→C、C→O三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
【解答】解：设点P运动的速度为a，
当点P从点A运动到点B的过程中，S＝OA•at，此段是一次函数图象的一部分；
当点P从B运动到C的过程中时，由反比例函数性质可知△OPM的面积S＝k，保持不变，
故此段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从C运动到O过程中，OM的长在减少，△OPM的OM边上的高h也在减少，
即S随t的增大而减小，故本段图象应该为一段开口方向向上且在对称轴左侧的抛物线；
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11．（4分）分解因式x3+6x2+9x＝ x（x+3）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）
＝x（x+3）2．
故答案为x（x+3）2
12．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 c＜ ．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，
解得：c＜．
故答案为：c＜．
13．（4分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 0 ．
【分析】根据二次根式的范围解答即可．
【解答】解：∵≈2.236，
∴，
∴，
∴，
即介于整数0和1之间，
∴n＝0，
故答案为：0．
14．（4分）把抛物线y＝2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+1 ．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1﹣1）2+1＝2x2+1，
故答案为：y＝2x2+1．
15．（4分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 9 cm．
【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，
设圆锥的母线长为Rcm，
∴＝12π，
解得R＝9．
故答案为：9．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝ ．
【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE＝BC＝9，∠CBE＝60°，从而有∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．
【解答】解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC＝9，∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴BD＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则对角线BD的长为 2 ．
【分析】连接AC交BD于点H，先证∠CDH＝∠CDF，再证△CDH≌△CDF（AAS），得DH＝DF＝，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，
∴BH＝DH，AC⊥BD，CB＝CD，∠CBD＝∠ABC＝35°，AB∥CD，
∴∠DHC＝90°，∠CDB＝∠CBD＝35°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCF＝∠DCB﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝35°，
∴∠CDH＝∠CDF，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF＝，
∴BD＝2DH＝2，
故答案为：2．
18．（4分）已知a1为实数，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，an＝1﹣．按以上算法计算：当a1＝4时，a2022的值等于 ﹣ ．
【分析】直接利用已知分别代入进而求出a2，a3，a4，进而得出变化规律，即可得出答案．
【解答】解：∵a1＝4，
∴a2＝1﹣＝1﹣＝，
a3＝1﹣＝﹣，
a4＝1﹣＝4，
∴每3个数据一循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|
＝﹣3+1﹣|﹣|
＝﹣2﹣．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝2sin30°+3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出m的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当m＝2sin30°+3＝2×+2＝1+2＝3时，
原式＝＝﹣．
21．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
22．（10分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
23．（8分）2022年北京冬奥会即将闪耀华夏，在此期间，平凉市的小王和小朱同学准备了八张卡片：冬奥，平凉为你点亮，每张卡片除上面的字不同以外其它完全相同，小王每次从箱子里随机摸出一张卡片，然后记下字放入箱子中，最后让小朱摸出一张卡片．
（1）从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为 ．
（2）请你用画树状图或列表格的方法，写出摸出冬奥的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵共有8张卡片，分别是冬奥，平凉为你点亮，
从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
冬
奥
平
凉
为
你
点
亮
冬
（冬，冬）
（奥，冬）
（平，冬）
（凉，冬）
（为，冬）
（你，冬）
（点，冬）
（亮，冬）
奥
（冬，奥）
（奥，奥）
（平，奥）
（凉，奥）
（为，奥）
（你，奥）
（点，奥）
（亮，奥）
平
（冬，平）
（奥，平）
（平，平）
（凉，平）
（为，平）
（你，平）
（点，平）
（亮，平）
凉
（冬，凉）
（奥，凉）
（平，凉）
（凉，凉）
（为，凉）
（你，凉）
（点，凉）
（亮，凉）
为
（冬，为）
（奥，为）
（平，为）
（凉，为）
（为，为）
（你，为）
（点，为）
（亮，为）
你
（冬，冬）
（奥，你）
（平，你）
（凉，你）
（为，你）
（你，你）
（点，你）
（亮，你）
点
（冬，点）
（奥，点）
（平，点）
（凉，点）
（为，点）
（你，点）
（点，点）
（亮，点）
亮
（冬，亮）
（奥，亮）
（平，亮）
（凉，亮）
（为，亮）
（你，亮）
（点，亮）
（亮，亮）
共有64种等可能的情况数，其中摸出冬奥的有2种情况，
则摸出冬奥的概率是＝．
四、解答题（二）：本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．26题任做①或②即可得分．
24．（8分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数及频率可得a的值，用1.5＜t≤2对应频数除以a的值即可得出b的值；
（2）根据频数之和等于总数求出1＜t≤1.5的频数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过1.5小时的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120、0.1；
（2）1＜t≤1.5对应频数为120﹣（24+36+12）＝48，
补全图形如下：
（3）6450×＝645（人），
∴该校学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数约645人．
25．（10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）求出三角形AOB的周长和面积．
【分析】（1）运用待定系数法，根据A（3，m），B（﹣2，﹣3），即可得到直线AB和反比例函数的解析式；
（2）根据直线AB在双曲线的下方，即可得到x的取值范围；
（3）根据两点间距离公式分别求出OA，OB和AB的长，即可求出三角形的周长，利用三角形面积公式•OC•（xA﹣xB），代入数据即可求出三角形的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
把A（3，m）代入y＝，可得3m＝6，
即m＝2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y＝ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y＝x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）设直线AB与y轴交于点C，
∴C（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝，AB＝5，
∴△OAB的周长为：2+5；
△OAB的面积为：•OC•（xA﹣xB）＝＝2.5．
∴△OAB的周长＝2+5；△OAB的面积＝2.5．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，再判断出EF到BC的距离等于EF的一半，取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，根据等腰直角三角形的性质，点Q即为所求的点，过点E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根据BQ＝BG+GQ计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵BC＝12，
∴EF＝6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD＝6，
∴OQ＝EG＝×6＝3，
∴点Q即为所求的使∠EQF＝90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE＝OQ＝3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ＝OQ＝3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG＝AD＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴BG＝EG＝×3＝，
∴BQ＝BG+GQ＝3+．
27．如图，OA和OB是⊙O的半径，OA＝2，OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线，交OA的延长线于点D．
（1）求证：DP＝DC；
（2）若OP＝PC，求PC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠B+∠DOC＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠POC＝∠PCO，∠B＝∠PCO，设∠B＝∠PCO＝∠POC＝x，根据三角形的内角和定理得到∠B＝30°，根据等边三角形的性质得到PC＝CD＝PD，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCO+∠PCD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
∴∠B+∠BPO＝90°，又∠BPO＝∠DPQ，
∴∠B+∠DOC＝90°，
由OB＝OC得：∠B＝∠BCO，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴PD＝CD；
（2）解：∵OP＝PC，
∴∠POC＝∠PCO，
又OB＝OC，
∴∠B＝∠PCO，
设∠B＝∠PCO＝∠POC＝x，又∠BOP＝90°，
根据三角形内角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POC+∠PCO＝180°，
即x+90°+x+x＝180°，
解得：x＝30°，
即∠B＝30°，
∴∠DPC＝∠BPO＝60°，又PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，即PC＝CD＝PD，
在直角三角形OCD中，OC＝OB＝OA＝2，
根据锐角三角函数定义得：
PC＝CD＝OC•tan30°＝．
28．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．
【分析】（1）证明△OBF≌△ODE，得到OB＝OD即可得出结论．
（2）由ED＝2AE，AB•AD＝3，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF•BD的值．
【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
29．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠AQC＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣+bx+c，即可求解；
（2）由题意可得×4×|yP|＝12，再由P点在x轴下方，则yP＝﹣6，即可求P点坐标；
（3）由题意可知Q点在△BAC的外接圆上，设△ABC的外接圆的圆心为M，连结AM延长交⊙M于点D，连结BM，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则△ACD是等腰直角三角形，求出AM＝BM＝，ME＝，则EQ1＝MQ1+ME＝+，EQ2＝MQ2﹣ME＝﹣，即可求Q点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣+x+4；
（2）对于y＝﹣+x+4，当x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴×4×|yP|＝12，
∴|yP|＝6，
∵y＝﹣+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴P点在x轴下方，
∴yP＝﹣6，
∴﹣+x+4＝﹣6，
解得x＝﹣5或x＝6，
∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠AQC＝45°，理由如下：
∵y＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵OC＝OB＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵∠AQC＝45°，
∴Q点在△BAC的外接圆上，
设△ABC的外接圆的圆心为M，连结AM延长交⊙M于点D，连结BM，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴AC＝5，
∴AD＝5，
∴AM＝BM＝，
在Rt△BME中，BE＝，
∴ME＝，
∴EQ1＝MQ1+ME＝+，
EQ2＝MQ2﹣ME＝﹣，
∴Q点坐标为（，+）或（，﹣）．
2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．②④
3．（3分）截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31070.1475万人，将其用科学记数法表示为3.10701475×10n，则n等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
5．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
7．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝4，AE＝1，则CD长是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最小值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣7
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11．（4分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
12．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 ．
13．（4分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
14．（4分）把抛物线y＝2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
15．（4分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 cm．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝ ．
17．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则对角线BD的长为 ．
18．（4分）已知a1为实数，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，an＝1﹣．按以上算法计算：当a1＝4时，a2022的值等于 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝2sin30°+3．
21．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
22．（10分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
23．（8分）2022年北京冬奥会即将闪耀华夏，在此期间，平凉市的小王和小朱同学准备了八张卡片：冬奥，平凉为你点亮，每张卡片除上面的字不同以外其它完全相同，小王每次从箱子里随机摸出一张卡片，然后记下字放入箱子中，最后让小朱摸出一张卡片．
（1）从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为 ．
（2）请你用画树状图或列表格的方法，写出摸出冬奥的概率．
四、解答题（二）：本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．26题任做①或②即可得分．
24．（8分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．
25．（10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）求出三角形AOB的周长和面积．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
27．如图，OA和OB是⊙O的半径，OA＝2，OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线，交OA的延长线于点D．
（1）求证：DP＝DC；
（2）若OP＝PC，求PC的长．
28．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．
29．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠AQC＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷（2月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．①③ C．② D．②④
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
3．（3分）截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31070.1475万人，将其用科学记数法表示为3.10701475×10n，则n等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：31070.1475万＝310701475＝3.10701475×108．
故选：A．
4．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，2021年5月22日他离开了世界，但他的两个梦想已然实现．平凉市李大爷为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取了9株水稻苗，测得苗高分别是：25，23，26，25，23，24，22，24，23（单位cm），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．23，23 B．24，24 C．24，23 D．24，25
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：C．
5．（3分）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的＝500，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：，
故选：B．
6．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
7．（3分）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
8．（3分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝4，AE＝1，则CD长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OB，OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得AG＝BG＝AB＝2，CD＝2DF，然后在Rt△OGB中，求出OG，从而求出∠OEG＝45°，进而求出∠DEO＝30°，即可求出OF，最后在Rt△DFO中，求出DF，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OF⊥CD，垂足为F，
∴AG＝BG＝AB＝2，CD＝2DF，
∵AE＝1，
∴EG＝AG﹣AE＝2﹣1＝1，
在Rt△OGB中，OB＝，
∴OG＝＝＝1，
∴EG＝OG＝1，
∴∠OEG＝∠EOG＝45°，
∴OE＝OG＝，
∵∠DEB＝75°，
∴∠DEO＝∠DEG﹣∠OEG＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△DFO中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝3，
故选：C．
9．（3分）我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最小值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣7
【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【解答】解：根据题意知：•＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因为﹣2≤x≤3，
所以当x＝﹣1时，•＝（﹣1+1）2﹣8＝﹣8．
即•的最小值是﹣8．
故选：B．
10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成A→B、B→C、C→O三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．
【解答】解：设点P运动的速度为a，
当点P从点A运动到点B的过程中，S＝OA•at，此段是一次函数图象的一部分；
当点P从B运动到C的过程中时，由反比例函数性质可知△OPM的面积S＝k，保持不变，
故此段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从C运动到O过程中，OM的长在减少，△OPM的OM边上的高h也在减少，
即S随t的增大而减小，故本段图象应该为一段开口方向向上且在对称轴左侧的抛物线；
故选：D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
11．（4分）分解因式x3+6x2+9x＝ x（x+3）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）
＝x（x+3）2．
故答案为x（x+3）2
12．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 c＜ ．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，
解得：c＜．
故答案为：c＜．
13．（4分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 0 ．
【分析】根据二次根式的范围解答即可．
【解答】解：∵≈2.236，
∴，
∴，
∴，
即介于整数0和1之间，
∴n＝0，
故答案为：0．
14．（4分）把抛物线y＝2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝2x2+1 ．
【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1﹣1）2+1＝2x2+1，
故答案为：y＝2x2+1．
15．（4分）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 9 cm．
【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，
设圆锥的母线长为Rcm，
∴＝12π，
解得R＝9．
故答案为：9．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，AB＝5，BC＝9，则BD＝ ．
【分析】连接BE，如图，根据旋转的性质得∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，再判断△BCE为等边三角形得到BE＝BC＝9，∠CBE＝60°，从而有∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算出AE即可．
【解答】解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE＝60°，CB＝CE，BD＝AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC＝9，∠CBE＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴BD＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则对角线BD的长为 2 ．
【分析】连接AC交BD于点H，先证∠CDH＝∠CDF，再证△CDH≌△CDF（AAS），得DH＝DF＝，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，
∴BH＝DH，AC⊥BD，CB＝CD，∠CBD＝∠ABC＝35°，AB∥CD，
∴∠DHC＝90°，∠CDB＝∠CBD＝35°，∠DCE＝∠ABC＝70°，
∵∠ECM＝15°，
∴∠DCF＝∠DCB﹣∠ECM＝70°﹣15°＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝35°，
∴∠CDH＝∠CDF，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF＝，
∴BD＝2DH＝2，
故答案为：2．
18．（4分）已知a1为实数，规定运算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，an＝1﹣．按以上算法计算：当a1＝4时，a2022的值等于 ﹣ ．
【分析】直接利用已知分别代入进而求出a2，a3，a4，进而得出变化规律，即可得出答案．
【解答】解：∵a1＝4，
∴a2＝1﹣＝1﹣＝，
a3＝1﹣＝﹣，
a4＝1﹣＝4，
∴每3个数据一循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：﹣2﹣1+（2022﹣）0﹣|﹣cos45°|
＝﹣3+1﹣|﹣|
＝﹣2﹣．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣m﹣1），其中m＝2sin30°+3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出m的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当m＝2sin30°+3＝2×+2＝1+2＝3时，
原式＝＝﹣．
21．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
22．（10分）图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）．
【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6（cm），
∴FH＝CE＝34.6（cm）
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15（cm），
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
23．（8分）2022年北京冬奥会即将闪耀华夏，在此期间，平凉市的小王和小朱同学准备了八张卡片：冬奥，平凉为你点亮，每张卡片除上面的字不同以外其它完全相同，小王每次从箱子里随机摸出一张卡片，然后记下字放入箱子中，最后让小朱摸出一张卡片．
（1）从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为 ．
（2）请你用画树状图或列表格的方法，写出摸出冬奥的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵共有8张卡片，分别是冬奥，平凉为你点亮，
从八卡片中随机抽取一次摸出奥的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
冬
奥
平
凉
为
你
点
亮
冬
（冬，冬）
（奥，冬）
（平，冬）
（凉，冬）
（为，冬）
（你，冬）
（点，冬）
（亮，冬）
奥
（冬，奥）
（奥，奥）
（平，奥）
（凉，奥）
（为，奥）
（你，奥）
（点，奥）
（亮，奥）
平
（冬，平）
（奥，平）
（平，平）
（凉，平）
（为，平）
（你，平）
（点，平）
（亮，平）
凉
（冬，凉）
（奥，凉）
（平，凉）
（凉，凉）
（为，凉）
（你，凉）
（点，凉）
（亮，凉）
为
（冬，为）
（奥，为）
（平，为）
（凉，为）
（为，为）
（你，为）
（点，为）
（亮，为）
你
（冬，冬）
（奥，你）
（平，你）
（凉，你）
（为，你）
（你，你）
（点，你）
（亮，你）
点
（冬，点）
（奥，点）
（平，点）
（凉，点）
（为，点）
（你，点）
（点，点）
（亮，点）
亮
（冬，亮）
（奥，亮）
（平，亮）
（凉，亮）
（为，亮）
（你，亮）
（点，亮）
（亮，亮）
共有64种等可能的情况数，其中摸出冬奥的有2种情况，
则摸出冬奥的概率是＝．
四、解答题（二）：本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．26题任做①或②即可得分．
24．（8分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数及频率可得a的值，用1.5＜t≤2对应频数除以a的值即可得出b的值；
（2）根据频数之和等于总数求出1＜t≤1.5的频数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过1.5小时的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120、0.1；
（2）1＜t≤1.5对应频数为120﹣（24+36+12）＝48，
补全图形如下：
（3）6450×＝645（人），
∴该校学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数约645人．
25．（10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和反比例函数图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x在什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）求出三角形AOB的周长和面积．
【分析】（1）运用待定系数法，根据A（3，m），B（﹣2，﹣3），即可得到直线AB和反比例函数的解析式；
（2）根据直线AB在双曲线的下方，即可得到x的取值范围；
（3）根据两点间距离公式分别求出OA，OB和AB的长，即可求出三角形的周长，利用三角形面积公式•OC•（xA﹣xB），代入数据即可求出三角形的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
把A（3，m）代入y＝，可得3m＝6，
即m＝2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y＝ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y＝x﹣1；
（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；
（3）设直线AB与y轴交于点C，
∴C（0，﹣1），
∴OA＝，OB＝，AB＝5，
∴△OAB的周长为：2+5；
△OAB的面积为：•OC•（xA﹣xB）＝＝2.5．
∴△OAB的周长＝2+5；△OAB的面积＝2.5．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，再判断出EF到BC的距离等于EF的一半，取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，根据等腰直角三角形的性质，点Q即为所求的点，过点E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根据BQ＝BG+GQ计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵BC＝12，
∴EF＝6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD＝6，
∴OQ＝EG＝×6＝3，
∴点Q即为所求的使∠EQF＝90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE＝OQ＝3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ＝OQ＝3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG＝AD＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴BG＝EG＝×3＝，
∴BQ＝BG+GQ＝3+．
27．如图，OA和OB是⊙O的半径，OA＝2，OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线，交OA的延长线于点D．
（1）求证：DP＝DC；
（2）若OP＝PC，求PC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠B+∠DOC＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠POC＝∠PCO，∠B＝∠PCO，设∠B＝∠PCO＝∠POC＝x，根据三角形的内角和定理得到∠B＝30°，根据等边三角形的性质得到PC＝CD＝PD，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCO+∠PCD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
∴∠B+∠BPO＝90°，又∠BPO＝∠DPQ，
∴∠B+∠DOC＝90°，
由OB＝OC得：∠B＝∠BCO，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴PD＝CD；
（2）解：∵OP＝PC，
∴∠POC＝∠PCO，
又OB＝OC，
∴∠B＝∠PCO，
设∠B＝∠PCO＝∠POC＝x，又∠BOP＝90°，
根据三角形内角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POC+∠PCO＝180°，
即x+90°+x+x＝180°，
解得：x＝30°，
即∠B＝30°，
∴∠DPC＝∠BPO＝60°，又PD＝CD，
∴△PCD为等边三角形，即PC＝CD＝PD，
在直角三角形OCD中，OC＝OB＝OA＝2，
根据锐角三角函数定义得：
PC＝CD＝OC•tan30°＝．
28．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．
【分析】（1）证明△OBF≌△ODE，得到OB＝OD即可得出结论．
（2）由ED＝2AE，AB•AD＝3，可得出菱形BEDF的面积，进而可得出EF•BD的值．
【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，
∴OE＝OF，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OB＝OD，
∵OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
（2）如图，∵AB•AD＝3，
∴S△ABD＝AB•AD＝，
∵ED＝2AE，
∴ED＝AD，
∴S△BDE：S△ABD＝2：3，
∴S△BDE＝，
∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，
∴EF•BD＝4．
29．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠AQC＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣+bx+c，即可求解；
（2）由题意可得×4×|yP|＝12，再由P点在x轴下方，则yP＝﹣6，即可求P点坐标；
（3）由题意可知Q点在△BAC的外接圆上，设△ABC的外接圆的圆心为M，连结AM延长交⊙M于点D，连结BM，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则△ACD是等腰直角三角形，求出AM＝BM＝，ME＝，则EQ1＝MQ1+ME＝+，EQ2＝MQ2﹣ME＝﹣，即可求Q点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y＝﹣+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣+x+4；
（2）对于y＝﹣+x+4，当x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|，
∵S△BOP＝2S△AOC，
∴×4×|yP|＝12，
∴|yP|＝6，
∵y＝﹣+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴P点在x轴下方，
∴yP＝﹣6，
∴﹣+x+4＝﹣6，
解得x＝﹣5或x＝6，
∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）存在点Q，使得∠AQC＝45°，理由如下：
∵y＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵OC＝OB＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵∠AQC＝45°，
∴Q点在△BAC的外接圆上，
设△ABC的外接圆的圆心为M，连结AM延长交⊙M于点D，连结BM，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴AC＝5，
∴AD＝5，
∴AM＝BM＝，
在Rt△BME中，BE＝，
∴ME＝，
∴EQ1＝MQ1+ME＝+，
EQ2＝MQ2﹣ME＝﹣，
∴Q点坐标为（，+）或（，﹣）．
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