2022年江西省南昌市中考数学一调试卷 解析版

这是一份2022年江西省南昌市中考数学一调试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江西省南昌市中考数学一调试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x3+x2+2＝0 B．y＝5﹣x C．x+＝5 D．x2+2x＝3
2．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
3．（3分）已知点M的坐标是（﹣4，3），则点M关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）
4．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（　　）

A．54° B．56° C．24° D．46°
5．（3分）若点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＞0 D．a＜﹣1或a＞0
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．5.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知一个不透明的袋中，有5个红球，3个白球，2个黑球，除颜色外小球完全一样，小明从袋中取出一个小球，取出的小球颜色为红色的概率是 　 　．
8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 　 　．
9．（3分）如图，⊙O的半径为6，弦AB的长度是10，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为 　 　．

10．（3分）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为 　 　．

11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则的长为 　 　．

12．（3分）如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上一动点（点C不与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解方程：x2﹣x＝0．
14．（3分）（1）解方程：x2﹣x＝0．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．

15．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．

16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）

（1）如图1，作∠C的平分线CP．
（2）如图2，作点M，使得点M与点A关于点D对称．

18．（6分）某品牌洗衣产品分为洗衣粉、洗衣液、洗衣片、洗衣凝珠四种类型（分别用A，B，C，D依次表示这四种类型）．小洁和小静计划每人购买一种该品牌洗衣产品，上述四种类型洗衣产品中的每一种被选中的可能性均相同．
（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的是洗衣凝珠的概率是 　 　．
（2）请你用列表法或树状图法表示出两人购买洗衣产品所有可能的结果，求两人选择同一种类型洗衣产品的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．
（1）求此期间五花肉价格月增长率．
（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．
20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积．

21．（8分）如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

23．（9分）如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值；
（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

六、（本大题共12分）
24．（12分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，
①求的值；
②求∠BHC的度数．
（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．



2022年江西省南昌市中考数学一调试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x3+x2+2＝0 B．y＝5﹣x C．x+＝5 D．x2+2x＝3
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B．方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．是分式方程，故该选项不符合题意；
D．该方程是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．（3分）已知点M的坐标是（﹣4，3），则点M关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点M（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（　　）

A．54° B．56° C．24° D．46°
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，即可得出∠A＝90°﹣∠ABD的度数，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝66°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣66°＝24°，
∵，
∴∠BCD＝∠A＝24°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
5．（3分）若点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＞0 D．a＜﹣1或a＞0
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数y＝（k＜0）的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，
∵y1＞y2，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y1＞y2，
∴a＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜0，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．5.5
【分析】利用两个角相等可证明△ADE∽△AEC，得，代入即可求出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AED＝∠B，
∴∠AED＝∠C，
∴180°﹣∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，
∴∠ADE＝∠AEC，
∴△ADE∽△AEC，
∴，
∵AE＝3，AC＝AB＝6，
∴，
∴AD＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△AEC是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知一个不透明的袋中，有5个红球，3个白球，2个黑球，除颜色外小球完全一样，小明从袋中取出一个小球，取出的小球颜色为红色的概率是 　　．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵口袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，
∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 　20　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出m+n和mn的值，m2+n2整理得：（m+n）2﹣2mn，代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣4，mn＝﹣2，
所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣4）2﹣2×（﹣2）＝16+4＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（3分）如图，⊙O的半径为6，弦AB的长度是10，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为 　　．

【分析】根据垂径定理得出AN＝BN＝AB，利用勾股定理得出ON即可．
【解答】解：∵ON⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∵AB＝10，
∴AN＝BN＝5，
在Rt△OAN中，ON2+AN2＝OA2，
∴ON＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则的值为 　　．

【分析】根据中位线的性质得：DE∥BC，DE＝BC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，
故答案：．
【点评】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
11．（3分）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则的长为 　π　．

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得∠D＝∠DAB＝90°，由DE＝AD＝2，得△ADE是等腰直角三角形，即知∠DAE＝45°，AE＝＝2，故∠EAB＝45°，从而可得＝π．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∵DE＝AD＝2，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝2，
∴∠EAB＝45°，
∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴AB＝AE＝2，
∴＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查矩形中的旋转问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，矩形性质及应用，解题的关键是掌握弧长公式及由矩形性质得到∠EAB＝45°．
12．（3分）如图，平面直角坐标系内，点A（4，0）与点B（0，8）是坐标轴上两点，点C是直线y＝2x上一动点（点C不与原点重合），若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为 　（4，8）或（﹣，﹣）或（，）　．

【分析】设C（x，2x），分∠ACB＝90°、∠BAC＝90°、∠ABC＝90°三种情况，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【解答】解：设C（x，2x），
∵点A（4，0）与点B（0，8），
∴AB2＝42+82＝80，
BC2＝x2+（2x﹣8）2＝5x2﹣32x+64，
AC2＝（2x）2+（x﹣4）2＝5x2﹣8x+16，
当∠ACB＝90°时，AC2+BC2＝AB2，
∴5x2﹣8x+16+5x2﹣32x+64＝80，解得x＝0（舍去）或4，
点C的坐标为或（4，8）；
当∠BAC＝90°时，AC2+AB2＝BC2，
∴5x2﹣8x+16+80＝5x2﹣32x+64，解得x＝﹣，
点C的坐标为（﹣，﹣）；
当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
5x2﹣8x+16＝5x2﹣32x+64+80，解得x＝，
点C的坐标为（，）．
综上所述，点C的坐标为（4，8）或（﹣，﹣）或（，）．
故答案为：（4，8）或（﹣，﹣）或（，）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）解方程：x2﹣x＝0．
【分析】利用因式分解法把方程化为x＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程．
【解答】解：x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
14．（3分）（1）解方程：x2﹣x＝0．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．

【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；
（2）根据旋转的性质可得∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1；
（2）由旋转可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，
∴∠EAB＝∠AEB＝（180°﹣32°）＝74°．
【点评】本题考查了旋转的性质，解一元二次方程﹣因式分解法，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
15．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．

【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠A＝∠CBD＝36°，可得结论．
【解答】证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，4），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；
（2）因为BC⊥y轴，所以C（0，4），利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标（0，﹣4），由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC∥x轴，所以S△ABC＝AC•BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴2m﹣4＝4，
∴m＝4，
∴B（4，4），
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，4），BC∥x轴，
∴BC＝4，
令x＝0，则y＝2x﹣4＝﹣4，
∴A（0，﹣4），
∴AC＝8，
∴S△ABC＝AC•BC＝16，
∴△ABC的面积为16．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画圆交BC于点D，请用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）

（1）如图1，作∠C的平分线CP．
（2）如图2，作点M，使得点M与点A关于点D对称．

【分析】（1）延长CA交圆于点A′，连接A′D交AB于点E，连接CE交圆于点P，CP即为∠C的平分线；
（2）结合（1）连接DP交AB于点F，连接A′F并延长交AD延长线于点M，即可得点M与点A关于点D对称．
【解答】解：（1）如图，CP即为所求；

（2）如图，点M即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，圆周角定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．（6分）某品牌洗衣产品分为洗衣粉、洗衣液、洗衣片、洗衣凝珠四种类型（分别用A，B，C，D依次表示这四种类型）．小洁和小静计划每人购买一种该品牌洗衣产品，上述四种类型洗衣产品中的每一种被选中的可能性均相同．
（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的是洗衣凝珠的概率是 　　．
（2）请你用列表法或树状图法表示出两人购买洗衣产品所有可能的结果，求两人选择同一种类型洗衣产品的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小洁随机选择一种洗衣产品，选的是洗衣凝珠的概率是；
故答案为：；

（2）根据题意画图如下
：
共有16种等可能结果，其中两人选择同一种类型洗衣产品的有4种结果，
所以两人选择同一种类型洗衣产品的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）香香猪肉铺10月五花肉售价约30元/千克，后受市场供需关系影响，五花肉价格逐月上涨，12月五花肉售价约为36.3元/千克，若在此期间五花肉价格每月增长率相同．
（1）求此期间五花肉价格月增长率．
（2）11月某天小刚妈妈用99元在香香猪肉铺买了一些五花肉包饺子，请问她买了多少五花肉．
【分析】（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可；
（2）由（1）中的增长率求得11月份五花肉的单价，然后由题意求得答案．
【解答】解：（1）设此期间五花肉价格月增长率为x，
由题意，得30（1+x）2＝36.3．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
答：此期间五花肉价格月增长率为10%；
（2）根据题意，得＝3（千克）．
答：她买了3千克五花肉．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，D恰好是BC的中点，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若∠BAC＝60°，OA＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）如图，连接OD，由D恰好是BC的中点，得到BD＝CD，得到OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，求得∠ODF＝∠DFC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OE，则OE＝OA，推出△AOE是等边三角形，得到∠AOE＝60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵D恰好是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于点F，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，则OE＝OA，
∵∠A＝60°，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵OA＝OE＝6，
∴S阴影＝﹣4×2＝π﹣4，
∴阴影部分的面积为π﹣4．

【点评】此题考查圆的切线的判定和性质，等腰三角形的性质、求扇形和三角形的面积等知识与方法，解题的关键是作经过切点的半径．
21．（8分）如图，昌昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝150°．已知昌昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）

【分析】过E作EF⊥BC于F，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝150°，
∴∠EDF＝30°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝2x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
即＝，
解得：x＝，
∴DE＝（28+28）米，
答：DE的长度为（28+28）米．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出DF，DE的长是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
（1）求反比例函数解析式．
（2）求直线AB解析式．
（3）请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，得出△BNC∽△AMC，根据相似三角形的性质求得AM＝9，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（x＞0）过点B（3，3），
∴k＝3×3＝9，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则AM∥BN，
∴△BNC∽△AMC，
∴＝，
∵点B（3，3），
∴BN＝3，
∵AB＝2BC，
∴＝＝，
∴AM＝9，
∴A的纵坐标为9，
把y＝9代入y＝得，x＝1，
∴A（1，9），
把A、B代入y2＝ax+b得，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣3x+12；
（3）由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是1＜x＜3．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标以及数形结合是解题的关键．
23．（9分）如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线段PH的中点，求m的值；
（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

【分析】（1）求出P（2m，﹣2m﹣4），判断P点在直线y＝2x﹣4上即可；
（2）联立，则x2﹣（4m+1）x+4m2+2m＝0，由韦达定理可得x1+x2＝4m+1，可知Q点横坐标为2m+1，再由中点坐标公式可得2m+1＝m，即可求m＝﹣1；
（3）设直线MN的解析式为y＝kx+b，联立，得到x2﹣kx﹣4﹣b＝0，由韦达定理可得m+n＝﹣k，mn＝﹣4﹣b，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，可证明△MAE∽△ANF，则＝，即＝，可求k与b的关系为：2k﹣b+1＝0，则直线MN的解析式为y＝x+b＝（1+x）b﹣，当x＝﹣2时，y＝1，由此可知直线MN经过定点（﹣2，1）．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2﹣2m﹣4，
∴P（2m，﹣2m﹣4），
将x＝2m代入y＝x﹣4，得y＝﹣2m﹣4，
∴P点在直线y＝﹣2x﹣4上；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴H（0，4），
联立，
∴x2﹣（4m+1）x+4m2+2m＝0，
∴x1+x2＝4m+1，
∴Q点横坐标为2m+1，
∵Q恰好是线段PH的中点，
∴2m+1＝m，
∴m＝﹣1；
（3）存在，理由如下：
当m＝0时，y＝x2﹣4，
令y＝0，则x＝±2，
∴A（2，0），
设M（m，m2），N（n，n2），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
联立，
∴x2﹣kx﹣4﹣b＝0，
∴m+n＝﹣k，mn＝﹣4﹣b，
过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，
∵MA⊥AN，
∴∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠NAF，
∴△MAE∽△ANF，
∴＝，
∵AE＝2﹣m，ME＝m2﹣4，AF＝n﹣2，NF＝n2﹣4，
∴＝，
∴2k﹣b+1＝0，
∴y＝x+b＝（1+x）b﹣，
∴当x＝﹣2时，y＝1，
∴直线MN经过定点（﹣2，1）．

【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质，会求函数交点坐标，灵活应用韦达定理是解题的关键．
六、（本大题共12分）
24．（12分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图1，连接BG、CF，
①求的值；
②求∠BHC的度数．
（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．


【分析】（1）①通过证明△CAF∽△BAG，可得＝；
②由①得出∠ACF＝∠ABG，∠CAB＝45°，最后用三角形的内角和定理，即可求出答案；
（2）过点C作CH∥EF，由“ASA”可证△CMH≌△FME，可得CH＝EF，ME＝HM，由“SAS”可证△BCH≌△BAE，可得BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，由三角形中位线定理可得结论．
【解答】解：（1）①如图1，连接AF，AC，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，，
∴△CAF∽△BAG，
∴＝；

②∵AC是正方形BCD的对角线，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）
＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝45°；

（2）BE＝2MN，MN⊥BE，
理由如下：如图2，连接ME，过点C作CQ∥EF，交直线ME于Q，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，
∵CQ∥EF，
∴∠FCQ＝∠CFE，
∵点M是CF的中点，
∴CM＝MF，
又∵∠CMQ＝∠FME，
∴△CMQ≌△FME（ASA），
∴CQ＝EF，ME＝QM，
∴AE＝CQ，
∵CQ∥EF，AG∥EF，
∴CQ∥AG，
∴∠QCF＝∠CRA，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠APR，
∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC，
∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，
∴∠BAE＝∠BCQ，
又∵BC＝AB，CQ＝AE，
∴△BCQ≌△BAE（SAS），
∴BQ＝BE，∠CBQ＝∠ABE，
∴∠QBE＝∠CBA＝90°，
∵MQ＝ME，点N是BE中点，
∴BQ＝2MN，MN∥BQ，
∴BE＝2MN，MN⊥BE．


【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．