湘教九下数学 解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

类型一　遇弦过圆心作弦的垂线或连半径

1．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(　　)

A．4  B.  C．8  D.

第1题图             第2题图

2．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16cm，CD＝6cm，⊙O的半径为________．

类型二　遇直径添加直径所对的圆周角

3．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠ACE＋∠BDE等于(　　)

A．60°  B．75°  C．90°  D．120°

第3题图                 第4题图

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是________．

5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.

类型三　遇切线连接圆心和切点

6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

7．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为________．

8．★如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.

(1)求证：∠ADC＝∠ABD；

(2)求证：AD2＝AM·AB；

(3)若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．

参考答案与解析

1．C　2.cm　3.C　4.50°

5．证明：连接BD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＋∠D＝90°.∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＋∠ACB＝90°.∵∠D＝∠ACB，∴∠BAD＝∠EAC.

6．C　7.32°

8．(1)证明：连接OD.∵CD是⊙O的切线，∴∠ADC＋∠ADO＝90°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADC＝∠ODB.又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ADC＝∠ABD.

(2)证明：由(1)得∠ADC＝∠ABD，∠ADB＝90°.又∵AM⊥MN，∴∠AMN＝∠ADB＝90°，∴△ADM∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AM·AB.

(3)解：由(1)知∠ADC＝∠ABD，∴sin∠ADC＝sin∠ABD＝，∴＝.又∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝＝10.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝8.∵∠BND＝∠BDA＝90°，∴∠BDN＋∠MDA＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠BDN＝∠BAD，∴△DBN∽△ABD，∴＝，∴BN＝＝.