湘教九下数学 中考热点专题：湖南中考特色题型考前集训

中考热点专题：湖南中考特色题型考前集训

类型一　阅读理解型问题

1. （2016·邵阳一模）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，则“凸轮”的周长等于　　　　.

2.（2016·湘潭中考）已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为　　　　.

3.（2016·长沙中考）若抛物线L：y＝ax2＋x＋c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫作抛物线L的“带线”，抛物线L叫作直线l的“路线”.

（1）若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝的图象上，它的“带线”l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式.

4.（2016·桂林中考）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝（其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积），并给出了证明.

例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：

∵a＝3，b＝4，c＝5，∴p＝＝6，∴S＝＝＝6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.

如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）求△ABC的内切圆半径r.

类型二　规律探究型问题

5.（2016·龙岩中考）如图①～④，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝　　　　.

参考答案与解析

1．π　2.x2＋y2＝1

3．解：(1)令直线y＝mx＋1中x＝0，则y＝1，即该直线与y轴的交点为(0，1)．将(0，1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中，得n＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y＝mx＋1中，得0＝m＋1，解得m＝－1；

(2)将y＝2x－4代入到y＝中，得2x－4＝，即2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴该“路线”L的顶点坐标为(－1，－6)或(3，2)．令“带线”l：y＝2x－4中x＝0，则y＝－4，∴“路线”L的图象过点(0，－4)．设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2，由题意得－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2，解得m＝2，n＝－.∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝－(x－3)2＋2.

4．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，∴p＝＝＝10，∴S＝＝＝10，故△ABC的面积为10；

(2)∵S＝r(AC＋BC＋AB)，∴10＝r(5＋6＋9)，解得r＝，故△ABC的内切圆半径r＝.

5．π　解析：(1)如图①，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E，F，则∠OEC＝∠OFC＝90°.∵∠C＝90°，∴四边形OECF为矩形．∵OE＝OF，∴矩形OECF为正方形．设⊙O的半径为r，则OE＝OF＝r.又∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AD＝AE＝3－r，BD＝BF＝4－r，∴3－r＋4－r＝5，∴r＝1，∴S1＝π×12＝π.

(2)如图②，由S△ABC＝×3×4＝×5×CD，∴CD＝.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2＋CD2，∴AD＝＝＝，∴BD＝AB－AD＝5－＝.同(1)得⊙O的半径为＝，⊙E的半径为＝，∴S1＋S2＝π×＋π×＝π；

(3)如图③，由S△CDB＝××＝×4×MD，∴MD＝.在Rt△CDM中，由勾股定理得CD2＝CM2＋DM2，∴CM＝＝＝，∴MB＝BC－CM＝4－＝.同(1)得⊙O的半径为，⊙E的半径为＝，⊙F的半径为＝，∴S1＋S2＋S3＝π×＋π×＋π×＝π.依次类推得S1＋S2＋S3＋…＋S10＝π.