湘教版八下数学 解题技巧专题：中点问题

解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题

类型一　两个一次函数结合的问题

1．(曲靖中考)如图，已知直线y1＝－x＋1与x轴交于点A，与直线y2＝－x交于点B.求：

(1)△AOB的面积；

(2)y1>y2时，x的取值范围．

2．(上海中考)某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA(千克)与时间x(时)的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB(千克)与时间x(时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)求yB关于x的函数表达式；

(2)如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？

3．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y(千米)与时刻t(时)的对应关系如图所示：

(1)A，B两城之间距离是多少千米？

(2)求乙车出发多长时间追上甲车；

(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．【方法16】

类型二　与一次函数相关的分段函数问题

4．小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费用外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元．

5．如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：

(1)点P在AB上运动的速度为________，在CD上运动的速度为________；

(2)求出点P在CD上时S与t的函数关系式；

(3)t为何值时，△APD的面积为10cm2?

6．(南充中考)小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．他们家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．

(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；

(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？

(3)在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留时间需作怎样的调整？

类型三　与一次函数相关的最值或方案设计问题

7．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．

(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；

(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

8．(衡阳中考)为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．

(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；【易错8】

(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．

参考答案与解析

1．解：(1)联立解得所以B点的坐标为.令y1＝－x＋1＝0，得x＝2，所以点A的坐标为(2，0)，所以OA＝2，OA上的高为，所以S△AOB＝×2×＝.

(2)由图可知y1>y2时，x>－1.

2．解：(1)设yB关于x的函数表达式为yB＝k1x＋b(k1≠0)，把点E(1，0)和点P(3，180)的坐标代入，得解得所以yB关于x的函数表达式为yB＝90x－90(1≤x≤6)．

(2)设yA关于x的函数表达式为yA＝k2x(k2≠0)，把P(3，180)代入，得180＝3k2，k2＝60，∴yA＝60x.当x＝5时，yA＝5×60＝300；当x＝6时，yB＝90×6－90＝450，450－300＝150(千克)．

答：B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．

3．解：(1)从图象中得A，B两地相距300千米．

(2)设甲车在行驶过程中y与t的表达式为y甲＝k1t＋b1，∵图象过(5，0)和(10，300)两点，∴解得∴y甲＝60t－300.设乙车在行驶过程中y与t的表达式为y乙＝k2t＋b2，∵图象过(6，0)和(9，300)两点，∴解得∴y乙＝100t－600.当乙车追上甲车时，它们所行驶的路程相同，即60t－300＝100t－600，解得t＝7.5.7.5－6＝1.5(小时)，∴乙车出发1.5小时追上甲车．

(3)小时或2小时或3小时或小时．　解析：①当y甲＝20时，即60t－300＝20，解得t＝，－5＝(小时)；②当y甲－y乙＝20时，即60t－300－(100t－600)＝20，解得t＝7，7－5＝2(小时)；③当y乙－y甲＝20时，即100t－600－(60t－300)＝20，解得t＝8，8－5＝3(小时)；④当y甲＋20＝300时，即60t－300＋20＝300，解得t＝，－5＝(小时)．∴甲车出发小时或2小时或3小时或小时，两车相距20千米．

4．解：(1)当0<x≤1时，y＝6＋22＝28；当x>1时，y＝6＋22＋10(x－1)＝10x＋18.∴y＝

(2)当x＝2.5时，y＝10×2.5＋18＝43.∴这次快递的费用是43元．

5．解：(1)1cm/s　2cm/s

(2)设点P在CD上时S与t的函数关系式为S＝kt＋b(k≠0)．由图分析知其过(12，18)，(15，0)两点．代入得解得∴S＝90－6t(12≤t≤15)．

(3)当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10cm2，即S＝10时，3t＝10，t＝；当12≤t≤15时，90－6t＝10，t＝.综上所述，当t为s或s时，△APD的面积为10cm2.

6．解：(1)s＝

(2)设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为s＝kt＋b，则解得则s＝30t＋250.当50t－500＝30t＋250，即t＝37.5，即小明出发37.5min与爸爸第三次相遇．

(3)30t＋250＝2500，解得t＝75，即小明的爸爸到达公园需要75min.∵小明到达公园需要的时间是60min，∴小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.

7．解：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元．依题意得解得所以一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元．

(2)设购进A型节能灯m只，总费用为w元．依题意得w＝5m＋7(50－m)＝－2m＋350.∵－2<0，∴当m取最大值时w有最小值．又∵m≤3(50－m)，∴m≤37.5.而m为正整数，∴m＝37，∴50－m＝13.故最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯，13只B型节能灯．

8．解：(1)因为从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有(80－x)吨，从乙仓库运往A港口的有(100－x)吨，运往B港口的有50－(80－x)＝(x－30)吨，所以y＝14x＋20(100－x)＋10(80－x)＋8(x－30)＝2560－8x(30≤x≤80)．

(2)由(1)得y＝2560－8x，y随x增大而减少，所以当x＝80时总运费最小，y最小＝2560－8×80＝1920(元)，此时的方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．