2021年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2， C．2，3，4 D．4，5，6
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C的度数为（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．（3分）点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣2x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
7．（3分）已知四边形ABCD，以下有四个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝AD，BC＝CD
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB∥CD，AD∥BC
8．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）

A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+
9．（3分）某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是（　　）

A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟
B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园
C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时
D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
10．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（3分）学校把学生的笔试成绩，实践能力，成长记录三项成绩分别按5：2：3计入学期总评成绩，已知甲的三项成绩分别为90、83、95（单位：分），则甲的学期总评成绩是 　 　分．
13．（3分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是 　 　．

14．（3分）如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　 　．

15．（3分）如图，若点K为正方形ABCD的边CD上一点，AD＝3，∠DAK＝30°，点M为AK的中点，过点M的直线分别交AD边，BC边于点P，Q，且PQ＝AK，则AP的长为　 　．

三.解答下列各题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+（+1）×（﹣1）；
（2）（+）×﹣2．
17．（9分）已知：如图，将两个全等的等腰三角形ABC和FDE放置在直线l两侧，AB＝AC，FD＝FE，连接AE，BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）将△ABC沿直线l向左平移，填空：
①当点B与点D重合，且四边形ABFC是正方形时，则∠BAC的度数为 　 　；
②当点C与点D重合，且四边形ABFE是矩形时，则∠BAC的度数为 　 　．

18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝k1x+b经过点（，）和（1，3），直线l2：y2＝k2x经过点（m，m）．
（1）分别求出两直线的解析式；
（2）填空：①当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 　 　；
②将直线l1向上平移2个单位，则平移后的直线与直线l2和x轴围成的区域内有 　 　个整数点（横、纵坐标都为整数的点叫整数点，不包括边界上的整数点）．

19．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

20．（9分）新冠疫情爆发以来，我国采取了强有力的措施，阻断疫情的蔓延，成为大国担当的典范．为了解学生对疫情防控知识掌握情况，现对甲、乙两所学校各有400名学生进行了知识竞赛，抽样调查的过程如下，请补充完整：
【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，他们的成绩如下：
甲 30 60 60 70 60 80 30 90 100 60 60 100 80 60 70 60 60 90 60 60
乙 80 90 40 60 80 80 90 40 80 50 80 70 70 70 70 60 80 50 80 80
【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
学校
30≤x≤50
50＜x≤80
80＜x≤100
甲
2
14
4
乙
4
14
2
说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
67
a
60
341
乙
70
75
b
220
其中a＝　 　，b＝　 　．
【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 　 　（填“甲”或“乙”）校的学生．
（2）根据以上数据，请估计甲、乙两个学校在这次竞赛中成绩为优秀的学生各有多少人？
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
21．（10分）某社区为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式yA＝　 　、yB＝　 　；
（2）若只能在一家超市购买，请求出在A超市购买更划算的x的范围；
（3）若可以同时在两家超市购买，每副球拍配10个羽毛球，则购买费用最少为 　 　元（直接写出结果，不必写出解答过程）．
22．（10分）如图，▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝3cm，E是DC中点，P是线段AB上一动点，连接PE，设P，A两点间的距离为xcm，P，E两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，x的值为0）．小东根据学习一次函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，请补充完整（说明：相关数值保留一位小数）；
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y/cm
6.3
5.4
4.5
3.7
m
2.5
2.4
2.7
3.3
表格中m的值为 　 　；
（2）建立平面直角坐标系，根据补全后的表中各对对应值描点，并画出该函数的图象；

（3）借助函数图象，解决问题：
①当y取最小值时，x的值约为 　 　cm．（结果保留一位小数）
②当△APE是等腰三角形时，PA的长度约为 　 　cm．（结果保留一位小数）

23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：
①BP与CE的数量关系是 　 　，
②CE与AD的位置关系是 　 　；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由，．
（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若AB＝2，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积值．


2020-2021学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不能化简，不是同类二次根式，错误；
B、不是同类二次根式，错误；
C、是同类二次根式，正确；
D、不是同类二次根式，错误；
故选：C．
2．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2， C．2，3，4 D．4，5，6
【解答】解：A、12+12≠22，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形；
B、12+22＝（）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
C、22+32≠42，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；
D、42+52≠62，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形；
故选：B．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝2，故本选项正确；
B、3﹣＝2，故本选项错误；
C、2与不能合并，故本选项错误；
D、＝2，故本选项错误．
故选：A．
4．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．＝3，不是最简二次根式；
B．＝2，不是最简二次根式；
C．＝，不是最简二次根式；
D．是最简二次根式；
故选：D．
5．（3分）已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C的度数为（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠C＝∠A＝×180°＝36°．
故选：B．
6．（3分）点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）都在直线y＝﹣2x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，
∴此函数中y随x的增大而减小，
∵3＞﹣2，
∴y1＜y2．
故选：B．
7．（3分）已知四边形ABCD，以下有四个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝AD，BC＝CD
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB∥CD，AD∥BC
【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形为平行四边形；故不符合题意；
B、AB＝AD，BC＝CD不能判定四边形为平行四边形；故不符合题意；
C、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形为平行四边形；故不符合题意；
D、AB∥CD，AD∥BC可以根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形进行判定；故符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）

A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+
【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，
∴OA＝OB＝，
∴a＝﹣1﹣．
故选：A．

9．（3分）某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是（　　）

A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟
B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园
C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时
D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
【解答】解：A、车行驶到一半路程时，加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确，不符合题意；
B、汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点05分到达植物园，故本选项正确，不符合题意；
C、汽车加油后的速度为30÷＝60千米/时，故本选项正确，不符合题意；
D、汽车加油前的速度为30÷＝72千米/时，60＜72，加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度慢；故本选项不正确，符合题意．
故选：D．
10．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，
故选：D．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　x≤2　．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12．（3分）学校把学生的笔试成绩，实践能力，成长记录三项成绩分别按5：2：3计入学期总评成绩，已知甲的三项成绩分别为90、83、95（单位：分），则甲的学期总评成绩是 　90.1　分．
【解答】解：甲同学的总评成绩为：＝90.1（分），
故答案为：90.1．
13．（3分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是 　5　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE＝CF＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AB＝＝，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5．
14．（3分）如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　8　．

【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故答案为：8．

15．（3分）如图，若点K为正方形ABCD的边CD上一点，AD＝3，∠DAK＝30°，点M为AK的中点，过点M的直线分别交AD边，BC边于点P，Q，且PQ＝AK，则AP的长为　1或2　．

【解答】解：当如图（1）时，过D作DN∥PN，交BC于点N，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，PD∥QN，
∴四边形PQND为平行四边形，
∴PQ＝DN，
∵PQ＝AK，
∴AK＝DN，
由（2）可得：AK⊥DN，
∴PQ⊥AK，
∴∠AMP＝90°，
∵M为AK的中点，
∴AM＝AK＝，
设PM＝x，在Rt△ADK中，∠DAK＝30°，
∴AP＝2PM＝2x，
根据勾股定理得：PM2+AM2＝AP2，即x2+（x）2＝（2x）2，
∵x＞0．
∴x＝1，
∴AP＝2x＝2；
当如图（2）时，过P作PN⊥BC，交BC于点N，交AK于点F，

同理可证：Rt△ADK≌Rt△PNQ（HL），
∴∠DAK＝∠NPQ＝30°．
∴∠AMP＝180°﹣∠PAM﹣∠APM＝30°．
∴PF＝MF．
在Rt△APF中，∠DAK＝30°，
∴AF＝2PF，
∴AF＝2MF．
∴AF＝，MF＝．
根据勾股定理得：AP＝1．
综上可知，AP的长等于1或2，
故答案为1或2．
三.解答下列各题（共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣+（+1）×（﹣1）；
（2）（+）×﹣2．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1
＝+2；
（2）原式＝（2+）×﹣
＝3×﹣
＝9﹣
＝8．
17．（9分）已知：如图，将两个全等的等腰三角形ABC和FDE放置在直线l两侧，AB＝AC，FD＝FE，连接AE，BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）将△ABC沿直线l向左平移，填空：
①当点B与点D重合，且四边形ABFC是正方形时，则∠BAC的度数为 　90°　；
②当点C与点D重合，且四边形ABFE是矩形时，则∠BAC的度数为 　60°　．

【解答】（1）证明：∵三角形ABC和FDE是两个全等的三角形，且AB＝AC，FD＝FE，
∴∠ABC＝∠FED，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴AB∥EF，
又∵AB＝EF，
∴四边形ABFE是平行四边形；
（2）①当点B与点D重合，且四边形ABFC是正方形时，
如图所示：

则∠BAC的度数为90°，
故答案为：90°；
②当点C与点D重合，且四边形ABFE是矩形时，
如图所示：

则AC＝CE＝AC＝CF，
∴△ABC是等边三角形，
∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝k1x+b经过点（，）和（1，3），直线l2：y2＝k2x经过点（m，m）．
（1）分别求出两直线的解析式；
（2）填空：①当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 　x＜2　；
②将直线l1向上平移2个单位，则平移后的直线与直线l2和x轴围成的区域内有 　4　个整数点（横、纵坐标都为整数的点叫整数点，不包括边界上的整数点）．

【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝k1x+b经过点（，）和（1，3），
∴，解得，
∴直线l1：y1＝﹣x+4；
∵直线l2：y2＝k2x经过点（m，m），
∴m＝mk2，
∴k2＝1，
∴直线l2：y2＝x；
（2）①由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜2；
②将直线l1向上平移2个单位，则平移后的直线为y＝﹣x+6，
与x轴的交点为（6，0），
由解得，
∴交点为（3，3），
∴平移后的直线与直线l2和x轴围成的区域内的整点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1）共4个，
故答案为①x＜2；②4．
19．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

【解答】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8．
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2．
∴∠BAF＝90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积＝AB•AF＝BF•AE．
∴AE＝＝＝．
20．（9分）新冠疫情爆发以来，我国采取了强有力的措施，阻断疫情的蔓延，成为大国担当的典范．为了解学生对疫情防控知识掌握情况，现对甲、乙两所学校各有400名学生进行了知识竞赛，抽样调查的过程如下，请补充完整：
【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，他们的成绩如下：
甲 30 60 60 70 60 80 30 90 100 60 60 100 80 60 70 60 60 90 60 60
乙 80 90 40 60 80 80 90 40 80 50 80 70 70 70 70 60 80 50 80 80
【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
学校
30≤x≤50
50＜x≤80
80＜x≤100
甲
2
14
4
乙
4
14
2
说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
67
a
60
341
乙
70
75
b
220
其中a＝　60　，b＝　80　．
【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 　甲　（填“甲”或“乙”）校的学生．
（2）根据以上数据，请估计甲、乙两个学校在这次竞赛中成绩为优秀的学生各有多少人？
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解答】解：【分析数据】∵甲校的20名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第10个和第11个数据都是60，
∴中位数为60，即a＝60；
∵乙校的20名同学的成绩中80分出现次数最多，
∴众数为80分，即b＝80，
故答案为：60，80；
【得出结论】（1）∵甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
∴由表中数据可知小明是甲校的学生，
故答案为：甲；
（2）400×＝80（人），
400×＝40（人）．
故估计甲学校在这次竞赛中成绩为优秀的学生有80人，估计乙学校在这次竞赛中成绩为优秀的学生有40人；
（3）乙校的成绩较好．
理由：∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，
∴乙校的成绩较好．
21．（10分）某社区为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式yA＝　27x+270　、yB＝　30x+240　；
（2）若只能在一家超市购买，请求出在A超市购买更划算的x的范围；
（3）若可以同时在两家超市购买，每副球拍配10个羽毛球，则购买费用最少为 　516　元（直接写出结果，不必写出解答过程）．
【解答】解：（1）由题意，得yA＝（10×30+3×10x）×0.9＝27x+270；
yB＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240；
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240，得x＝10；
当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10；
当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．
（3）设在B超市买a副拍，送2a只羽毛球，则在A超市买（10﹣a）副拍，买（100﹣2a）个羽毛球，
则总费用w＝30a+30×0.9×（10﹣a）+3×0.9×（100﹣2a）＝﹣2.4a+540，
k＝﹣2.4＜0，
当a＝10时，w最小，最小值为516元．
故答案为：（1）27x+270；30x+240；（3）516．
22．（10分）如图，▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝3cm，E是DC中点，P是线段AB上一动点，连接PE，设P，A两点间的距离为xcm，P，E两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，x的值为0）．小东根据学习一次函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，请补充完整（说明：相关数值保留一位小数）；
x/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y/cm
6.3
5.4
4.5
3.7
m
2.5
2.4
2.7
3.3
表格中m的值为 　3.0　；
（2）建立平面直角坐标系，根据补全后的表中各对对应值描点，并画出该函数的图象；

（3）借助函数图象，解决问题：
①当y取最小值时，x的值约为 　5.8　cm．（结果保留一位小数）
②当△APE是等腰三角形时，PA的长度约为 　3.3或6.3　cm．（结果保留一位小数）

【解答】解：（1）如图：

当x＝4.0时，AP＝4，
∵▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝3cm，E是DC中点，
∴DE＝4，AB∥CD，
∴AP＝DE，AP∥DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∴PE＝AD＝BC＝3cm，
即当x＝4.0时，y＝3.0，
∴m＝3.0，
故答案为：3.0；
（2）利用描点法，图象如图所示．

（3）①由函数图象得，当y取最小值时，x的值约为5.8cm；
②当△APE是等腰三角形时，有两种情况，如图：

∵x＝0时，y＝6.3cm，
∴AP2＝6.3cm，
由函数图象得，x≈3.3时，y≈3.3cm，
∴当△APE是等腰三角形时，PA的长度约为3.3或6.3cm．
故答案为：①5.8；②3.3或6.3．
23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：
①BP与CE的数量关系是 　BP＝CE　，
②CE与AD的位置关系是 　CE⊥AD　；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由，．
（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若AB＝2，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积值．

【解答】解：（1）①如图1，
连接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵△PAE是等边三角形，且点E在边AD上，
∴AP＝AE，∠DAP＝60°，
∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴点P在AC上，
在△ABP和△ACE中，
，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，
故答案为BP＝CE，

②连接AC，如图1，由①知，点P在AC上，
∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
∴∠APB＝90°，
由①知，△ABP≌△ACE，
∴∠AEC＝∠APB＝90°，
∴CE⊥AD，
故答案为CE⊥AD；

（2）结论仍然成立．
理由：Ⅰ、当点P在线段BD上时，如图2，
连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．
Ⅱ、当点P在BD的延长线上时，
连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．

（3）由（2）知，BD⊥AC，∴∠AOB＝90°
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD＝2OB，
∠BAD＝∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，AB＝2，
∴OA＝1，OB＝，
∴BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，
Ⅰ、当点P在线段BD上时，如图4，
∵DP＝1，
∴BP＝BD﹣DP＝2﹣1，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝2﹣1，
∴S四边形ACDE＝S△ACE+S△DCE
＝CE•AH+CE•DH
＝CE•（AH+DH）
＝CE•AD
＝（2﹣1）×2
＝2﹣1；
Ⅱ、当点P在线段BD的延长线上时，如图5，
∵DP＝1，
∴BP＝BD+DP＝2+1，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝2+1，
∴S四边形ACDE＝S△ACE+S△DCE
＝CE•AH+CE•DH
＝CE•（AH+DH）＝CE•AD
＝（2+1）×2
＝2+1，
即四边形ACDE的面积为2+1或2﹣1．





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