2021年福建省晋江市八年级下学期期末考试数学试卷+答案

这是一份2021年福建省晋江市八年级下学期期末考试数学试卷+答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省泉州市晋江市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）计算（﹣2021）0的结果正确的是（　　）
A．﹣2021 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
3．（4分）“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（　　）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
4．（4分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（4分）函数y＝x﹣2的图象经过的象限是（　　）
A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限
C．第一，三，四象限 D．第二，三，四象限
6．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则BC的长是（　　）

A．12 B．9 C．8 D．6
7．（4分）甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为＝＝7，方差s甲2＝3.2，s乙2＝2；则投篮的命中率较稳定的是（　　）
A．两人一样稳定 B．甲
C．乙 D．无法判断
8．（4分）某网店用2000元购进A型小电风扇的台数比用3000元购进B型小电风扇台数少10台，且B型小电风扇每台进价是A型小电风扇每台进价的1.2倍．求A，B两种型号小电风扇每台的进价．若设A型号的小电风扇每台进价为x元，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝kx+1在同一直角坐标系中交于点（﹣2，3），则当n＜1时，关于x的不等式mx+n＞kx+1的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是四条边的中点，已知矩形ABCD的面积为48cm2，周长为28cm，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）方程＝2的解是x＝　 　．
12．（4分）学生的体育成绩由两部分组成：理论测试占10%，体育技能测试占90%．小明本学期理论成绩100分，体育技能成绩90分，则本学期小明的体育成绩为 　 　分．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝280°，则∠B＝　 　°．
14．（4分）在压力不变的情况下，压强是受力面积的反比例函数，当物体的压力F为100牛时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是 　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　 　°时，四边形AEDF是矩形．

16．（4分）甲骑电动车从A地以匀速前往B地，到达B地后停止，在甲车出发的同时乙骑助力车从B地匀速前往A地，到达A地后停止，甲的速度比乙快．两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，根据图象得出下列信息：
①A，B两地相距15千米；
②甲从A地到B地用了45分钟；
③甲到达B地时，乙离A地还有4千米；
④甲骑电动车的速度为25千米/时．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确的序号）

三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：•﹣．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．

19．（8分）为了推动垃圾分类进校园，增强学生垃圾分类的意识，某校举行垃圾分类知识竞赛．随机抽取了两个年级各20名同学的成绩，通过数据整理、分析，得到统计图表．

班级
平均数
中位数
众数
七年级
a
70
c
八年级
71.5
b
80
根据所给的信息，解答下列问题：
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）结合两个年级学生成绩的平均数、中位数和众数，分析哪个年级学生的成绩较好．
20．（8分）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若点（a，y1），（a+2，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．
21．（8分）已知分式A＝（1+）÷．
（1）化简这个分式；
（2）若当a取正整数时，求得分式A的值也是正整数，试求a的值．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）利用直尺和圆规作菱形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若菱形ABCD的面积为120cm2，AC＝10，求边AD的长．

23．（10分）如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线y＝x+3经过点B，E．
（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；
（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．

24．（12分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝2∠ABC，∠α的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．

（1）求∠α的度数；
（2）如图2，将∠α绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F．
①试探究CE，CF的数量关系，并证明你的结论；
②连结EF，在旋转过程中，△CEF的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出△CEF周长的最小值．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝8，OC＝4，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．

（1）若△CDO的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在BC边上移动时，延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并证明你的判断．

2020-2021学年福建省泉州市晋江市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）计算（﹣2021）0的结果正确的是（　　）
A．﹣2021 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．
【解答】解：（﹣2021）0＝1．
故选：D．
2．（4分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2；
故选：B．
3．（4分）“柳条初弄绿，已觉春风驻”．每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，则0.00105用科学记数法可表示为（　　）
A．﹣1.05×103 B．1.05×10﹣3 C．1.05×10﹣4 D．105×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00105＝1.05×10﹣3．
故选：B．
4．（4分）下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
5．（4分）函数y＝x﹣2的图象经过的象限是（　　）
A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限
C．第一，三，四象限 D．第二，三，四象限
【分析】根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到该函数经过哪几个象限．
【解答】解：∵y＝x﹣2，k＝1＞0，b＝﹣2＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
6．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则BC的长是（　　）

A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，再由已知求出CO+BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝6，
∵AC+BD＝16，
∴CO+BO＝8，
∵△BCO的周长为14，
∴OC+OB+BC＝14，
∴BC＝6．
故选：D．
7．（4分）甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为＝＝7，方差s甲2＝3.2，s乙2＝2；则投篮的命中率较稳定的是（　　）
A．两人一样稳定 B．甲
C．乙 D．无法判断
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s甲2＝3.2，s乙2＝2，
∴s乙2＜s甲2，
∴投篮的命中率较稳定的是乙，
故选：C．
8．（4分）某网店用2000元购进A型小电风扇的台数比用3000元购进B型小电风扇台数少10台，且B型小电风扇每台进价是A型小电风扇每台进价的1.2倍．求A，B两种型号小电风扇每台的进价．若设A型号的小电风扇每台进价为x元，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设A型号的小电风扇每台进价为x元，根据B型小电风扇每台进价是A型小电风扇每台进价的1.2倍列出分式方程解答即可．
【解答】解：设A型号的小电风扇每台进价为x元，根据题意得：，
故选：A．
9．（4分）直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝kx+1在同一直角坐标系中交于点（﹣2，3），则当n＜1时，关于x的不等式mx+n＞kx+1的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】根据直线l2：y＝kx+1经过点（﹣2，3）确定k＝﹣1，进而根据当n＜1和直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝kx+1在同一直角坐标系中交于点（﹣2，3）确定两条直线的位置关系，进而求解．
【解答】解：∵直线l2：y＝kx+1经过点（﹣2，3），
∴3＝﹣2k+1，
∴k＝﹣1，
∵直线l1：y＝mx+n与直线l2：y＝kx+1在同一直角坐标系中交于点（﹣2，3），
∴当n＜1时，关于x的不等式mx+n＞kx+1的解集是x＜﹣2，
故选：D．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是四条边的中点，已知矩形ABCD的面积为48cm2，周长为28cm，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm
【分析】连接BC，根据题意列出方程，解方程分别求出BC、AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：连接BC，
设BC的长为xcm，
∵矩形ABCD的周长为28cm，
∴AB的长为（14﹣x）cm，
由题意得：x（14﹣x）＝48，
解得：x1＝6，x2＝8，
则14﹣x＝8或6，
∴BC＝8cm，AB＝6cm，
由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∵点E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF＝AC＝5cm，
同理可得：FG＝GH＝HE＝5cm，
∴四边形EFGH的周长＝5+5+5+5＝25（cm），
故选：C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）方程＝2的解是x＝　﹣5　．
【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验．
【解答】解：去分母，得：x﹣1＝2（x+2），
解得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，x+2≠0，
∴x＝﹣5是原分式方程的解，
故答案为：﹣5．
12．（4分）学生的体育成绩由两部分组成：理论测试占10%，体育技能测试占90%．小明本学期理论成绩100分，体育技能成绩90分，则本学期小明的体育成绩为 　91　分．
【分析】利用加权平均数计算即可求出答案．
【解答】解：由题意知，本学期小明的体育成绩为100×10%+90×90%＝91（分）．
故答案为：91．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝280°，则∠B＝　80　°．
【分析】根据四边形的内角和等于360°和已知∠A+∠B+∠C＝280°求出即．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
又∵∠A+∠B+∠C＝280°，
∴∠D＝360°﹣280°＝80°，
∴∠B＝∠D＝80°，
故答案为：80．
14．（4分）在压力不变的情况下，压强是受力面积的反比例函数，当物体的压力F为100牛时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是 　P＝　．
【分析】直接利用反比例函数关系得出P＝，进而代入F＝100求出答案．
【解答】解：∵在压力F不变的情况下，压强P是受力面积S的反比例函数，
∴P＝，
∵物体的压力F为100牛，
∴该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：P＝．
故答案为：P＝．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　45　°时，四边形AEDF是矩形．

【分析】证明四边形AEDF是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，则可得出∠A＝90°，由矩形的判定可得出答案．
【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为45．
16．（4分）甲骑电动车从A地以匀速前往B地，到达B地后停止，在甲车出发的同时乙骑助力车从B地匀速前往A地，到达A地后停止，甲的速度比乙快．两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示，根据图象得出下列信息：
①A，B两地相距15千米；
②甲从A地到B地用了45分钟；
③甲到达B地时，乙离A地还有4千米；
④甲骑电动车的速度为25千米/时．
其中正确的是 　①④　．（写出所有正确的序号）

【分析】根据图象可得A，B两地相距15千米，由甲的速度比乙快得乙从B地到A地用了45分钟，则乙车的速度为15÷＝20（千米/时），根据相遇时时间，求出甲车的速度，得到甲车从A地到达B地的时间，可得甲到达B地时，乙车行驶的时间，进而可得乙车行驶的路程，即可得甲到达B地时，乙离A地的距离．
【解答】解：由图象可知，
A，B两地相距15千米，①正确；
∵甲的速度比乙快，
∴乙从B地到A地用了45分钟，②错误；
∴乙车的速度为15÷＝20（千米/时），
∴甲车的速度为15÷﹣20＝25（千米/时），④正确；
∴甲车从A地到达B地的时间为15÷25＝（小时），
∴甲到达B地时，乙车行驶了小时，
∴甲到达B地时，乙离A地的距离为15﹣20×＝3（千米），③错误．
综上，正确的结论是①④，
故答案为：①④．
三、解答题：本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：•﹣．
【分析】先根据分式的乘法法则算乘法，再根据分式的减法法则算减法即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．

【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质和AE＝CF可得DF＝EB，DF∥EB，进而可得四边形DFBE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF．
19．（8分）为了推动垃圾分类进校园，增强学生垃圾分类的意识，某校举行垃圾分类知识竞赛．随机抽取了两个年级各20名同学的成绩，通过数据整理、分析，得到统计图表．

班级
平均数
中位数
众数
七年级
a
70
c
八年级
71.5
b
80
根据所给的信息，解答下列问题：
（1）写出表中a，b，c的值；
（2）结合两个年级学生成绩的平均数、中位数和众数，分析哪个年级学生的成绩较好．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可．
【解答】解：（1）∵条形统计图中的数据得，七年级20名学生的测试成绩60出现次数的最多，
∴c＝60，
由条形统计图可得，八年级20名学生的测试成绩第10，第11个数为：70，80，
∴b＝（70+80）÷2＝75，
七年级20名学生的测试成绩的平均数a＝（50×2+60×6+70×3+80×5+90×4）＝71.5，
故答案为：a＝71.5，b＝75，c＝60；
（2）八年级学生的成绩较好，
理由：两个年级学生成绩的平均数相同，八年级的中位数和众数大于七年级，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好．
20．（8分）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若点（a，y1），（a+2，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）根据正比例函数的性质进行判断．
【解答】解：（1）设y＝kx，
把x＝2，y＝6代入得2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
所以这个正比例函数的表达式为y＝﹣3x；
（2）因为k＝﹣3＜0，
所以y随x的增大而减小，
又因为a+2＞a，
所以y1＞y2．
21．（8分）已知分式A＝（1+）÷．
（1）化简这个分式；
（2）若当a取正整数时，求得分式A的值也是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子；
（2）根据（1）中化简的式子和当a取正整数时，求得分式A的值也是正整数，即可得到a的值．
【解答】解：（1）A＝（1+）÷
＝
＝
＝；
（2）∵A＝＝＝1+，当a取正整数时，求得分式A的值也是正整数，
∴a﹣2是3的因数，
∴a﹣2为1或3，
∴a＝3或5，
即a的值是3或5．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）利用直尺和圆规作菱形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若菱形ABCD的面积为120cm2，AC＝10，求边AD的长．

【分析】（1）分别以A、C为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于D点，则AD＝CD＝AB＝BC，所以四边形ABCD为菱形；
（2）连接BD交AC于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝5，OB＝OD，再利用菱形的面积公式计算出BD＝24cm，则OD＝12cm，然后根据勾股定理可计算出AD的长．
【解答】解：（1）如图，菱形ABCD为所作；

（2）连接BD交AC于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝5，OB＝OD，
∵菱形ABCD的面积为120cm2，
∴•BD•AC＝120，
∴BD＝＝24（cm），
∴OD＝BD＝12cm，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝13（cm）．
23．（10分）如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线y＝x+3经过点B，E．
（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；
（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．

【分析】（1）设正方形OABC边长为m，正方形ODEF边长为n，则B（m，m），E（﹣n，n），将B（m，m）代入y＝x+3可解得m＝6，将E（﹣n，n）代入y＝x+3，可解得n＝2，故正方形OABC边长为6，正方形ODEF边长为2；
（2）由（1）可得B（6，6），E（﹣2，2），A（6，0），C（0，6），即得P（2，4），设直线AC解析式为y＝kx+b，用待定系数法可得直线AC解析式为y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝4，即得P（2，4）在直线AC上，故点C，P，A三点在同一条直线上．
【解答】（1）解：设正方形OABC边长为m，正方形ODEF边长为n，则B（m，m），E（﹣n，n），
将B（m，m）代入y＝x+3得m＝m+3，解得m＝6，
将E（﹣n，n）代入y＝x+3得n＝﹣n+3，解得n＝2，
∴正方形OABC边长为6，正方形ODEF边长为2；
（2）证明：由（1）知正方形OABC边长为6，正方形ODEF边长为2，
∴B（6，6），E（﹣2，2），A（6，0），C（0，6），
∵点P是BE的中点，
∴P（2，4），
设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（6，0），C（0，6）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝﹣2+6＝4，
∴P（2，4）在直线AC上，
∴点C，P，A三点在同一条直线上．
24．（12分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝2∠ABC，∠α的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．

（1）求∠α的度数；
（2）如图2，将∠α绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F．
①试探究CE，CF的数量关系，并证明你的结论；
②连结EF，在旋转过程中，△CEF的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出△CEF周长的最小值．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得∠BAD+∠ABC＝180°，根据∠BAD＝2∠ABC，即得∠ABC＝60°，故∠α＝∠BAC＝60°；
（2）①数量关系是：CF+CE＝2，理由是：由四边形ABCD是菱形，可得△ABC和△ACD是等边三角形，即得BC＝AB＝AC＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，即可证明△ABE≌△ACF（ASA），从而BE＝CF，故CF+CE＝2；
②△CEF的周长发生改变化，理由是：由△ABE≌△ACF，CF+CE＝2，可得AE＝AF，△AEF是等边三角形，即有EF＝AE＝AF，当EF最小时，△CEF周长的最小，即AE最小时，△CEF周长的最小，此时AE⊥BC，在Rt△ABE中，可得AE＝＝，即EF＝AE＝，△CEF周长的最小值为EF+CF+CE＝+2．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠BAD＝60°，
∵∠α的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，
∴∠α＝∠BAC＝60°；
（2）①CF+CE＝2，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAC＝60°＝∠DAC，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，
∵∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝60°﹣∠EAC，∠CAF＝∠α﹣∠EAC＝60°﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝2，
∴CF+CE＝2；
②△CEF的周长发生改变化，理由如下：
如图：

由①知：△ABE≌△ACF，CF+CE＝2，
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝AF，
当EF最小时，△CEF周长的最小，即AE最小时，△CEF周长的最小，
此时AE⊥BC，
在Rt△ABE中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BE＝AB＝1，AE＝＝，
∴EF＝AE＝，
∴△CEF周长的最小值为EF+CF+CE＝+2．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA＝8，OC＝4，点D是BC边上的动点（不与B，C重合），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，且与AB交于点E，连接OD，OE，DE．

（1）若△CDO的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当△ODE的面积等于△ODP的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在BC边上移动时，延长ED交y轴于点F，连接AC，判断四边形AEFC的形状，并证明你的判断．
【分析】（1）①根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到答案；②根据割补法求出△ODE的面积等于15，设P（x，0），列出关于x的方程即可求解；
（2）D（）E（8，），设EF的函数解析式为：y＝ax+b，可得b＝OF＝，从而得CF＝OF﹣4＝，进而即可得到结论．
【解答】解：（1）①∵△CDO的面积为4，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝2×4＝8；
②∵OC＝4，△CDO的面积为4，
∴CD＝2，
∵D，E都在反比例函数y＝的图象上，
∴S△COD＝S△AOE＝4，
∵OA＝8，
∴AE＝1，
∴S△ODE＝4×＝15，
∵点P在x轴上，
∴设P（x，0），
∴S△ODP＝＝15，
解得：x＝，
∴或（），
（2）连接AC，四边形AEFC是平行四边形，理由如下：

由题意得：D（），E（），
设EF的函数解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴OF＝，
∴CF＝OF﹣4＝，
又∵CF∥AE，
∴四边形AEFC是平行四边形．
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日期：2021/8/24 5:10:11；用户：15500050537；邮箱：15500050537；学号：409094