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沪科版数学八下 解题技巧专题:中点问题
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这是一份沪科版数学八下 解题技巧专题:中点问题,共3页。
1.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F.若BC=6,则DF的长是( )
A.3 B.2 C.eq \f(5,2) D.4
第1题图 第2题图
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为( )
A.8 B.6 C.4 D.5
3.★如图,AD是△ABC的中线,E为AD的中点,连接BE并延长,交AC于点F,AF=eq \f(1,3)AC.求证:EF=eq \f(1,4)BF.
eq \a\vs4\al(◆)类型二 直角三角形中,已知斜边中点,构造斜边上的中线
4.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,AC,BD相交于点E,点G,H分别是AC,BD的中点.若∠BEC=80°,则∠GHE的度数为( )
A.5° B.10° C.20° D.30°
第4题图 第6题图
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M,N分别是AB,AC的中点,延长BC至点D,使CD=eq \f(1,3)BD,连接DM,DN,MN.若AB=6,则DN=________.
eq \a\vs4\al(◆)类型三 中点四边形与特殊平行四边形
6.【阅读理解】O点是△ABC所在平面内一动点,连接OB,OC,并把AB,OB,OC,CA的中点D,E,F,G依次连接起来,则D,E,F,G构成中点四边形.
如图,当O点在△ABC内时,由三角形中位线定理易证中点四边形DEFG是平行四边形.
【探究】
(1)当O点移动到△ABC外时,上述的结论是否成立?画出图形并说明理由;
(2)当中点四边形DEFG为矩形时,O点所在位置应满足什么条件?试说明理由.
【猜想】(直接写出结论)【方法17③】
(1)对角线____________的四边形的中点四边形是矩形;
(2)对角线____________的四边形的中点四边形是菱形;
(3)对角线__________________的四边形的中点四边形是正方形.
参考答案与解析
1.A
2.D 解析:连接DN.∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=eq \f(1,2)DN.当点N与点B重合时,DN的长度最长,即EF的长度最长,此时EF=eq \f(1,2)BD=eq \f(1,2)eq \r(AB2+AD2)=eq \f(1,2)eq \r(82+62)=5.故选D.
3.证明:取CF的中点G,连接DG.∵D为BC的中点,G为CF的中点,∴DG∥BF,DG=eq \f(1,2)BF.又∵AF=eq \f(1,3)AC,∴AF=eq \f(1,2)CF=FG,∴F为AG的中点.又∵E为AD的中点,∴EF=eq \f(1,2)DG,∴EF=eq \f(1,4)BF.
4.B 解析:连接AH,CH.∵∠BCD=∠BAD=90°,点H是BD的中点,∴AH=eq \f(1,2)BD,CH=eq \f(1,2)BD,∴AH=CH.∵点G是AC的中点,∴HG⊥AC,∴∠HGE=90°.又∵∠GEH=∠BEC=80°,∴∠GHE=10°.故选B.
5.3 解析:连接CM.∵M,N分别是AB,AC的中点,∴MN=eq \f(1,2)BC,MN∥BC.又∵CD=eq \f(1,3)BD,∴CD=eq \f(1,2)BC,∴MN=CD,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM.∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=eq \f(1,2)AB=3,∴DN=3.
解:【探究】(1)成立.所画图形如图所示,理由如下:∵D,G是AB,AC的中点,∴DG∥BC,∴DG=eq \f(1,2)BC.同理可得EF∥BC,EF=eq \f(1,2)BC,∴DG∥EF,DG=EF,∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)OA⊥BC.理由如下:连接OA.同(1)可得四边形DEFG是平行四边形.∵DE∥OA,EF∥BC,OA⊥BC,∴DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴四边形DEFG是矩形.
【猜想】(1)互相垂直 (2)相等 (3)互相垂直且相等
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