初中数学华师大版八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形2. 矩形的判定教课内容ppt课件

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小明利用周末的时间，为自己做了一个相框，你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？
矩形的对边平行且相等．
矩形的对角线互相平分且相等．
矩形既中心对称图形又轴对称图形．
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
有一个角是直角的四边形是矩形吗？
有两个角是直角的四边形是矩形吗？
有三个角是直角的四边形是矩形吗？
1、任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2、过点B作垂直于AB的直线l；
3、过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．
命题：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°．∴四边形ABCD是矩形．
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
1、任意作两条相交的直线，交点记为O；
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3、顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．
命题：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：在□ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）．
定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？用什么方法？为什么？
1、测量相框的对角线是否相等来判断所做的相框是否是矩形．因为对角线相等的平行四边形是矩形．
2、测量相框的三个内角是否是直角来判断所做的相框是否是矩形．因为有三个角是直角的四边形是矩形．
例4 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证．
证明: ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO ，∵AE=BF =CG=DH，∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形 ．∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）．
例5 如图，四边形ABCD是由两个全等正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角且是直角即可得到它是一个矩形．
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，又∵M、N分别为BC、AD的中点，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
1．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所组成的四边形是(　　)A．四边形　　　　　　　　　　　　B．一般平行四边形C．矩形 D．梯形2．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是(　　)A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3、如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中．能说明▱ABCD是矩形的有 (填写序号)．4．四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形是 ．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC、DE，AC＝AB，DE∥AB，求证：四边形AECD是矩形．
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，AB＝DE.∵点E是BC的中点，∴EC＝BE＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AB＝AC，∴DE＝AC，∴四边形AECD是矩形．
1、矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的判定方法有哪些？
角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线： （1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．