初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数习题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.【中考·丽水】如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cs α的值，错误的是( )
A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)

第1题图 第5题图 第6题图 第7题图
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,如果AC＝2,cs A＝34,那么AB的长是( )
A.52B.83C.103D.273
3.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若斜边AB的长是直角边BC的长的3倍,则tan B的值是( )
A.22 B.3 C.24D.13
4.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,AB＝7,则BC的长为( )
A.7sin 35°B.7cs35° C.7cs 35°D.7tan 35°
5.如图,☉O的半径为5 cm,弦AB的长为8 cm,P是AB延长线上的一点,BP＝2 cm,则tan ∠OPA等于( )
A.32B.23C.2D.12
6.如图,∠α的终边OP⊥AB,直线AB的方程为y＝－33x+33,则cs α＝( )
A.12B.22C.32D.33
7.如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上的点E反射照到点B.若入射角为α,AC⊥CD,BD⊥CD,且AC＝3,BD＝6,CD＝12,则tan α的值为( )
A.35B.43
C.45D.34
8.【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cs∠ABC的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(2),3)

第8题图 第9题图 第10题图
9.【2021·广东】如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．1 D．2
10.【2021·恩施州】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是( )
A．CE≠eq \f(1,2)BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
11.【2021·丽水】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是( )
A．OE＝mtanα B．CD＝2msinαC．AE＝mcsα D．S△COD＝m2sinα

第11题图 第12题图
12.【2021·宜宾】如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是( )
A.12B.2C.63D.64
二、填空题
13.若一等腰三角形的腰长为20,底边长为32,则其底角的余弦值是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,若直线OA过点(2,1),则tan α的值是 .

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是高,如果∠A＝α,AC＝4,那么BD＝ .(用含锐角α的三角函数表示)
16.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DC⊥AC于点C,DE∥AC交BC于点E,若DE＝13BD,则cs A＝ .
17.【2021·广元】如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A，B，D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点，则∠BAE的正切值为________．

第17题图 第18题图
18.【2021·益阳】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq \f(3,2)，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于________．
三、解答题
19.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.求证:bcs A+acs B＝c.
20.如图,在锐角△ABC中,AB＝10 cm,BC＝9 cm,△ABC的面积为27 cm2,求tan B的值.
21.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,tan B＝15,cs C＝22,AC＝2.
(1)求BC的长;
(2)求∠ADC的正弦值.
22.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN＝3,AM＝4,求cs B的值.
23.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,点D在☉O上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.
(1)求证:DC＝BC;
(2)若AB＝5,AC＝4,求tan∠DCE的值.
24.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.对于同一个角∠A的正弦、余弦,存在关系式sin2A+cs2A＝1,试说明理由.
(1)在横线上填上适当内容.
解:∵sin A＝ ,cs A＝ ,
∴sin2A+cs2A＝ .
∵a2+b2＝c2,∴sin2A+cs2A＝1.
(2)若∠α为锐角,利用(1)中的关系式解决下列问题.
①若sin α＝45,求cs α的值;
②若sin α+cs α＝32,求sin αcs α的值.
25.【2021·白银】如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC，过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
参考答案
一、选择题
1.【中考·丽水】如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cs α的值，错误的是( C )
A.eq \f(BD,BC) B.eq \f(BC,AB) C.eq \f(AD,AC) D.eq \f(CD,AC)

第1题图 第5题图 第6题图 第7题图
2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,如果AC＝2,cs A＝34,那么AB的长是( B )
A.52B.83C.103D.273
3.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若斜边AB的长是直角边BC的长的3倍,则tan B的值是( A )
A.22 B.3 C.24D.13
4.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,AB＝7,则BC的长为( C )
A.7sin 35°B.7cs35° C.7cs 35°D.7tan 35°
5.如图,☉O的半径为5 cm,弦AB的长为8 cm,P是AB延长线上的一点,BP＝2 cm,则tan ∠OPA等于( D )
A.32B.23C.2D.12
6.如图,∠α的终边OP⊥AB,直线AB的方程为y＝－33x+33,则cs α＝( A )
A.12B.22C.32D.33
7.如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上的点E反射照到点B.若入射角为α,AC⊥CD,BD⊥CD,且AC＝3,BD＝6,CD＝12,则tan α的值为( B )
A.35B.43C.45D.34
8.【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cs∠ABC的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(2),3)
【点拨】如图所示．
设每个小正方形的边长是1.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2).
∴cs∠ABC＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(3,3\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
【答案】B

第8题图 第9题图 第10题图
9.【2021·广东】如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为( B )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．1 D．2
10.【2021·恩施州】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是( D )
A．CE≠eq \f(1,2)BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
11.【2021·丽水】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是( )
A．OE＝mtanα B．CD＝2msinαC．AE＝mcsα D．S△COD＝m2sinα
【点拨】∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE.
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD·sin α＝m·sin α.
∴CD＝2DE＝2m·sin α.
【答案】B

第11题图 第12题图
12.【2021·宜宾】如图,在△ABC中,点O是角平分线AD,BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则tan∠OBD的值是( )
A.12B.2C.63D.64
【答案】A
【解析】如图,过点O作OF⊥AB于点F,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,BD=CD=12BC=6,∴AD=AC2-CD2=8.∵BE平分∠ABC,∴OF=OD,BF=BD=6,∴AF=AB-BF=4.设OD=OF=x,则AO=AD-OD=8-x,在Rt△AOF中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,∴x=3,∴OD=3.在Rt△OBD中, tan∠OBD=ODBD=12.
二、填空题
13.若一等腰三角形的腰长为20,底边长为32,则其底角的余弦值是 45 .
14.如图,在平面直角坐标系中,若直线OA过点(2,1),则tan α的值是 12 .

第14题图 第15题图 第16题图
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是高,如果∠A＝α,AC＝4,那么BD＝ 4sin αtan α .(用含锐角α的三角函数表示)
16.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DC⊥AC于点C,DE∥AC交BC于点E,若DE＝13BD,则cs A＝ 23 .
17.【2021·广元】如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A，B，C，D，O均在格点上，其中A，B，D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点，则∠BAE的正切值为________．
【点拨】根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠BDE＝∠BAE.设每个小正方形的边长为1，在Rt△BDC中，tan∠BDC＝eq \f(BC,BD)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，则tan∠BAE＝eq \f(1,2).
【答案】eq \f(1,2)

第17题图 第18题图
18.【2021·益阳】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝eq \f(3,2)，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于________．
【点拨】由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝
∠CAC′.∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AB′,AC′)，∴△ABB′∽△ACC′，∴eq \f(S△ACC′,S△ABB′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,AB)))eq \s\up12(2).∵∠CAB＝90°，∴tan∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,2)，∴eq \f(S△ACC′,S△ABB′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4).
【答案】eq \f(9,4)
三、解答题
19.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.求证:bcs A+acs B＝c.
证明:∵cs A＝ACAB＝bc,cs B＝BCAB＝ac,
∴bcs A+acs B＝b·bc+a·ac＝b2c+a2c＝a2+b2c＝c2c＝c,即bcs A+acs B＝c.
20.如图,在锐角△ABC中,AB＝10 cm,BC＝9 cm,△ABC的面积为27 cm2,求tan B的值.
解:过点A作AH⊥BC于点H.
∵S△ABC＝27,∴12×9×AH＝27,解得AH＝6.
∵AB＝10,∴在Rt△ABH中,BH＝AB2－AH2＝8,
∴tan B＝AHBH＝68＝34.
21.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,tan B＝15,cs C＝22,AC＝2.
(1)求BC的长;
(2)求∠ADC的正弦值.
解:(1)过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中,∵cs C＝CHAC＝22,AC＝2,
∴CH＝1,AH＝AC2－CH2＝1.
在Rt△ABH中,∵tan B＝AHBH＝15,∴BH＝5,
∴BC＝BH+CH＝6.
(2)∵BD＝CD,∴CD＝3,DH＝2,AD＝AH2+DH2＝5,
∴sin ∠ADC＝AHAD＝55.
22.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN＝3,AM＝4,求cs B的值.
解:∵∠C＝90°,MN⊥AB,∴∠C＝∠ANM＝90°,
又∵∠A＝∠A,∴△ABC∽△AMN,
∴ACAN＝ABAM,即ACAB＝ANAM＝34.
设AC＝3x,AB＝4x.
由勾股定理,得BC＝AB2－AC2＝7x,
在Rt△ABC中,cs B＝BCAB＝7x4x＝74.
23.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,点D在☉O上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.
(1)求证:DC＝BC;
(2)若AB＝5,AC＝4,求tan∠DCE的值.
解:(1)连接OC.∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA.
∵CE是☉O的切线,∴∠OCE＝90°.
∵AE⊥CE,∴∠AEC＝∠OCE＝90°,∴OC∥AE,
∴∠OCA＝∠CAD,∴∠CAD＝∠BAC,
∴DC＝BC,∴DC＝BC.
(2)由题知∠ACB＝90°,AB＝5,AC＝4,
∴BC＝AB2－AC2＝3.
∵∠CAE＝∠BAC,∠AEC＝∠ACB＝90°,
∴△ACE∽△ABC,∴ECBC＝ACAB,
∴EC3＝45,即EC＝125.
∵DC＝BC＝3,∴ED＝DC2－CE2＝95,
∴tan ∠DCE＝EDEC＝95125＝34.
24.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.对于同一个角∠A的正弦、余弦,存在关系式sin2A+cs2A＝1,试说明理由.
(1)在横线上填上适当内容.
解:∵sin A＝ ac ,cs A＝ bc ,
∴sin2A+cs2A＝ a2+b2c2 .
∵a2+b2＝c2,∴sin2A+cs2A＝1.
(2)若∠α为锐角,利用(1)中的关系式解决下列问题.
①若sin α＝45,求cs α的值;
②若sin α+cs α＝32,求sin αcs α的值.
解:(2)①∵sin α＝45,∠α为锐角,
∴cs α＝1－sin2α＝1－452＝35.
②∵sin α+cs α＝32,∴(sin α+cs α)2＝94,
∴sin2α+2sin αcs α+cs2α＝94.
∵sin2α+cs2α＝1,∴1+2sin αcs α＝94,
∴sin αcs α＝58.
25.【2021·白银】如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC，过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OCA＋∠OCB＝90°.
∴∠DCB＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥DC.
又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【思路点拨】(2)中求∠OCB的正切值，从图中看出∠OCB所在的三角形不是直角三角形，需要利用等角的转化．由“两直线平行，内错角相等”得∠EOC＝∠OCB，从而在Rt△OCE中求解．
解：∵OE∥BC，∴eq \f(BD,OB)＝eq \f(CD,CE).
∵CD＝4，CE＝6，∴eq \f(BD,OB)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB＋BD＝5x.
∵OC⊥DC，∴△OCD是直角三角形．
在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝OD2，∴(3x)2＋42＝(5x)2，
解得x＝1(负值舍去)．
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3.
∵BC∥OE，∴∠OCB＝∠EOC.
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝eq \f(EC,OC)＝eq \f(6,3)＝2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2.