人教B版 (2019)1.2.1 空间中的点、直线与空间向量第1课时学案设计

第1课时平面的法向量及线面位置关系

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一平面的法向量

1.法向量的概念

如果是空间中的一个平面,是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面 ① 垂直 ,则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作② .

2.法向量的性质

根据定义可知,平面的法向量有如下性质:

（1）如果直线垂直平面 ,则直线的③ 任意一个方向向量都是平面的一个法向量;

（2）如果是平面的一个法向量,则对任意的实数 ,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个④ 法向量都平行;

（3）如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点 ,向量一定与向量垂直,即⑤ ,从而可知平面的位置可由和唯一确定.

要点二直线、平面垂直、平行的判定

如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,则 ⑥ ; ⑦ ,或 .

自主思考

1.零向量为什么不能作为平面的法向量?

答案：提示因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向是任意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.

2.如果与平面共面且 ,那么就是平面的一个法向量吗?

答案：提示当共线时,不一定是平面的一个法向量.

3.若直线的一个方向向量为 ,平面的一个法向量为 ,则直线与平面的关系是什么?若呢?

答案：提示当时, ,所以 .

当时,因为 ,所以 ,所以 ,或 .

名师点睛

1.平面法向量的确定通常有两种方法

（1）直接寻找：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.

（2）待定系数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时,根据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.

2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意一条直线,所以法向量的坐标只要满足两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有无数个,并且这些法向量都是平行的.

互动探究·关键能力

探究点一求平面的法向量

自测自评

1.（多选)（2021山东青岛二中高二月考）已知直线过点 ,且平行于向量 ,平面过直线与点 ,则平面的法向量可能是(      )

A.(1,-4,2)B.

C. D.(0,-1,1)

答案： ; ;

解析：由题意可知,平面的法向量垂直于向量和向量 ,

.

选项A, ,满足垂直,故正确;

选项B, ,满足垂直,故正确;

选项C, ,满足垂直,故正确;

选项D, ,但 ,故错误.

2.在三棱锥中,两两垂直, , ,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面的一个法向量的是(     )

A. B.

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

答案：A

解析： , ,设平面的一个法向量为

由得解得

．

又 ,平面的一个法向量为 .

3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面 , ,是的中点,求平面的一个法向量.

答案：建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意可得 ,则 .设平面的一个法向量为 ,则 ,所以取 ,则 ,故平面的一个法向量为 .

解题感悟

利用待定系数法求平面法向量的步骤

（1）设向量:设平面的一个法向量为 .

（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量 .

（3）列方程组:由列出方程组.

（4）解方程组:

（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取）.

（6）得结论:得到平面的一个法向量.

探究点二利用空间向量证明线面平行

精讲精练

例如图,在长方体中, , ,点分别是的中点,求证：平面 .

答案：证明如图,以为原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.

则

,

设平面的一个法向量为 ,则

令 ,解得 .

又 ,

.

又平面平面 .

解题感悟

利用向量证明线面平行问题的方法

（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.

（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行.

迁移应用

1.如图所示,正方体的棱长为分别为和上的点,且 ,证明：平面 .

答案：证明以为原点,的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

由于 ,故

则 .

又平面所以为平面的一个法向量.

因为 ,所以 ,

又平面所以平面

探究点三利用空间向量证明线面垂直

精讲精练

例如图所示,在正方体中,分别是的中点.求证：平面 .

答案：证明设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 .

.

设平面的一个法向量为 ,

则令 ,得 ,

平面的一个法向量为 ,显然 ,

平面 .

解题感悟

利用向量证明线面垂直的方法

1.证明直线的方向向量与平面的法向量平行.

2.证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量分别垂直.步骤：（1）求直线的方向向量;（2）求出平面内两相交直线的方向向量;（3）分别计算两组向量的数量积,得数量积为0.

迁移应用

1.若直线的一个方向向量为 ,平面的一个法向量为 ,则(      )

A. B.

C. D.与斜交

答案：

解析： ,即 .

2.如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,底面 , ,分别为的中点.求证：平面 .

答案：证明以为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设 ,其中 ,

则 .

则 .因为 ,所以 .

又平面 ,平面 , ,所以平面 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2021北京大兴第一中学高二期中）若向量 , ,则平面的一个法向量为(      )

A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)

C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)

答案：

2.如图,在正方体中,下列直线与平面平行的是(     )

A. B. C. D.

答案：

3.如果直线的一个方向向量是 ,且直线上有一点不在平面内,平面的一个法向量是 ,则(      )

A.直线与平面垂直

B.直线与平面平行

C.直线在平面内

D.直线与平面相交但不垂直

答案：

4.（2020山东烟台一中高二检测）已知直线的一个方向向量为 ,平面的一个法向量为 ,若 ,则．

答案：-16

素养演练

逻辑推理—利用空间向量解决线面关系的探索性问题

1.在四棱锥中,底面 ,底面为正方形,分别是的中点.

（1）求证： ;

（2）在平面内是否存在一点 ,使平面？若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：（1）证明：由题意知,两两垂直.

所以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图.设 ,

则 ,所以 , ,

因为 ,所以 ,从而得 .

（2）存在.

假设存在满足条件的点 ,

设 ,则 ,

若使平面 ,则 ,解得 ,

,解得 ,

所以点的坐标为 ,故存在满足条件的点 ,且点为的中点.

素养探究：本题考查应用空间向量解决线面的垂直问题,考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养（1）可建立空间直角坐标系,求的坐标,根据数量积等于0可证得结论;（2）要首先假设存在满足条件的点 ,用向量法证明线面垂直可得答案.