2022版新教材高中数学第二章平面解析几何加练课6抛物线焦点弦的性质及应用学案新人教B版选择性必修第一册

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加练课6 抛物线焦点弦的性质及应用学习目标1.会推导抛物线焦点弦的性质.2.掌握抛物线焦点弦性质的简单应用.自主学习·知识拓展知识拓展抛物线 ,设是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦）,是抛物线的焦点, , ,在准线上的射影分别为 .则：（1）（2）若直线的倾斜角为 ,则 ,抛物线的通径长为 ,通径是最短的焦点弦;（3） ;（4）若直线的倾斜角为 ,则；（5）以为直径的圆与抛物线的准线相切;（6） , ,三点共线, , ,三点也共线.推导过程（1）当轴时,不妨设 ,则 , .当直线的斜率存在时,设斜率为 ,则直线的方程为 ,代入抛物线方程 ,消元得即 .（2）当时,过点作轴,交轴于点 ,设准线与轴的交点为 ,如图.由抛物线的定义知在中由图知则 ,则 ,同理得 ;当时,可知 ,对于，亦成立. . ,当且仅当时取等号.故通径长为最短的焦点弦长．（3）由（2）可得, .（4）当时,设直线： ,原点到直线的距离 ,当时,满足 . .（5）如图,的直径为 ,过圆心作垂直准线于 ,则 ,故以AB为直径的圆与准线相切．（6）设直线的方程为，代入得 .由（1）可得 .轴,即 ,且公共点为直线过点 ,三点共线,同理得三点也共线．互动探究·关键能力类型一 x1x2= ,y1y2=-p2的应用例（2021山东济南高二检测）已知抛物线的顶点是原点 ,焦点在轴正半轴上,经过点的直线与抛物线交于 ,两点,若 ,则抛物线的方程为(      )A. B.C. D.答案：解析：设抛物线的方程为 ,直线：则即则（负值舍去）,即抛物线的方程为 ,故选C.解题感悟该种类型的题目通过抛物线的特殊性质,脱离传统的联立方程求解,迅速得到结果,体现了模式化的认识特征,将特殊的概念、结论广泛、抽象地应用于数学题目中.迁移应用1.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,设则 (     )A.-4B.4C. D.答案：解析：设直线的方程为则所以 .类型二 |AB|=x1+x2+p=的应用例过抛物线的焦点作直线交抛物线于点 ,若 ,则的中点到抛物线准线的距离为 .答案：解析：抛物线的焦点为 ,准线方程为 .由抛物线焦点弦的性质知 ,即 ,得 ,所以的中点的横坐标为 ,因为准线方程为 ,所以点到抛物线准线的距离为 .解题感悟通过抛物线弦长公式结论的拓展将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象的核心素养.迁移应用1.（2020山东聊城高二检测）已知抛物线的焦点为 ,过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于 ,两点,则 (     )A. B.10C.9D.8答案：解析：抛物线即 ,故选D.类型三的应用例过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,若 ,则等于(     )A.4B. C.5D.6答案：解析：易知 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 .解题感悟该题将弦长问题通过焦半径与之间的关系转化为焦半径问题,简化了运算,但此类问题的解决都是以为基础的,所以牢记是灵活应用焦点弦性质的基础.迁移应用1.如图,过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,交准线于点 ,若是的中点,且 ,则线段的长为(     )A.5B.6C. D.答案：解析：如图,过作准线的垂线,垂足为 ,则 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 .类型四的应用例设为抛物线的焦点,过且倾斜角为的直线交于两点,为坐标原点,则的面积为(     )A. B. C. D.答案：解析：由抛物线焦点的性质得 .解题感悟解决这类问题可以直接利用焦点弦的性质求解,把抛物线中焦点三角形的面积利用直线的倾斜角和焦点到准线的距离表示,这种方法更方便快捷.迁移应用1.经过抛物线的焦点 ,且倾斜角为的直线与抛物线交于两点,若三角形的面积为 ,则抛物线的方程为 .答案：解析：由抛物线焦点弦的性质可得 ,解得 ,所以抛物线的方程为 .