2022版新教材高中数学第二章平面解析几何加练课4与圆有关的最值问题学案新人教B版选择性必修第一册

加练课4 与圆有关的最值问题

自主检测·必备知识

一、概念辨析，判断正误

1.若一条直线被圆所截得的弦最长，则此直线过圆心.( √ )

2.代数式的几何意义是点与间的距离.( × )

3.设圆的半径为，圆心到直线l的距离为，则圆上的点到直线l距离的最大值为，最小值为 . ( √ )

二、夯实基础，自我检测

4.已知直线与圆相交于，两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数 (      )

A.2B. C.1D.-1

答案：

解析：易知，线段是圆的所有弦中最长的一条弦，线段过圆心，，即 .

5.（2021山东枣庄八中高二月考）已知点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为(      )

A. B.2C. D.3

答案：

解析：易知圆的半径，，因为在直线，即上，所以圆心到点距离的最小值为，

所以 .

6.若点在圆上，点在圆上，则的最小值是 .

答案：

解析：由题意可知，，，，

则，

所以 .

探究点一与切线长、弦长有关的最值问题

精讲精练

例（1）（2021山东潍坊高二月考）若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是

A.2B.4C.3D.6

（2）（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(      )

A.1B.2C.3D.4

答案：（1）（2）

解析：（1）可化为

，

由已知得，直线过圆心，即，即，易知点在直线上，

由平面几何知识得，要使由点向圆所作的切线长最小，只需要圆心与直线上的点的连线最小，所以，切线长的最小值为，故选B.

（2）圆化为，所以圆心的坐标为，半径为3，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，

此时，根据弦长公式得最小值为 .故选B.

解题感悟

解决与切线长、弦长有关的最值问题，一般考虑如下三步：

第一步：确定圆的圆心和半径;

第二步：根据点到直线的距离推出过点的最短弦长;

第三步：由圆中垂径定理求出最短弦长.

迁移应用

1.（2020山东济南实验中学高二月考）点是直线上的一动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值为(      )

A. B. C.2D.

答案：

解析：圆，圆心，半径 .

由题意可知，点到圆的切线长最小时，垂直于直线 .圆心到直线的距离，

切线长的最小值为 .

2.（2021北京铁路二中高二期中）已知圆，若直线与圆交于，两点，则的最小值为(      )

A.2B.

C. D.4

答案：

解析：圆可化为圆，

可得圆心，半径，由直线，可得直线恒过定点，

则，根据圆的性质，要使得最小，则直线，

所以的最小值为 .

探究点二利用代数式的几何意义求最值（范围）

精讲精练

例已知，求的最值，并求取得最值时的值.

答案：由，可得，

则，

所以当时，最小值为；

当时，最大值为 .

解题感悟

与圆有关的最值问题，常见的解题方法：

（1）根据所求最值的代数式的结构特征，利用其几何意义求解，常见的类型：①斜率型：；②截距型：；③距离型：

（2）根据题设条件，消去，求得变量的取值范围，以及转化为二次函数，结合二次函数的图像与性质求解是解答的关键.

迁移应用

1.在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：由已知得点在圆上，点在直线上，

故表示上的点到直线上的点的距离的平方，

而距离的最小值为，故的最小值为 .故选B.

2.若直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，则的取值范围是(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：函数的图像恒过定点 .

将点代入直线可得，即 .

由点(-1,2)在圆的内部或圆上可得，

即，则，或

所以点在以和为端点的线段上运动.

表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.

所以， .所以 .故C正确.

探究点三与面积有关的最值问题

精讲精练

例已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，求四边形面积的最小值.

答案：如图所示，连接，

由点在直线上，可设点的坐标为，易知圆的圆心为，半径为1.

所以 .

因为，所以当最小时，最小.

因为点到直线的距离为，所以的最小值为3，此时，即四边形面积的最小值为 .

解题感悟

解答与圆有关的面积的最值问题，往往要利用圆的对称性，把平面图形面积的表达式求出来，再根据圆上的点的坐标的取值范围，或圆心到直线的距离求解.

迁移应用

1.（2020福建厦门外国语学校高二期中）若直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，实数的值为(     )

A.0B. C.-1D.-3

答案：

解析：曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，

若直线与曲线相交于，两点，则直线l的斜率，

则点到的距离，

又，

当且仅当，即时，取得最大值，

所以，解得（舍去）.

评价检测·素养提升

课堂检测

1.过点向圆作切线，当切线长最短时，的值为(      )

A.-1B.1C.2D.0

答案：

2.在平面直角坐标系中，圆与圆外切，且与直线相切，则圆的面积的最小值为(     )

A. B.

C. D.

答案：

3.若实数，满足，则的最小值是 .

答案：1

素养演练

逻辑推理——与圆有关的最值或范围问题

1.已知圆，圆，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：审：本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系，及圆中三角形面积的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

联：面积的大小与线段AB的长度有关，要求面积的取值范围，只需求出的范围即可求解.

解：圆的切线交圆C于两点，则 ①（r为圆O的半径），

圆的半径，是圆的一条弦，

圆的圆心为，半径，

圆心到的距离最小时，②最大，圆心到的距离最大时，③最小，如图：

的最小值为④，的最大值为，

面积的最小值为，面积的最大值为 .

因此，面积的取值范围是 .故选A.

思：解决与圆有关的平面图形的面积问题，注意抓住两点：

（1）圆及平面图形的对称性;

（2）应用圆心到直线的距离求解.